Задачи М366—М370; Ф378—Ф382

36

Задачик
Квана
Задачи
М366—М370; Ф378—Ф382

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 апреля 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, Б. Ордынка, 21/16, журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Квана», М366, М367» или «… Ф378». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Квана», новая задача по физике или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наиболее трудные задачи отмечень звездочкой.

М366. Можно ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждой из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?

В. Колосов

М367. Может ли произведение a) трех; б) четырех последовательных натуральных чисел равняться неокоторой степени неокоторого натурального числа (квадрату, кубу, и т. д.)?

Д. Флейшман, уч. 10 класса

М368. Докажите, что пересечение трех прямых круговых цилиндров радиуса 1, оси которых попарно взамимо перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержатся в неокотором шаре радиуса $\sqrt{3/2}$.

С. Фомин

М369*. Дан остроугольный треугольник ABC. Н — точка пересечения его высот, γ — окружность с центром H, лежащая внутри этого треугольника. Построите треугольник $A_1B_1C_1$, описанный около окружности γ и вписанный в треугольник ABC (так, что

$$A_1 \in [BC], B_1 \in [AC], C_1 \in [AB].$$

Д. Изаак

М370*. Пусть a, b, c — трейка положительных чисел. Образуем из нее новую трейку:

$$|a-b|, |b-c|, |c-a|,$$

затем из этой трейки по тому же правлу — следующую и т. д. Обязательно ли среди полученных таким образом чисел встретиется 0, если исходные числа a) целые; б) действительны?

Ф378. Пассажиры самолета не испытывали неприятных ошибений, если только их вес в полете не увеличивается более чем вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете допускает это условие?

В. Смирнитский

Ф379. Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки существенно больше диаметра канала. По-