Лобачевский и физика

Лобачевский и физика

Математика всегда служила физикам орудием исследования. Кеплер не смог бы сформулировать свои законы, если бы не знал теорию конических сечений. Ньютону для того, чтобы решать задачи механики, пришлось создавать новый раздел математики: дифференциальное и интегральное исчисление. Но и на фоне этих великих открытий открытие неевклидовой геометрии выделяется по тому влиянию, какое оно оказало на наши представления о физической картине мира.

В те годы, когда работал Николай Лобачевский, никто не сомневался в правильности механики Ньютона, а вопросы о природе пространства и времени хотя и интересовали учёных, но казались совсем абстрактными, не имеющими практического значения.

Лобачевского сравнивают с Коперником. Лишив Землю положения центра мира, Коперник открыл Вселенную для исследования. Лобачевский, показав, что евклидова геометрия не единственна, заставил естествоиспытателей задуматься о том, что пространство, в котором развивается Вселенная, также должно быть предметом изучения. Геометрия после Лобачевского лишилась своей абсолютной непогрешимости и обратилась к опыту за подтверждением или отрицанием своих законов.

Лобачевский понимал, что возможность изменения законов геометрии может повлечь за собой и возможность изменения законов механики. «…Некоторые силы в природе, — писал он, — следуют одной, другие своей особой геометрии… силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы».

Физики очень долго не обращали внимания на эти предостережения. Только после открытия специальной (СТО) и общей теории относительности (ОТО) стало ясно, какой глубокий смысл содержится в этих словах Лобачевского. Физики должны считать Лобачевского одним из великих творцов своей науки. История неевклидовой геометрии до сих пор служит ярким примером того, как самые абстрактные теории могут привести к полному пересмотру взглядов на наш реальный мир.

Приведём несколько примеров, которые покажут, как идеи геометрии Лобачевского нашли своё отражение в теории относительности. Начнём со специальной теории.

СТО: сложение скоростей

Решая задачи по кинематике, мы пользуемся правилами сложения векторов, предписываемыми геометрией Евклида. При этом и векторы перемещений, и векторы скоростей мы складываем одним и тем же способом.

С открытием специальной теории относительности стало ясно, что сложение скоростей по правилам геометрии Евклида даёт практически правильный ответ лишь при условии, что скорости, встречающиеся в задаче, малы по сравнению со скоростью света $c$. Когда же скорости сравнимы со скоростью света, для получения верного результата необходимо пользоваться иными правилами. Рассмотрим такой пример.

Предположим, что мы наблюдаем с маяка за кораблём, который удаляется с постоянной скоростью $\bm{u}$. С корабля вертикально вверх выпускают ракеты с разными скоростями $\bm{v}_i$ относительно корабля ($i=1$, 2, 3, $\ldots$). Как найти скорости ракет по отношению к маяку (т. е. скорости $\bm{v}_i'$ ракет в системе отсчёта, связанной с маяком)?

Рис. 1

С точки зрения механики Ньютона
$$\bm{v}_i'=\bm{u}+\bm{v}_i\tag{*}$$
— суммарный вектор $\bm{v}_i'$ может быть найден по правилу треугольника (рис. 1).

Решение этой задачи в специальной теории относительности содержит математические трудности, преодолеть которые большинство наших читателей не сможет. Поэтому мы приведём только ответ:
$$\bm{v}_i'=\bm{u}+\bm{v}_i\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}.\tag{**}$$

В тех случаях, когда скорости $\bm{u}$ и $\bm{v}_i$ много меньше скорости света $c$, формула (**) практически переходит в формулу (*).

Но когда $\bm{u}$ и $\bm{v}_i$ становятся сравнимы со скоростью света, точное значение скорости $\bm{v}_i'$ может быть найдено только по формуле (**) — именно кинематика СТО описывает движение тел с большими скоростями.

Очевидно, что при сложении векторов $\bm{u}$ и $\bm{v}_i$ по евклидову правилу треугольника ответ (**) не может быть получен.

Обратим ещё раз внимание на тот факт, что мы пользуемся геометрическими терминами и правилами, но применяем их не к обычному пространству, а к набору скоростей, о котором говорят, что он образует пространство скоростей. Пользуясь этой терминологией, из всего сказанного можно сделать вывод: пока мы остаёмся в рамках классической механики, пространство скоростей совпадает с евклидовым пространством; в механике СТО для описания пространства скоростей геометрия Евклида неприемлема.

Какой геометрический образ можно сопоставить пространству скоростей в релятивистской механике? Оказывается, этим геометрическим образом может служить пространство Лобачевского. Но переход от физических величин к их геометрическим образам в релятивистском случае не так прост, как в классическом. Изображая на евклидовой плоскости (на листе бумаги) скорости, мы рисуем отрезки, длины которых (в определённом линейном масштабе) равны значениям скоростей. Для того чтобы представить себе, как перейти от скоростей к отрезкам на плоскости Лобачевского, вернёмся вновь к задаче о маяке, корабле и ракете.

Рис. 2

Итак, для скорости $\bm{v}'$ ракеты в системе отсчёта, связанной с маяком, специальная теория относительности даёт ответ (**). Оказывается, на плоскости Лобачевского скоростям $\bm{u}$, $\bm{v}$, $\bm{v}'$ соответствует прямоугольный треугольник, длины сторон которого равны значениям некоторой нелинейной функции $f$ от величин скоростей $u$, $v$, $v'$. Будем считать, что треугольник $BAD$ (рис. 2) нарисован на плоскости Лобачевского,
$$a=f(|\bm{u}|),\quad b=f(|\bm{v}|),\quad d=f(|\bm{v}'|).$$
Нахождение скорости $\bm{v}'$ сводится к нахождению по правилам геометрии Лобачевского стороны $d$ треугольника $BAD$ по двум известным сторонам $a$ и $b$ и прямому углу между ними. Угол $\beta$ треугольника $BAD$ — это угол, который составляет скорость $\bm{v}'$ с горизонтом. Правило, по которому строится сторона $d$, — это привычное для нас правило треугольника. Однако формулы, позволяющие определить длину стороны $d$, в геометрии Лобачевского иные, чем в геометрии Евклида (например, в рассматриваемой нами задаче теорема Пифагора неприменима). Но в том случае, когда скорости $u$ и $v$ много меньше $c$, эти формулы практически совпадают с формулами геометрии Евклида. Можно сказать, что СТО находится в таком же отношении к классической механике Ньютона, как геометрия Лобачевского к геометрии Евклида.

Рис. 3

В рассмотренной нами задаче можно дать «физическое» представление геометрического понятия параллельности. Чем больше скорость ракеты $\bm{v}_i$, тем больше угол $\alpha$, который составляет скорость $\bm{v}_i'$ с горизонтом. В классической механике скорость $\bm{v}_i$, может быть как угодно велика. При $v_i\to\infty$ $\alpha\to90^\circ$. Т. е. в этом предельном случае направления $\bm{v}_i$ и $\bm{v}_i'$ становятся практически параллельными. Таким образом, параллельные прямые евклидовой геометрии с точки зрения физики — это векторы скоростей бесконечно быстрой ракеты, рассматриваемой из разных систем отсчёта, движущихся друг относительно друга равномерно с конечными скоростями (рис. 3, а).

Согласно СТО скорость ракеты $\bm{v}_i$ не может быть больше скорости света $c$. В том случае, когда $|\bm{v}_i|=c$ — с корабля выпускают квант света (фотон), — величина скорости $\bm{v}_i'$ также равна $c$. Действительно (см. (**)),
$$(v_i')^2=u^2+v_i^2{\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)}.$$
Подставив в это выражение $v_i=c$, получим $v_i'=c$.

На плоскости Лобачевского в этом случае стороны $b$ и $d$ (соответствующие скоростям $v_i$ и $v_i'$) становятся бесконечно длинными (см. рис. 3, б). Но угол $\beta$, который составляет сторона $d$ со стороной $a$ (соответствующей скорости $u$), при этом остаётся меньше $90^\circ$. В геометрии Лобачевского этот угол называется углом параллельности и обозначается $\Pi(a)$. Но $\beta$ — это тот угол, который в системе отсчёта, связанной с маяком, составляет скорость $v'$ с горизонтом. Величина этого угла определяется условием
$\cos\beta=\dfrac u{v'}=\dfrac uc$. Это предельный, максимальный угол, под которым наблюдатель в этой системе может «увидеть» скорость фотона. Поэтому естественно возникает «физический» образ параллельных прямых геометрии Лобачевского: это скорости фотона, наблюдаемые из разных равномерно движущихся систем отсчёта.

Ко всему, что мы рассказали, можно добавить, что специальная теория относительности развивалась независимо от геометрии Лобачевского. Все её формулы были получены Эйнштейном методами механики. Только в 1909 году немецкий физик Зоммерфельд обнаружил тождественность всего математического аппарата СТО с геометрией Лобачевского.

Развитие современной физики, таких её областей как ядерная физика, физика элементарных частиц, невозможно без теории относительности. Если читать учебник по неевклидовой геометрии, то каждой теореме, каждой задаче можно сопоставить задачу из физики элементарных частиц. И при расчёте путей частиц в ускорителях, процессов столкновения элементарных частиц формулы геометрии Лобачевского оказываются очень полезными — вычисления становятся короче и проще.

ОТО: кривизна пространства

Вероятно, каждый может себе представить, как выглядит поверхность шара с точки зрения двумерного жука, который по ней ползает. Очевидно, что его восприятие не совпадает с нашим. Мы можем посмотреть на шар «со стороны», из трёхмерного пространства, и увидеть, что поверхность его — сфера. А для двумерного жука, который этого сделать не может, — для него нет третьего измерения, — поверхность сферы представляется плоскостью. И если размеры жука много меньше радиуса сферы, то он заключит, что эта плоскость — евклидова. Но если жук «грамотный», то, проведя некоторые измерения, он может убедиться, что геометрия на его плоскости отличается от евклидовой. Например, измерив сумму углов очень большого треугольника, он обнаружит, что она отличается от $180^\circ$.

Живя в трёхмерном пространстве, мы в какой-то степени находимся в положении жука. Геометрию этого пространства мы моделируем на основе повседневного опыта. И до тех пор, пока мы имеем дело с обычными для нас земными расстояниями, опыт говорит, что окружающее нас пространство — евклидово. А что можно сказать о геометрии пространства в масштабах нашей галактики, всей Вселенной? Этот вопрос, по существу, был впервые поставлен Лобачевским. Справедливы ли законы геометрии Евклида при громадных (с точки зрения Земли) расстояниях? Действительно ли, например, сумма углов очень большого треугольника равна $180^\circ$? Основываясь на данных, полученных из астрономических наблюдений, Лобачевский пытался найти ответ на этот вопрос. Вывод его был таким: «… в треугольнике, которого бока равняются почти с расстоянием Земли до Солнца, сумма углов не может разниться с двумя прямыми более 0,0003 секунды градуса».

Хотя Лобачевский и не обнаружил отклонений от законов Евклида, но сама мысль о том, что мир, в котором мы живём, может не быть евклидовым, была поистине революционной.

Рис. 4. В плоскости, проходящей через Солнце, сумма углов большого треугольника, вершины которого — звёзды, больше $180^\circ$.

Рис. 5. Этот опыт проводился во время полного солнечного затмения. По расчётам звезда в это время находилась за краем Солнца. Однако вследствие искривления световых лучей, идущих от звезды, в поле тяготения Солнца звезда наблюдалась на некотором расстоянии от солнечного диска (во время затмения солнечный свет «загораживается» Луной, и звёзды, расположенные вблизи Солнца, становятся видимыми).Согласно ОТО угловое смещение звёзд непосредственно у края Солнца должно составлять $\approx1''\mathord,75$ ($1''$ — это угол, под которым спичечная коробка видна с расстояния $\sim10$ км). Опыты, проводимые во время солнечных затмений, дают несколько бо́льшие значения. Однако, эти результаты, несомненно, являются подтверждением кривизны пространства.

За 150 лет, прошедших со времени создания Лобачевским его геометрии, наука сделала огромный шаг на пути познания реального мира. И самым важным этапом на этом пути явилось создание Эйнштейном общей теории относительности. Она установила связь между силой всемирного тяготения и свойствами пространства. Основной вывод, который следует из ОТО, заключается в том, что пространство, в котором мы живём, искривлено. Вблизи тяжёлых тел, например, вблизи Солнца, механика становится не ньютоновой, а геометрия пространства — неевклидовой (см. рис. 4).

Свет, проходя мимо Солнца, движется по кривой, похожей на параболу. Поскольку прямая — это, по определению, луч света, распространяющегося в однородной среде, то в пространстве вблизи Солнца прямая — это искривлённый световой луч. Степень искривлённости пространства характеризуется кривизной луча. Радиус кривизны светового луча в точке, находящейся на расстоянии $r$ от Солнца, называют радиусом кривизны пространства в этой точке. ОТО даёт для него следующую формулу:
$$R=\sqrt{\dfrac{r^3}{2R_{\text{гр}}}}.$$
Здесь $r$ — расстояние до Солнца, а $R_{\text{гр}}$ — так называемый гравитационный радиус Солнца, величина которого характеризует степень влияния Солнца на геометрию окружающего его пространства:
$$R_{\text{гр}}=\dfrac{2\gamma M}{c^2}\approx3~\text{км},$$
где $M\sim10^{33}$ г — масса Солнца, $c=3{,}00\cdot10^8$ $\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ — скорость света, $\gamma=6{,}67\cdot10^{-11}$ $\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}$ — гравитационная постоянная.

В 1919 году во время солнечного затмения были произведены астрономические наблюдения, результаты которых подтвердили выводы ОТО (рис. 5).

Теория относительности является незаменимым аппаратом в изучении свойств Вселенной. В настоящее время существует много моделей Вселенной. О справедливости их, о том, какая из них в действительности описывает свойства Вселенной, можно будет судить по результатам экспериментов. Но эти эксперименты чрезвычайно сложны, многие из них пока лишь «мысленные», для их осуществления современная наука не обладает возможностями. Но среди этих моделей есть такие, согласно которым геометрия пространства — это геометрия Лобачевского.

Геометрические свойства Вселенной изменяются со временем; астрономы видят, как разбегаются галактики и квазары; совсем недавно в созвездии Лебедь была открыта первая «чёрная дыра» — точка, где плотности обращаются в бесконечность, а длины в нуль. И наука может объяснить эти явления только потому, что 150 лет назад на берегу Волги молодой казанский математик Николай Лобачевский спросил: а так ли очевидно, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, не пересекающую данную? Кто мог подумать тогда, что это был один из самых каверзных вопросов, который когда-либо задал человек природе.