[Về lời giải bài toán trong lượng giác sử dụng công thức góc phụ]

41

khối lượng 1,31 × (1000+x) e và do đó, nó chứa 0,5 × 1,31 × (1000 + x) e axit nguyên chất. Chúng ta thu được phương trình

$$1,51x = 0,5 \cdot 1,31(1000+x),$$

ở đâu $x \approx 766$ ml.

Người ta có thể lập luận hơi khác một chút. Khối lượng của $x$ ml axit nguyên chất bằng 1,51 x e, khối lượng của 1000 ml nước là 998 e và khối lượng của dung dịch 50% là 1,31 (1000 + x) e. Vì tổng khối lượng của các thành phần trùng với khối lượng của dung dịch nên ta có phương trình

$$1,51x + 998 = 1,31(1000+x),$$

ở đâu $x \approx 1560$ ml.

Chúng tôi thấy rằng hai lời giải này dẫn đến các kết quả khác nhau. Trên thực tế, cả hai lời giải này đều sai. Tuy nhiên, sai lầm tổng thể của kết quả thứ hai là rất rõ ràng: nếu thêm hơn một lít rưỡi axit nguyên chất vào một lít nước, thì nồng độ của dung dịch thu được sẽ cao hơn 50%.

Nguyên nhân của sai số là do giả định về độ bám dính thể tích được sử dụng trong cả hai giải pháp là không đúng. Khi trộn axit với nước, sẽ tồn tại một lượng lớn chất lỏng; nó có thể được giải thích bằng tác động của lực giữa các lực hút phân tử (các phân tử nước di chuyển đến gần các phân tử axit hơn, thâm nhập vào các “khoảng trống” giữa chúng). Do đó, lời giải bài toán để trộn một chất lỏng phải dựa trên định luật bảo toàn khối lượng: tổng khối lượng của các thành phần của dung dịch bằng khối lượng của chính dung dịch.

lời giải đúng được coi là bài toán như sau. Khối lượng $x$ ml axit nguyên chất bằng 1,51 x e, khối lượng 1000 ml nước là 0,998 x 1000 = 998 e) nên tổng khối lượng các thành phần của dung dịch là (998 + 1,51 x) e (và thể tích thực tế của dung dịch axit 50% là $\frac{998+1,51x}{1,31}$ ml). Tìm khối lượng axit nguyên chất trong dung dịch 50% trùng với khối lượng axit 100% đã đổ vào, ta thu được phương trình 1,51x=0,5·(998+1,51x), từ đó tìm được $x \approx 661$ ml.

bạn đúng

1. Phải thêm thể tích axit sunfuric 91% ở 15 °C vào 1 lít nước để thu được chất điện phân cho pin hòa tan tự động với mật độ 1,290 e/cm³?

Mật độ của axit sulfuric 91% ở 15 °C là 1,825 e/cm³; axit sulfuric có mật độ 1,290 e/cm³ ở 15 °C có nồng độ 38,03%; Mật độ của nước ở 15 °C là 0,999 e/cm³.

2. Cần đổ bao nhiêu nước vào 800 ml axit axetic 100% để thu được dung dịch 65%? Quá trình trộn sẽ diễn ra ở 20°C.

Mật độ ở 20 °C của axit axetic 100% - 1,0498 e/cm³; nước - 0,998 e/cm³.

A. Châu Á (Odeska)

Trong thư gửi ban biên tập, Nechen Kong Qui (Hà Nội, DRV) thu hút sự chú ý của độc giả tạp chí về một sự kiện hình học khá thú vị mà những người yêu thích toán học chắc chắn sẽ đánh giá cao. Lời giải cho bài toán là một bài kiểm tra tốt về mức độ nâng cao của tài liệu khóa học planietri.

3. Trên mặt phẳng dưới cùng có một đường tròn có đường kính vuông góc với nhau $AB$ và $CD$ và một đường thẳng $m$ song song với đường thẳng $AB$. Qua điểm $T$ của đường tròn (khác với các điểm $C$ và $D$) vẽ một tiếp tuyến với đường tròn đó, cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $K$ và đường thẳng $m$ tại điểm $M$. Đặt $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của đường $m$ với đường $KC$ và $KD$. Chứng minh rằng tích độ dài của các đoạn $ME$ và $MF$ không phụ thuộc vào bán kính của đường tròn cũng như việc chọn điểm $T$ trên đường tròn.

Trong các phép biến đổi lượng giác và đặc biệt, đối với các phương trình lượng giác lời giải, việc biểu diễn biểu thức $c \sin x + b \cos x$ ở dạng sau có thể hữu ích:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi).$$

42

Góc φ xuất hiện trong công thức này thường được gọi là góc phụ. Như đã biết, nó được xác định bởi sự tương ứng

$$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

cho tới số hạng $2n\pi$ (trong đó $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$). Do đó, chỉ cần chỉ ra một góc φ nằm trong một khoảng độ dài $2\pi$ nào đó là đủ để thu được tất cả các giá trị khác của góc phụ.

Chúng ta hãy chú ý đến công thức rõ ràng đơn giản sau đây cho góc phụ, công thức này không có trong sách giáo khoa ở trường nhưng thuận tiện cho lời giải bài toán, đặc biệt là các phương trình có tham số. Chúng ta hãy chọn khoảng $-\pi < \varphi \leq \pi$ làm khoảng của độ dài $2\pi$. khi đó góc φ duy nhất nằm trong khoảng này và thỏa mãn hệ thức tổng quát (2) được xác định theo công thức

$$\varphi = \begin{cases} \arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \text{ если } b \geqslant 0; \\ -\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \text{ если } b < 0. \end{cases}$$

Trên thực tế, bất kể dấu của $b$, cả hai góc (3) đều thỏa mãn mối quan hệ thứ hai (2) và mối quan hệ thứ nhất (2) trong khoảng $-\pi < \varphi \leq \pi$ cho $b \geqslant 0$ chỉ được thỏa mãn bởi $\varphi = \arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ và chỉ cho $b < 0$ $\varphi = -\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Cần nhớ lại rằng không có quan hệ nào (2), được lấy riêng biệt (hoặc quan hệ $tg \varphi = b/a$, theo sau chúng, cũng được lấy riêng), là đủ để tìm góc phụ: nó xác định hai góc trong khoảng độ dài $2\pi$, chỉ một trong số đó thỏa mãn quan hệ tổng quát (2). Vì vậy, nếu $a = -1$, $b = \sqrt{3}$, thì phương trình $tg \varphi = b/a$ có hai nghiệm trong khoảng $-\pi < \varphi \leq \pi$: $-\pi/3$ và $2\pi/3$, nhưng chỉ nghiệm thứ hai trong số đó là (1) đúng.

Ưu điểm của công thức (3) có thể dễ dàng nhận thấy trong ví dụ sau.

Ví dụ 2 (MIEM, 1972). Giải phương trình

$$\sin^6 x + \cos^6 x = a \sin 4x,$$

ede $a - \text{параметр}$.

Bằng cách giảm lũy thừa ở vế trái của phương trình hai lần, chúng ta rút gọn nó về dạng

$$a \sin 4x - \frac{3}{8} \cos 4x = \frac{5}{8},$$

từ đó, sử dụng công thức (1) và (3), chúng ta thu được:

$$\sqrt{a^2 + \frac{9}{64}} \sin (4x + \varphi) = \frac{5}{8},$$

$$\varphi = -\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + \frac{9}{64}}}.$$

Rõ ràng là lời giải của phương trình này tồn tại với

$$\frac{5}{8} \leq \sqrt{a^2 + \frac{9}{64}},$$

tức là tại $|a| \geqslant 1/2$ và các công thức được đưa ra

$$x = \frac{(-1)^n}{4} \arcsin \frac{5}{\sqrt{64a^2 + 9}} + \frac{1}{4} \arccos \frac{8a}{\sqrt{64a^2 + 9}} + \frac{\pi n}{4},$$

trong đó $n$ là số nguyên. Việc sử dụng công thức (3) dẫn đến sự biểu diễn kết quả rất cô đọng (so sánh với đáp số, cho trong «Kvant», 1973, Số 7, trang 47, 60-61).

V. Rumus (Moscow)

Như bạn đã biết, một số phương trình “không chuẩn” có thể giải được nếu bạn tìm được phương trình thay thế cho phương trình chưa biết. Hãy thử tìm phương trình thay thế như vậy cho phương trình do học sinh lớp 8 S. Akhmedov (trạm Minjevny, Azerbaijan Liên Xô) gửi cho người biên tập.