[О решении задач по тригонометрии с применением формулы вспомогательного угла]

41

масса 1,31·(1000+x) е и, следовательно, в ней содержится 0,5·1,31×(1000+x) е чистой кислоты. Получаем уравнение

$$1,51x = 0,5 \cdot 1,31(1000+x),$$

откуда $x \approx 766$ мл.

Можно рассуждать и несколько инчаче. Масса $x$ мл чистой кислоты равна 1,51·x е, масса 1000 мл воды равна 998 е, а масса 50 %-го раствора составляет 1,31·(1000+x) е. Так как суммарная масса компонентов совпадает с массой раствора, то приходим к уравнению

$$1,51x + 998 = 1,31(1000+x),$$

откуда $x \approx 1560$ мл.

Мы видим, что эти два решения приводят к совершению различным результаты. На самом деле оба эти решения неверны. Впрочем, грубая ошибочность второго результата очень видна: если к литру воды добавить больше полутора литров чистой кислоты, то концентрация получающего раствор будет заведено выше 50 %.

Причина ошибки заключается в том, что предположение об адитивности объемов, которое было использовано в обих решениях, не соответствует действительности. При смешаннии кислот с водой пропсходит существование объемное жидние; его можно объяснить действием сил между молекулярного притяжения (молекулы воды слижаются с молекулами кислоты, пропникая в «пустоты» между ними). Поэтому решение задача на смешанние жидкости должно основывать на законе сохранения масс: суммарная масса компонентов раствора равна массе самого раствора.

Правильно решение рассматривается задачи состоит в следующем. Масса $x$ мл чистой кислоты равна 1,51·x е, масса 1000 мл воды равна 0,998·1000=998 е), так что суммарная масса компонентов раствора составляет (998+1,51 x) е (и действительный объем 50 %-го раствора кислоты равен $\frac{998+1,51x}{1,31}$ мл). Поискы масса чистой кислоты в 50 %-м растворе совпадает с массой влитой 100 %-й кислоты, то получаем уравнение 1,51x=0,5·(998+1,51x), откуда находим $x \approx 661$ мл.

У праванняя

1. Какой объем 91 %-й серной кислоты надо добавить при 15 °C к 1 л воды, чтобы получить электролит для аккумулятора автоматического растворения с плотностью 1,290 е/cm³?

Плотность 91 %-й серной кислоты при 15 °C равна 1,825 е/cm³; серная кислота с плотностью 1,290 е/cm³ при 15 °C имеет концентрацию 38,03%; плотность воды при 15 °C составляет 0,999 е/cm³.

2. Сколько воды надо влить в 800 мл 100 %-й уксуной кислоты для получения 65 %-го раствора? Смешивание произвольится при 20 °C.

Плотность при 20 °C 100 %-й уксуной кислоты — 1,0498 е/cm³; воды — 0,998 е/cm³.

А. Азия (Одеска)

В своем письме в редакцию Нечен Конг Кви (Ханой, ДРВ) предлагает внимание читателей журнала довольно интересный геометрический факт, и любители математики, без сомнения, по достоинству это оценят. Решение приводимой задачи — хорошая проверка того, насолько активно усовен материал курса планиетри.

3. На плоскости дна okружность с взаимно перпендикулярными диаметрами $AB$ и $CD$ и прямая $m$, параллельная прямой $AB$. Через точку $T$ okружности (отличную от точки $C$ и $D$) проведена касательная к ней, пересекающая прямую $AB$ в точке $K$ и прямую $m$ в точке $M$. Пусть $E$ и $F$ — точки пересечения прямой $m$ с прямыми $KC$ и $KD$ соответственно. Доказать, что произведение длин отрезков $ME$ и $MF$ не зависит ни от радиуса okружности, ни от выбора точки $T$ на okружности.

В тригонометрических преобразованиях и, в частности, при решении тригонометрических уравнений бывают полезно представить выражение $c \sin x + b \cos x$ в следующем виде:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi).$$

42

Появляющийся в этой формуле угол φ обычно называют вспомогательным углом. Как известно, он определяется соответствием

$$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

с точностью до слагаемого $2n\pi$ (где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$). Поэтому достаточно указать один угол φ, лежащий в каком-нибудь промежутке длины $2\pi$, чтобы получить все остальные значения вспомогательного угла.

Обратим внимание на следующую простую явную формулу для вспомогательного угла, которая отсутствует в школьных учебниках, но удобна при решении задач, особенно уравнений с параметром. Выберем в качестве промежутка длины $2\pi$ промежуток $-\pi < \varphi \leq \pi$. тогда единственный угол φ, лежащий в этом промежутке и удовлетворяющий общим соотношением (2), определяется формулой

$$\varphi = \begin{cases} \arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \text{ если } b \geqslant 0; \\ -\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \text{ если } b < 0. \end{cases}$$

В самом деле, независимо от знака $b$ оба угла (3) удовлетворяют второму соотношению (2), а первому соотношению (2) в промежутке $-\pi < \varphi \leq \pi$ при $b \geqslant 0$ удовлетворяет только $\varphi = \arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ и при $b < 0$ только $\varphi = -\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Следует напомнить, что ни одно из соотношений (2), взятое отделно (или вытекающей из них соотношение $tg \varphi = b/a$, также взятое отделно), не является достаочным для нахождения вспомогательного угла: оно определяет в промежутке длины $2\pi$ два угла, из которых только один удовлетворяет общим соотношением (2). Так, если $a = -1$, $b = \sqrt{3}$, то уравнение $tg \varphi = b/a$ имеет в промежутке $-\pi < \varphi \leq \pi$ два корня: $-\pi/3$ и $2\pi/3$, но лишь для второго из них справедливо (1).

Преимущества формулы (3) легко увидеть на следующем примере.

Пример 2 (МИЭМ, 1972). Peшить уравнение

$$\sin^6 x + \cos^6 x = a \sin 4x,$$

эде $a - \text{параметр}$.

Двухратным понжением степени в левой части уравнения приводится к виду

$$a \sin 4x - \frac{3}{8} \cos 4x = \frac{5}{8},$$

откуда с помощью формул (1) и (3) получаем:

$$\sqrt{a^2 + \frac{9}{64}} \sin (4x + \varphi) = \frac{5}{8},$$

$$\varphi = -\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2 + \frac{9}{64}}}.$$

Ясно, что решение этого уравнения существует при

$$\frac{5}{8} \leq \sqrt{a^2 + \frac{9}{64}},$$

т. е. при $|a| \geqslant 1/2$, и даются формулы

$$x = \frac{(-1)^n}{4} \arcsin \frac{5}{\sqrt{64a^2 + 9}} + \frac{1}{4} \arccos \frac{8a}{\sqrt{64a^2 + 9}} + \frac{\pi n}{4},$$

где $n$ — целое. Использование формулы (3) приводило к весмам компактной записи результата (ср. с ответом, приведенным в «Кванте», 1973, № 7, с. 47, 60—61).

В. Румус (Москва)

Как известно, неокоторые «нестандартные» уравнения удаляются решить, если найти уравнию замену неизвестного. Попробуйте отыскать такой замену для уравнения, которое прислал в редакцию ученик 8 класса С. Ахмедов (станция Минджевны Азербайджанской СССР).