Что такое вектор?

2

Что такое вектор?

Слово «вектор» встречается в математике, физике и прикладных дисциплин. Эти словом обозначают совем разные объекты, не похожие друг на друга. Так, в школьном учебнике геометрии понятие вектора отложетляется с понятем параллельного перенока (плоскости или пространства). В физике при описании ряда величины говорят, что они имеют векторный характер — таковые скорость механического движения, сила притяжения, направленность магнитного поля. Что же то обшее, что позволяет назвать все эти объекты одинаково? Как нужно построить математическую теорию, чтобы получитьшееся понятие обслуживающего потребности и математики, и физики? Об этом и рассказывается в статье.

1. Векторное пространство

Математика имеет замечательный способ определить новое понятие, описая его свойства. Так, например, вместо того, чтобы прямо определить, что такое действительное число (с помощью десятичных дробей или какнибуд еще), в большинстве книг перечисляют их основные свойства, которые и пользовются в дальнейшем. Такой подход — он называется аксиоматическим — очень распространен в современной математике. Школьный курс геометрии построен именно так. Аналогично построают и с векторами — перечисляют общие свойства, присущие всем векторным величинам, встречающийся и в математике, и в ее приложениях.

Как и всегда при аксиоматическом подходе, мы будем определять не что такое отдельно взятый, изолированный «вектор», а сразу всего сокупность векторов — векторное пространство.

Векторное пространство — это многожество М с двумя операциями, удовлевorioции определенным пребованием *). Однако эти операции (ее принято называть сложением) каждой паре a, b элементов множества M ставит в соответствии третий элемент (этот элемент называется суммой элементов a и b и обозначает a + b). Вторая операция каждой элемента a множества M и каждой действительному числу λ ставит в соответствии элемента множества M, называемый произведением элемента a на число λ (это «произведение» обозначает λa).

Перечислим требования (аксиомы векторное пространство), которые должны удовлетворять указанные операции:

1°. Сложение векторов подчиняется сочетательному (ассоциативному) и переместительному (коммунативному) законам:
$$x + (y + z) = (x + y) + z;$$
$$x + y = y + x.$$

2°. Существует нулевой вектор: 0, такой, что x + 0 = x.

3°. Для каждой вектора существует вектор, сумма которого с исходным вектором есть нулевой вектор.
$$4^\circ. (\lambda_1 \lambda_2)x = \lambda_1(\lambda_2x).$$
$$5^\circ. (\lambda_1 + \lambda_2)x = \lambda_1x + \lambda_2x.$$
$$6^\circ. \lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y.$$
$$7^\circ. 1 \cdot x = x.$$

Здесь x, y, z — произвольные векторы, $\lambda, \lambda_1$ и $\lambda_2$ — любые действительные числа.

2. Примеры векторов пространства

Ниболье прививные для нас векторы — это направленные отрезки на плоскости. Однако устроить из направленных отрезков векторное про-
*) Сравните с определением колба в «Кванте», 1974, № 2, с. 4.

3

странство совсем не легко. Поэтому мы начнем с более простых примеров.

1. Линейные функции
   Рассмотрим всевозможные линейные функции (заданы на множество R всех действительных чисел). Каждый такая функция задается равным: $x \rightarrow ax + b$. Понятно, что сумма двух линейных функций есть снова линейная функция. Точно также, если линейную функцию умножить на число, то получится опять линейная функция. При этом все аксимы $1^\circ - 7^\circ$ выполняются, и таким образом, множество линейных функций с этим операциями является векторным пространством.

2. Параллельные переnosы
   Рассмотрим множество всех параллельных переnosов плоскости. Их можно складывать, последовательно выполняя друг за другом, умножать на числа. С этим векторным пространством вы и встречаете в школе.

3. Пространство строк
   Рассмотрим строки фиксированной длины $n$ из действительных чисел: $(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Определим сложение строк и умножение их на числа поэлементно:
   $$(a_1, a_2, \dots, a_n) + (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n);$$
   $\lambda (a_1, a_2, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \dots, \lambda a_n)$. Очевидно, что строки длины $n$ с так определенными операциями образуют векторное пространство.

4. Квадратные трехпlexы
   Множество квадратных трехпlexов $\{ax^2 + bx + c\}$ (числа $a, b, c$ могут быть и нулями) также образует векторное пространство по отношению к общным операциям сложения многочленов и умножения их на числа.

5. Многочлены
   Множество всех многочленов с теми же операциями тоже образует векторное пространство.

6. Функции
   Все функции, заданные на каком-то числовом множество A, образуют векторное пространство по отношению к общим операциям A, образуется сначала на числом B (т. е. от B откладывают направленный отрезок, принадлежащий второму классу), и если точка C — конец второго отрезка, то AC — направленный отрезок, принадлежащий классу, соответствующему сумме векторов. Поставляется самостоятельное доказать, что это определение суммы корректно, т. е. что результат не зависит от того, какой направленный отрезок из первого класса мы выбираем. Дайте графическое определение умножения на число. (Обращаться со свободными векторами трудно потому,

4

что каждый из них представляет целый класс направленных отрезков. Графические же мы всегда изображаем каждый класс каким-то одним отрезком, выбирать который мы можем по своему произвольу. Поэтому приходится проверять, что результат не зависит от произвольного выбранных нами представителей.

3. Координаты

Вернемся к нашему первому примеру — векторному пространству линейных функций.

Рассмотрим две функции:
$$f_1: x \rightarrow x,$$
$$f_2: x \rightarrow 1.$$

Любая функция $f: x \rightarrow ax+b$ может быть представлена в виде линейной комбинации этих функций: $f=af_1+bf_2$. Пара чисел $(a, b)$ называется координатами линейной функции $f$.

Замечательно то, что при сложении линейных функций их координаты складываются, как строки:
$$f_1: x \rightarrow ax+b \leftrightarrow (a, b),$$
$$f_2: x \rightarrow cx+d \leftrightarrow (c, d),$$
$$f_1+f_2: x \rightarrow (a+c)x+(b+d) \leftrightarrow (a+c,b+d);$$
но
$$(a+c,b+d)=(a,b)+(c,d).$$

Приведем еще несколько примеров. В векторном пространстве паральных переносов плоскости можно выбрать два паральных переnosа (например, на два непаральных вектора длины 1), по которым раскладывается любой перенос; коэффициенты этого разложения называются координатами соответствующего переnosа.

Рассмотрим в векторном пространстве строк длины $n=4$ строки
$$f_1=(1,0,0,0), f_2=(0,1,0,0),$$
$$f_3=(0,0,1,0), f_4=(0,0,0,1).$$

Любую строку $f=(a_1,a_2,a_3,a_4)$ мы можем представить в виде
$$f=a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+a_4b_4;$$
числа $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ называются координатами строки $f$.

В векторном пространстве квадратных трехчленов для произвольного трехчлена $f=ax^2+bx+c$ имеем:
$$f=af_1+bf_2+cf_3,$$
$$f_1=x, f_2=x^2, \dots, f_n=x^n, \dots.$$

Тогда любой многочлен $F$ записется в виде конечной линейной комбинации выбранных многочленов; коэффициенты разложения многочлена $F$ по многочленам $f_0, f_1, \dots$ — это его координаты:
$$F(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...$$
$$...+a_1x+a_0=a_mf_m+a_{m-1}f_{m-1}+...$$
$$...+a_1f_1+a_0f_0 \leftrightarrow (a_m,a_{m-1},...,a_1,a_0).$$

Тепер мы уже можем задать ряд вопросов. Как в данном пространстве выбрать систему векторов, по которой раскладывается бы любой вектор этого пространства? Когда эти системы можно выбрать конечной? В какой мере разложение однозначно? И как связаны между собой коэффициенты разложения по разным системам векторов?

Ответы на эти вопросы дает раздел математики, имеемый линейной алгеброй. Вот краткий обзор некоторых результатов.

1. Векторные пространства вывраток конечномерные и бесконечномерные. В конечномерных существуют конечные системы векторов, по которым раскладывается любой вектор пространства. В наших примерах пространства линейных функций, квадратных трехчленов, строк, параллельных переnosов и свободных векторов — конечномерные. Пространства же всех многочленов и всех функций бесконечномерны.

2. Для конечномерного пространства можно указать наименьшее число $n$ такое, что существует $n$ векторов, по которым раскладывается любой вектор пространства. Это число $n$ называется размерностью пространства. Так, пространство линейных функций имеет размерность 2, пространство квадратных трехчленов