Сложение фигур

22

Н. Васильев

Сложение фигур

По-видимому, каждый из читателей появляется, что от него требуется, если его попросит сложить из трех одинаковых треугольников трапецию или из четырех углов — уголок вдвое большого размера. Но в нашей заметке пойдет речь о «сложении» совсем другого рода. Суммой двух треугольников у нас будет, как правило, выпуклый шестугольник, суммой двух одинаковых кругов — круг вдвое большого радиуса, а суммой двух отрезков — параллелограмм. Чтобы отличить операцию, о котором мы будем расссказать, от объного «объединения», ее называют «векторной суммой» или «суммой Минковского» — по имени изучившего ее замечательного немецкого математика Германа Минковского (1864—1909). Наболее интересные примения этого понятия относятся к выпуклым телам в трехмерном и вообще n-мерном пространстве. Но мы будем иметь дело главным образом с плоскими фигурами.

Поводом для этой заметки послужила задача М330 из «заданияка «Кванта», которое мы здесь решим. Вотее формулировка.

На плоскости расположены два выпуклых многоугольника F и G. Обозначим через H множество точек, в котором может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит F, второй — G. Докажите, что H — выпуклый многоугольник.

a) Сколько сторон может иметь H, если F имеет их n₁, a G — n₂?

b) Каков может быть периметр H, если периметр F равен P₁, a G — P₂?

в)* Какова может быть площадь H, если площадь F равна S₁, а площадь G — S₂?

§ 1. Множество середин

Начнем с разбора более простой задачи.

Задача 1. Данны два отрезка: [AB] и [CD]. Найти множество точек, в которых может попасть середина отрезка, один конец которого P лежит на [AB], а другой конец Q — на [CD].

Решен ие. Рассмотрим сначала общий случай, когда отрезки [AB] и [CD] не параллельны. (Частный случай [AB] || [CD] мы обсуждим ниже.) Обозначим середину отрезка [PQ] через M. Зафиксируем сначала положение точки Q. Если P пробегает весь отрезок [AB], то при этом M пробегает среднюю линию треугольника QAB (рис. 1a)— отрезок с концами в серединах отрезков [QA] и

Рис. 1a.

Рис. 16.

23

[QB]. Если теперь заставить точку Q пройти весь отрезок [CD], то средняя линия треугольника QAB, очевидно, заметет целый параллелограмм (рис. 16)—вершинами его будут середины отрезков [AC], [AD], [BC] и [BD].

Заметим, что если [AB] и [CD] пересекаются, то искомое множество — параллелограмм с вершинами в серединах сторон выпуклого четырехугольника ACBD, а если [AB] и [CD] не лежат в одной плоскости, то наш параллелограмм получится в сечении тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной [AB] и [CD] и проходящей посередине между ними.

Выясним, во что превращится этот параллелограмм, когда отрезки [AB] и [CD] параллельны. (Можно считать, что они и одинаково направлены.) Если [AB] и [CD] принадлежат различных параллельным прямым, то ABDC — трапеця, а середины M отрезков PQ заполют среднюю линию этой трапеции (рис. 1в)—отрезок с концами в серединах отрезков [AC] и [BD].

Такой же ответ получается и в том случае, когда [AB] и [CD] принадлежат одной прямой. Здесь, чтобы не разбирать различных расположений точек A, B, C, D на прямой, удобно перевести задачу на язык альгебры. Будем считать, что наш прямая — числовая ось, координаты данных точек — $k_A, k_B, k_C, k_D$ ($k_A < k_B, k_C < k_D$), и воспользовемся таким фактом: множество чисел ($x_P + x_Q)/2$, где $x_P \in [k_A, k_B]$, $x_Q \in [k_C, k_D]$—отрезок $[(k_A + k_B)/2, (k_C + k_D)/2]$

Рис. 1в.

Рис. 1г.

24

Рис. 2.

Пример 2. Полусумма двух прямугольников F и G размерами $a \times b$ и $c \times d$, у которых стороны $a$ и $c$ параллельны,— прямугольник размерами $(a+c)/2 \times (b+d)/2$ (рис. 2).

Действительно, в системе координат $Oxy$, у которой ось $Ox$ параллельна сторонам $a$ и $c$, координаты $x$ точек прямугольников F и G пробегают отрезки длиной $a$ и $c$, координаты $y$— отрезки длиной $b$ и $d$, а полусуммы этих координат— отрезки соответствующего длиной $(a+c)/2$ и $(b+d)/2$. (Здесь вновь пригодится тот «очевидный факт», который мы использовали в конце решения задачи 1.)

Задание 2. Найти полусумму следующих прямугольников;

а) двух непараллельно расположенных прямугольников;

б) правильного треугольника и его стороны;

в) двух треугольников, на которые квадрат разрезается диагональю;

г) квадрата и правильного треугольника, имеющих одну общую сторону;

д) отрезка и кругга;

e) двух окружностей разного радиуса;

ж) полукругности с самой собой;

з) полукругностей, составляющих вместе окружность;

и) одна фигура— две соседние стороны правильного пятугольника, другая— три остальные его стороны.

Решение задачи 2a). Будемлейтовать так же, как при решении задачи 1. Зафиксируем точку $P$ прямугольника $F$ (рис. 3). Тогда множество точек $P, Q$, где $Q$ пробегает $G$, — прямугольник $\{P\}$. Громотетчный $G$ с коэффициентом 1/2 (и с центром гомотетии $P$). Мы должны теперь обедининие всех прямугольников $\{P\} \ast G$, где $P$ пробегает $F$. Нетрудно видеть, что нужно обедининие $F \ast G$ (фигура, заметаемая голубым прямугольником на рис. 3, когда нижняя синяя вершина пробегает розовый прямугольник, гомотетчный прямугольнику $F$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$—выпуклый восмнутольник, стороны которого параллельны сторонам данных прямугольников, а по длине равны их половина.

Сопоставляя задачу 2a) с предшествующим ей примером 2, мы видим, что форма фигуры $F \ast G$ может существенно измениться при повороте одной из фигур $F$ или $G$.

Восемь ответов к пунктам 6)— и) задачи 2 в беспорядке приведены на рисунке 4.

Задание 3. Найти полусумму следующих фигур в пространстве:

а) двух параллельно расположенных прямугольников параллелепидов;

25

§ 2. Полусумма выпуклых многоугольников

Напомним, что множество точек F называется выпуклым, если для любых двух точек P и Q из F весь отрезок [PQ] содержится в F.

Возможно, вы заметили, что нахождение полусумму выпуклых фигур прошел, чем не выпуклы, причем если F и G — выпуклы фигур, то F*G — тоже выпукло.

Докажем это. Пусть $M_1$ и $M_2$ — произвольные точки из FG. тогда $M_1 = P_1 * Q_1$, $M_2 = P_2 * Q_2$ при некоторых $P_1 \in F$, $P_2 \in F$, $Q_1 \in G$, $Q_2 \in G^*$). Поскольку F и G выпуклы, то $[P_1 P_2] \subset F$ и $[Q_1 Q_2] \subset G$. тогда $[P_1 P_2] * [Q_1 Q_2] \subset F * G$. Но, как мы знаем (пример 1), полусумма отрезков — параллелограмм, причем точки $M_1$ и $M_2$ — его вершины (параллелограмм может выродиться в отрезок, содержащий точки $M_1$ и $M_2$). Раз фигур FG содержит этот параллелограмм, она содержит

$$*) Мы используем общие обозначения: F \cap G — пересечение фигур F и G, F \cup G — их объединение, G \subset F (или F \supset G) означает, что G содержится в F, P \in F — что точка P принадлежит F.$$

и отрезок $[M_1 M_2] : F * G \supset ([P_1 P_2] * [Q_1 Q_2]) \supset [M_1 M_2]$.

Из примеров, встретившихся в задачах 2 а)—и), видно, что получима выпуклы многоугольников F и G — многоугольник, стороны которого параллельны сторонам F и G, но вдвое короче. Доказать этот факт (и даже точно его формулировать) прошел всего, представив выпуклы многоугольник как пересечение полуплоскостей.

Bydem говорить, что две полуплоскости $σ_1$ и $σ_2$ имеют одинаковое направление, если $σ_1 \supset σ_2$ или $σ_2 \supset σ_1$. Разумеется, края таких полуплоскостей $l_1$ и $l_2$—параллельные прямые, а их получима $σ_1 * σ_2$—полуплоскость того же направления, края которой — прямая $l_1 * l_2$, расположенная посередине между $l_1$ и $l_2$. (Доказите это аккуратно!)

Назовем полуплоскость $σ_F$ опорной для многоугольника F, если $σ_F \supset F$ и пересечение F с граничной прямой $l_F$ полуплоскости $σ_F$ не пусто. Это пересечение $l_F \cap F$ назовем опорным многожестом. Ясно, что для каждой направления σ есть свой опорная полуплоскость. Соответствие её опорное множество — либо одна точка (вершина многоугольника), либо отрезок (сторона многоугольника).

Опорное множество мы обозначим $F_\sigma$.

Пусть F и G — два выпуклых многоугольника, $σ_F$ и $σ_G$ — их опорные полуплоскости одного и того же направления, $F_\sigma$ и $G_\sigma$ — соответствующие опорные многожества. Легко найти опорное множество того же направления для полусуммы F*G: оно равно полусумме опорных многожестов $F_\sigma$ и $G_\sigma$, то есть

$$(F * G)_\sigma = F_\sigma * G_\sigma.$$

Действительно (рис. 6), середина M любого отрезка PQ, где P ∈ F, Q ∈ G, лежит в полуплоскости $σ_F * σ_G = \sigma_F * G$, причем на граничную прямую полуплоскости $σ_F * G$ точка M может попасть в том и только в том случае, если одновременно P ∈ F_\sigma$и Q ∈ G_\sigma$.

26

Теперь мы можем сформировать удобное правило, позволяющее найти полусумму F * G выпуклых многоугольников F и G.

Нужно рассмотреть какое направление σ, для которого хотя бы одно из соответствующих опорных множества Fσ и Gσ является отрезком (сторной F или G), и построить полусумму Fσ и Gσ — отрезок Fσ * Gσ (пользуясь примерами 16), в)). Объедининие всех этих отрезков Fσ * Gσ по разным направлениям σ — граница фигур F * G.

Применение этого правила иллюстрирует рисунок 6, где каждому из направлений σ соответствует свой цвет. Ясно, что опорные множества Fσ, Gσ, а значит, и (F * G)σ = Fσ * Gσ для остальных «промежутных» направлений состоит из отдельных точек (вершин соответствующих многоугольников). Мы уже доказали, что фигура F * G выпукла. Теперь, найдя ее границу, мы видим, что F * G — выпуклый многого-

Рис. 6.

у голень к, причем направления его сторон — те же, что у F и G.

Задачка 4. а) Докажите, что если σ и τ — полуплоскости разных направлений, то σ*τ — вся плоскость.

б) Попробуйте решить задачи 2a) — г), пользовать правлом, сформированным выше.

в) Приведите пример пятугольника F и треугольника G, для которых F * G имеет 5, 6, 7 и 8 сторон.

Теперь уже легко даbt ответы на вопросы a) и б) задачи M330:

a) количество сторон полусуммы n1-уольника и n2-уольника может быть любым числом, которое не больше n1+n2 и не меньше, чем наиболее из чисел n1, n2;

b) периметр F * G равен полусумме периметров F и G*).

Найти ответ на вопрос b) задачи M330 и обосновать его намного труднее. Мы узнали его в § 4. А пока рассскажем о том, что такое сумма и линейная комбинация фигур.

§ 3. Суммы и линейные комбинации фигур

Мы очень много раз использовали слово «полусумма» и заменяющий его знаок *. Пора сказать, что такое сумма двух фигур.

Зафиксируем некоторую точку O (начало отсечена или полос).

О пределене 2. Можество всех концов M векторов

$\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{OQ}$, где P и Q — произвольные точки фигур F и G соответственно, называется суммой (или суммой Минковского) фигур F и G (рис. 7). Сумма F и G обозначает F + G.

О пределене 3. Можество всех концов M векторов

$\vec{OM} = \lambda \cdot \vec{OP}$, где P — произвольная точка фигур F, λ — данное положительное число, называется произведением F на λ (рис. 8). Эта фигура обозначает λF.

*) Действительно, если длину точки считать равной 0, то длина (F * G)σ равна полусумме длин Fσ и Gσ для каждой направления σ.

27

Пример 3. «Полусумма» $F*G$ (определение 1) есть как раз $\frac{1}{2}(F_1 + F_2)$: ведь условие $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$ ознакомает, что $M$ — середина отрезка $[PQ]$.

Фигуру $\lambda F + \mu G$, где $\lambda$ и $\mu$ — положительные числа, мы будем называть линейной комбинацией фигура $F$ и $G$.

Пример 4. Линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ прямогольников $a \times b$ и $c \times d$, у которых стороны $a$ и $c$ параллельны (как в примере 2), прямогольник $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$.

Задача 5. Как выглядят линейные комбинации $\lambda F + \mu G$ тех фигура $F$ и $G$, получим которых требовалось найти в задачах 2—4?

Задача 6. Докажите следующие свойства введенных операций:
1°) $F_1 + F_2 = F_2 + F_1$;
2°) $(F_1 + F_2) + F_3 = F_1 + (F_2 + F_3)$;
3°) $\lambda(\mu F) = (\lambda \mu) F$;
4°) $\lambda(F_1 + F_2) = \lambda F_1 + \lambda F_2$;
5°) если $F_1 \subset F_2$, $G_1 \subset G_2$, то $\lambda F_1 + \mu G_1 \subset \lambda F_2 + \mu G_2$;
6°) $\lambda F + \mu F \supset (\lambda + \mu) F$; если $F$ выпукло, то $\lambda F + \mu F = (\lambda + \mu) F$;
7°) $\lambda(F \cup G) = \lambda F \cup \lambda G$ и $H + (F \cup G) = (H + F) \cup (H + G)$;
8°) $\lambda(F \cap G) = \lambda F \cap \lambda G$ и $H + (F \cap G) \subset (H + F) \cap (H + G)$;

9°) если $\lambda + \mu = 1$, то линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ не зависит от того, в какой точке $O$ помещен «полюс».

Вообщие говоря, при другом выборе полюса $O$ и при параллельном переносе данных фигура $F$ и $G$ линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ меняется, но не существует — она просто подвергается параллельному переосению. Таким образом, если условия две фигуры, получающие друг из других параллельными переосами, не различаются, считать эквивалентными, то можно не указывать, где выбран полос — результат $\lambda F + \mu G$ будет однозначно определен.

Заметим, что любая линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ фигура $F$ и $G$ получается из «нормированной» комбинации $\frac{\lambda}{\lambda + \mu} F + \frac{\mu}{\lambda + \mu} G$ (такой, у координат сумма коэффициентов равна 1) умножением на число $(\lambda + \mu)$, то есть просто готовей. Таким образом, линейные комбинации $c \lambda + \mu \neq 1$. не даут новых по форме фигура.

Опишем один способ представить себе все нормированные линейные комбинации двух выпуклых многоугольников $F$ и $G$. Пересечем один из них (не поворачивая) в параллельную плоскость и построим «выпуклую оболочку» $F$ и $G$ — выпуклый многоугольник, все вершины которого совпадают с вершинами $F$ и $G$ (например, правильный октадр на рисунке 5 — выпуклая оболочка верхнего и нижнего треугольников; его «среднее сечение» — полусумма этих треугольников). Тогда сечение этого многоугольника плоскости, параллельными $F$ и $G$, даут как раз линейные комбинации $\lambda F + \mu G$, где $\lambda + \mu = 1$; относение $\lambda/\mu$ равно отношению расстояний от секущей плоскости до плоскости $F$ и $G$.

Следующие пять задач с разных сторон иллюстрируют понятие «суммы Минковского».

Задача 7. Из точки $O$, лежащей на границе полуплоскости, внутри полуплоскости направлено $n$ векторов длины 1. Дока-

Рис. 7.

Рис. 8.

28

Жите, что если $n$ нечетно, то длина их суммы не меньше 1.

Задание 8. Пусть $F$ — выпуклый многоугольник, $S$ — его площадь, $P$ — перimeter, $K$ — круг радиуса $1$ с центром $O$. Докажите, что площадь фигуры $F + \rho K$ (ρ-окрестности многоугольника $F$) равна $S + \rho P + \rho^2\pi$. Напишите аналогичную формулу для объема $\rho$-окрестности выпуклого многоугольника.

Задание 9. Докажите, что следующие три свойства выпуклого многоугольника $F$ эквивалентны: (1) $F$ имеет центр симметричности; (2) $F$ можно разрезать на параллелограммы; (3) $F$ есть сумма нескольких отрезков.

Задание 10. Докажите, что следующие два свойства выпуклого многоугольника эквивалентны: (1) все грани $F$ — параллелограммы; (2) $F$ есть сумма нескольких отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Сколько граней имеет такой многоугольник, если количество отрезков — $k$?

Задание 11. От незаагащенного округа в одной точке загорелся лес. Ветер дул в течение времени $t_1$ со скоростью $v_1$, затем $t_2$ со скоростью $v_2$, …, $t_n$ со скоростью $v_n$. Пожар распространяется от загоревшихся участков со скоростью ветра (причем эти участки продолжают гореть). Какой участок выгорел за это время? А если пожар, кроме того, распространяется равномерно по всем направлениям со скоростью $u$? (А. Савин)

§ 4. Площадь суммы фигуры

Площадь фигуры $F$ будем обозначать через $S_F$. Теорема о площадях гомотетических фигуры гласит:

$$S_{\lambda F} = \lambda^2 S_F.$$

Посмотрим, что можно сказать о площади суммы и, вообще, линейной комбинации двух фигуры. Начнем с частного случая, когда $F$ и $G$ — прямоугольники $a \times b$ и $c \times d$, причем стороны длины $a$ и $c$ параллельны. Тогда $\lambda F + \mu G$ — прямоугольник $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$ и

$$S_{\lambda F + \mu G} = (\lambda a + \mu c)(\lambda b + \mu d) = \lambda^2 ab + \mu^2 cd + \lambda \mu (ad + bc) \geq \lambda^2 ab + \mu^2 cd + 2\lambda \mu \sqrt{abcd} = (\lambda \sqrt{ab} + \mu \sqrt{cd})^2,$$

то есть

$$S_{\lambda F + \mu G} \geq (\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2.$$

(мы воспользовались неравенством $p + q \geq 2\sqrt{pq}$). Получить какое-то еще, кроме неравенства (2), ограничения на величины $S_{\lambda F} + \mu G$ при заданных $S_F$ и $S_G$ нельзя. Действительно, положив в (2) $b = a$, $c = ke$, $d = e|k$ ($k$ — какое-то положительное число), мы получим: $S_F = a^2$, $S_G = e^2$, $S_{\lambda F} + \mu G = \lambda^2 a^2 + \mu^2 e^2 + \lambda \mu e \left( k + \frac{1}{k} \right) = (\lambda a + \mu e)^2 + \left( k + \frac{1}{k} - 2 \right) \lambda \mu e$.

При фиксированных $a$, $e$ и $\lambda$, $\mu$ вторая скобка принимает любое неотрицательное значение (в зависимости от $k$), поэтому $S_{\lambda F} + \mu G$ может принять любое значение, не меньше $(\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2$.

Теперь мы можем, наконец, привести ответ на вопрос в задачи М330: площадь получемых выпуклых многоугольников площадей $S_1$ и $S_2$ может принимать любое значение, больше или равное $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2/4$.

Тот факт, что меньше значения площадь получемых принимать не может, вытекает из следующей замечательной теоремы.

Теорема Брунна — Минковского. Неравиственное (2) выполнение для любых двух выпуклых фигуры $F$, $G$ и любых положительных чисел $\lambda$, $\mu$.

Доказательство. Прежде всего, использую соображения подобия и формулу (1), легко свести до к случая, когда площади данных фигуры равны, а линейная комбинация — нормирована. Для этого случая неравенство (2) выглядит очень просто:

$$\text{если } S_F = S_G = S \text{ и } \lambda + \mu = 1, \text{ то } S_{\lambda F} + \mu G \geq S.$$

Покажем, как из (3) выводится неравенство (2) для любых $F$, $G$, $\lambda$ и $\mu$. Расмотрим вместе с $F$ и $G$ готовыми им фигуры площади $S$:

$$F^* = \sqrt{S/S_F} F, \quad G^* = \sqrt{S/S_G} G.$$

29

Тогда
$$\lambda F + \mu G = \lambda \sqrt{S_F/S} F^* + \mu \sqrt{S_G/S} G^* = \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \left( \lambda^* F^* + \mu^* G^* \right),$$
где $\lambda^* + \mu^* = 1$. Применяя (3) к $\lambda^* F^* + \mu^* G^*$ и получим (2):
$$\sqrt{S_{\lambda F} + \mu G} \geq \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \sqrt{S} = \lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G}.$$

Вот основное сообщение, используемое при доказательстве неравенства (3). Если фигура F разбита горизонтальной прямой $l$ на две части: верхнюю $F_B$ и нижнюю $F_H$, и аналогично, G другой горизонтальной прямой $m$ разделена на две части $G_B$ и $G_H$, то множество $\lambda F_B + \mu G_B$ и $\lambda F_H + \mu G_H$ не налегают друг на друга: первое лежит выше прямой $\lambda l + \mu m$, второе — ниже.

Тепер доказательство в двух словах можно закончит так.

Разобем многоугольники $F$ и $G$ на $N$ узких горизонтальных полосок и занумеруем их по порядку сверху вниз: $F_1 \cup F_2 \cup ... \cup F_N = F$, $G_1 \cup G_2 \cup ... \cup G_N = G$. Каждый полоску можно считать прямойником площади $S/N$ (если $N$ велико, это «с точностью до сколь угодно малого ε» не влияет на площади фигур $F$, $G$ и $\lambda F + \mu G$). Но для прямогольников с параллельными сторонами основное неравенство (2) уже доказано, поэтому площад каждой из полосок $\lambda F_i + \mu G_i$, $i=1,2,...,N$ (мы складываем лишь полоски с одинаковыми номерами!), не меньше $S/N$. А поскольку эти $N$ полосок не налегают друг на друга и, разумеется, содержатся в $\lambda F + \mu G$, то площад $S_{\lambda F} + \mu G$ не меньше $S$.

Итак, неравенство Брунна — Минковского доказано. Приведем здесь только одно его следствие. Это — заменята и операторическая теорема: площад любой фигур с периметром $P$ не больше

ше, чем площад круда с длиной окружности $P$. Докажем ее для выпуклого многоугольника $F$. Используя обозначения и результат задачи 8, применим к сумме $F + K$ (К — круг единчного радиуса) неравенство Брунна. Получим:

$$\sqrt{S + P + \pi} \geq \sqrt{S} + \sqrt{\pi},$$

или, после упрощения, $S \leq P^2/4\pi$. Это и есть нужное неравенство!

Задача 12. a) Докажите, что для площад линейной комбинации двух выпukлых многоугольников верна формула $S_{\lambda F} + \mu G = S_F \lambda^2 + 2S_F G \lambda \mu + S_G \mu^2$, где число $S_F,G$ зависит только от $F$ и $G$ (это число называется смешанной площадью фигур $F$ и $G$). Найдите $S_F,G$ для фигур $F$, $G$ из задачи 2a) — д).

6. Докажите, что всегда $S_F,G \geq S_F S_G$, причем равенство имеет место, только если многоугольники $F$ и $G$ готовятся.

Задача 13. Докажите, что неравенство (2) верно для произвольных фигур (не обязательно выпukлых). Подумайте, как сформировать и доказать аналогичную теорему для объемов пространственных фигур.

В заключение нашей знаменитого знакомства с суммой Минковского перечислим некоторые книги и статьи, в которых расссказано о сложении фигур, применении этой операции к теории выпukлых множества, в частности, о различных доказательствах неравенства Брунна — Минковского, его обобщения и геометрических следствиях.

И. М. Яглом, В. Г. Болтянский. «Выпukлые фигуры» (книга из серии «Библотека математического кружка», вып. 4). Гостехтеориздат, 1951 г.

Л. А. Люстерник. «Выпukлые фигур и многоугольники». Гостехтеориздат, 1956 г.

Б. Н. Делоне. Доказательство неравенства Брунна — Минковского. «Успех математических наук», вып. II (1936 г.).

Н. Б. Васильев. Семейство параллельных $n$-угольников. «Квант», №11, 1974 г.; решение задачи М295, «Квант», №6, 1975г.

Г. Хадвигер. Лекции об объеме, площад поверхности и изоперметрины. М., «Hayka», 1966 г.