Новосибирский государственный университет

47

радиуса с центром в одном конце дуги сектора.
Определять радиус круга, вписанного в большую из этих частей.

5. В трехгранном угле каждой из плоских углов при вершине равен $\alpha$. Как удалена от его вершины точка, которая находится внутри угла на расстоянии $a$ от каждой грани?

Геологический факультет и отделение политэкономии экономического факультета

1. Танкер заполняется нефть с помощью 5 труб. Если произведенное каждой трубью уменьшить на $8 m^3/min$, а число труб увеличить на 2, то время заполнения танкера не изменится. Определять первоначальную произведенную трубь.

2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 2^x + y = 7, \\ \log_2 \frac{y}{3} = 2 - x. \end{cases}$$

3. Решить уравнение
   $$\sin 2x = \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{6} - x \right).$$

4. Найти множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству $|3 - x| \geq y^2 - 1$.

5. Грани неокоторого параллелипеда есть ромбы, равные между собой и расположенные так, что встречаются вместе три острых плоских угла. Определять объем этого параллелипеда, если сторона ромба равна $a$, а острый угол $\alpha$.

Физический факультет

1. Пловец переправляется через реку с параллельными берегами, ширина реки равна $L$. Скорость пловца в стойчей воде равна $v$. Скорость течение реки предполагается постоянной во всех точках реки и равной $u$, причем $u > v$. Под каким постоянным углом $\alpha$ с нормалью к берегу пловцу следует направлять свою скорость, чтобы течение его меньше всего снего снело?

2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} u + v = 3, \\ u^5 + v^5 = 33. \end{cases}$$

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{x} \sqrt{1 - \sin x - \cos x} + \sqrt{\sin \frac{x}{2} \left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right)} = \mathrm{ctg} \frac{x}{4}.$$

4. При каких значениях параметра $a$ все пары чисел $(x, y)$, удовлетворяющие неравенству $y > 5 (x - a)^2 - \sqrt{9 - a^2}$, одновременно удовлетворяют и неравенству $y > x^2 - 3$?

5. Шар с центром в центре куба касается его ребер. Какую часть объема куба составляет его общая часть с шаром?
   H. Молотков, B. Осипов, C. Славянов, П. Товстик

Новосибирский государственный университет

В этом номере мы помещаем образцы вариантов письменного экзамена по физике на физический факультете НГУ в 1975 году.

На экзамене по физике каждому абитуриенту предлагалось 6 задач, из которых одна качественная — объяснить физическое явление, показанное экзаменатором на демонстрационном столе. На решение всех задач отводилось 5 часов.

Решения всех задач (кроме первого) оценивались в баллах, в зависимости от степени сложности задачи (за неполное решение задачи ставилась часть баллов). Максимальные баллы следующего: за задачу №2 — 3 балла, №3 — 4 балла, №4 — 5 баллов, №5 — 7 баллов, №6 — 9 баллов. Для получения положительных оценки нужно было набрать не меньше 4-х баллов. Оценка «отличного» ставилась при 19—21 баллах и выше.

В приведенных ниже вариантах после формирования каждой задачи в скобках указана доля (в процентах) правильных решений этой задачи. Первое число — процент правильных решений среди значений в университете, второе — среди незначительных и третье число — средний процент. При вычислении процентов задача считалась решенной, если за нее поставлено не меньше половины максимального балла.

Вариант 1

1. Свет, пройдя стопку плоских тонких стеклянных пластин, погруженных в воду, создает на стенке — экране изобравжение букв: НГУ. В отсутствие воды изобравжение исчезает. Объяснить эфект.

2. В цилиндре с площадью поперечного сечения $S$ на высоте $h$ от дна нахождения поршень массы $M$, поддерживаемый скатным газом с молярной массой $m$. Температура газа в цилиндре $T$, атмосферное давление $p$. Определить массу $m$ газа в цилиндре. Треннее

49

отсутствует. Ускорение свободного падения $g$ (88, 44, 69)

3. Конденсатор emкости $C$ включает в цепь, как показано на рисунке 1. Найти установленный заряд конденсатора. (69, 35, 55)

4. На очень длинном стержне нахождения три маленькие бусинки массы $m$ с зарядом $q$ каждая. Расстояние между первой и второй и между второй и третьей бусинками равно $a$. Какую скорость будут иметь бусинки на очень большом расстоянии друг от друга, если их отпустить? Треннее отсутствует. (53, 13, 36)

5. В прямогольный очень высокий сосуд налита жидкость плотности $ρ$. В одной из стенок у дна сосуда имеет прямогольное отверстие высоты $h$, куда вдвинута на расстояние $l$ неверсная пробка того же сечения (рис. 2). Между пробкой и дном сосуда жидкость не проникает. Козффициент трення пробки о дно сосуда равен $k$. Тренне пробки о края сосуда пренебрежимо мало. При каком уровне жидкости над пробкой жидкость не сможет вытолкнуть пробку? Атмосферное давление $p$ (66, 26, 49)

6. На горизонтальной гладкой плоскости в начальной момент поконтся прямогольная рамка массы $M$ с длиной стороны, равной $a$. Со скоростью $v$ вдоль этой стороны движется упругий шарик массы $m$. В дальнейшем шарик движется, ударясь о середины коротких сторон рамки. Найти время между двумя последовательными ударами шарика обдуну и ту же коротку стороны. Размер шарика пренебрежь. (53, 0, 31)

Вариант 2

1. В замкнутом сосуд, частично заполнном водой, плавает игрушка — «водолаз». В сосуд вставлена трубка. Если в трубку подуть, «водолаз» тонет. При освобождении трубки возникнет два варната: иногда «водолаз» вспышает, а иногда так и остается под водой. Объяснить поведение игрушки.

2. На рисунке 3 изображена электрическая схема, в которой втекает и вытекает ток $I$, как показано на рисунке. Найти напряжение $U$ между точками $1$ и $2$. (81, 8, 49)

3. В вертикальном стенку вбиты два гвоздя $A$ и $B$, на которые сверху опирается стойший у стены обручва $P$ с центром в точке $O$ (рис. 4). Найти силы, действующие на каждый из гвоздей, если радиус $OA$ и $OB$ составляет с вертикалью углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Треннее отсутствует. (87, 29, 62)

4. Утка летела по горизонтальной прямой $AB$ с постоянной скоростью $u$. В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без упрежения, т. е. в момент броска направление скорости камня (угол $\alpha$ к горизонту) было как раз на утку (рис. 5). Величина начальной скорости камня равна $v$. На какой высоте $h$ летела утка, если камень все же попал в нее? Ускорение свободного падения $g$. Сопротивлением воз-

49

духа, размером утки и ростом «охотника» пренебречь. (81, 12, 51)

5. В длиной трубке между двумя поршнями (масса каждого из них равна $m$) находится идеальный газ, а вне поршней — вакуум. В начальной момент правый поршень имеет скорость $v$, а левый — в три раза

Рис. 7.

большиею, причем направлены они в одну сторону. Термпература газа в начальной момент равна $T_0$. Найти максимальный температур газа, если стенки трубки и поршни

Рис. 8.

телоперропониаемы. Внутренняя энергия газа пропорциональная абсолотной температуре ($U = cT$). Тренние отсутствует. (78, 8, 44)

6. Металлический прут $EF$ (сопротивление единицы его длины равно $r$) движется с постоянной скоростью $v$, замыкая два идеальных проводника $AC$ и $AD$, образующих угол $\alpha$ (рис. 6). Длина $AC$ равна $l$ и $EF \perp AC$. Вся система находится в однородном постоянном магнитном поле $B$, перpendикулярном плоскостном системе. Найти полное количество теплла, которое выделяется в цепи за время движения прута от точки $A$ до точки $C$. (65, 8, 40)

Вариант 3

1. Плама горрелки копит. Если поднести сверху вертикальную стеклянную трубку, копить пропадает, однako появляется снова, если закрыть трубку сверху. Объяснить явление.

2. На дне моря (глубина $H$) стоит бак (куб с ребром $h$), заполненный водой. Какую минимальную работу $A$ надо совершить, чтобы выкачать воду из бака? Плотность воды $ρ$. Ускорение свободного давления $g$. (39, 37, 38)

3. Конденсаторы с емкостьми $C_1$, $C_2$ и $C_3$ включаны в цепь, как показано на рисунке 7. Найти установившиеся заряды конденсатора. (78, 58, 69)

4. Концы heractryжимой неевесомой нити длины $L$ закрытены в точках $A$ и $B$, находящихся на разных уровнях, как показано на рисунке 8. На нить надета тяжелая бусинка $C$. Пренебрегая размером бусинки и треннем, найти расстояние от точки $A$ до вертикали, проходящей через бусинку. (64, 21, 44)

5. Один моль газа участвует в процессе, график которого представлен на рисунке 9, проходя последовательно состояние $K$, $L$, $M$. Внутренняя энергия газа пропорционально абсолотной температуре ($U = cT$). Найти поглощенное газом в процессе $KLM$ телло. (36, 16, 27)

6. В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной зарядом $Q$ сфере радиуса $R$ и массы $M$ имеются два небольших диаметрально противоположных ответств. В начальной момент сфера покопится. По прямой, соединяющей ответств, из бесконечности начинает двигаться со скоростью $v$ частица массы $m$ с зарядом $q$, однопроизводным с $Q$. Найти время, в течение которого заряд $q$ будет находиться внутри сферы. (36, 0, 19)

Г. Меледин