Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

46

Ленинградский государственный университет
им. А. А. Жданова

О Ленинградском государственном университете было рассказано в «Кванте» № 6 за 1975 и 1976 годы. В этом номере мы привели письменного вступительного экзамена по математике на различных факультах ЛГУ в 1975 году.

Mathematico-mexicanский факультет и факультет прикладной математики — процессов управления

1. По окончании первого цикла работы имеется $a$ литров воды, содержащей $p\%$ воды. Из каждого ящника израсходовали по 2 кл порошка, а затем добавили столько же нового порошка, причем в первый ящик добавили порошок, содержащий $q\%$ воды, а во второй — $3q\%$ воды. В результате во втором ящике оказалось в 1,5 раза больше воды, чем в первом. Сколько воды было сначала в каждой из ящков?

2. Решить систему уравнения
   $$\begin{align*} (4y^2 - y + 6) \cdot 2^x &= 20y, \\ x + \log_2 y &= 2. \end{align*}$$

3. Решить уравнение
   $$\log_3 \cos 2x - 2 \log_3 \mathrm{tg} x = 1 + \log_3 (\sin x + \cos x) + \log_3 (\cos x - \sin x).$$

4. В прямогольном треугольнике гипotenuseа равна $c$ и в три раза больше высоты, проведенной из вершины прямого угла. Найти катеты.

5. Туoplegольный равноведенный треугольник вращается около оси, проходящей через точку пересечения его высот параллельно большей стороне. Определить объем тела вращения, если тупой угол равен $\alpha$, а противоположная сторона равна $a$.

Биологический и географический факультеты

1. Бригада лесорубов должны быть заготовить 400 $m^3$ дров. Эту работу лесорубы выполнили на 3 дня раны, так как ежегодно заготовляли на 30 $m^3$ дров больше, чем планировалось. Сколько дров заготовляла бригада ежегодно?

2. (Только для биологического факультета). Решить неравенство
   $$5\sqrt{x} + \frac{5}{2\sqrt{x}} \leq 2x + \frac{1}{2x} + 4.$$

2a. (Только для географического факультета). Решить уравнение
$$5x + \frac{5}{2x} = 2x^2 + \frac{1}{2x^2} + 4.$$

3. Решить систему уравнения
   $$\begin{align*} x + y &= 2y \cdot \log_x y, \\ x^{\lg y} &= 1. \end{align*}$$

4. (Только для биологического факультета). По сторонам треугольника $a$ и $b$ и медиане $m_c$ определять остальные медианы.

4a. (Только для географического факультета). Примогольный сектор радиуса $R$ разделен на две части дугой круга того же