Задачи М376—М380; Ф388—Ф392

Квант 1976, №4 с. 30-31 Тег H3XP

Задачи
M376—M380; Ф388—Ф392

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 июня 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, ул. Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта» М376» или «…Ф388».
Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просба присылать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала присваивают также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присваивают в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).
После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Нанболее трудные задачи отмечены звездочкой.

M376. a) В ряд расположено 30 клеток. На самом правой клетке стоит белая фишка, на самом левой — черная. Каждый из двух играющих по очереди передвигает свою фишку на одно поле — вперед или назад. (Пропускать ход нельзя.) Проиграшим считается тот, у кого нет хода. Кто выигравает: начинающий или его партнер?
6) Решите задачу, заменив в условия 30 на N.
A. Талалай

M377. Дан треугольник ABC. Найти на стороне AC такую точку D, чтобы перimetр треугольника ABD равнялся длине стороны BC.
C. Охитин

M378. Докажите, что существует бесконечного много натуральных чисел, не представимых в виде
a) $x^3 + y^3 + z^3$ , где x, y, z — целые числа;
b) $x_1^n + x_2^n + \ldots + x_n^n$ , где $x_1, \ldots, x_n$ — целые числа.
b)* Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде $x^3 + y^3 + z^3$ , где x, y, z — рациональные числа.
B. Колосов

M379. На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена кляска (произвольной формы). Изовем промокашку подхождение для данного куска, если ее можно размещить внутри этого куска так, что она закроет кляску. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким свойством: для произвольных двух данных кусков найдется промокашка, подхождения для каждой из них. Докажите, что тогда в этом наборе найдется одна промокашка, подхождения для всех кусков.
B. Произвольов

M380* a). На плоскости дана выпуклая фигура и внутри нее — точка O. К каждой прямой l, проходящей через точку O, проводится перpendикуляр в точке O и на нем по обе стороны от точки O открываются два отрезка, длины которых равны длине отрезка, получающейся при пересечении данной фигуры с прямой l. Объедините всех этих отрезков.

резков — новая фигура с центром симметрии $O$ . Будет ли полученная фигура выпуклой?
6) В пространстве данного выпуклое центрально-симметриное тело с центром $O$ . Каждай плоскости $\alpha$ , проходящей через точку $O$ , проводится перpendicularly в точке $O$ и на нем по обе стороны от этой точки $O$ откладываются два отрезка, длины которых равны площади сечения данного тела плоскостью $\alpha$ . Объединение всех этих отрезков — новое тело с тем же центром симметрии $O$ . Доказите, что полученное тело тоже выпуклое.

С. Пухов

Ф388. В расположенном вертикальном цилиндре переменного сечения (рис. 1) между поршнями находится $n$ молей воздуха. Массы поршней — $m_1$ и $m_2$ , их площади — $S_1$ и $S_2$ , соответственно. Поршни соединены стержнем длины $l$ и находятся на одинаковых расстояниях от стыка частей цилиндра с различными diamетрами. На сколько сместятся поршни при повышении температуры в цилиндре на $\Delta t$ градусов?

Е. Кузнецов

Ф389. Найти сопротивление между точками $A$ и $B$ и точками $A$ и $C$ бесконечной цепочки, показанной на рисунке 2. Сопротивление проводок между узлами схемы 1 ом.

Ф390. Два запаянных сообщающихся сосуда цилиндрической формы разных diamетров частично заполнены водой (ртутью) (рис. 3). Возду их сосудов откачан, так что над жидкостью имеются только ее пары. Как распределится количество жидкости в сосудах $a$ ) на земле? 6) в невесомости?

Ф391. Гладкий Г-образный стержень врашается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня $O$ . Маленькая муфта массы $m$ прикреплена к стержню в точке $A$ с помощью пружины жесткостью $k$ (рис. 4). Длина пружины в 1,2 раза больше ее длины в нерастинутом состоянии. С какой угловой скоростью врашается стержень?

Ф392. Доска массы $M$ расположена горизонтально и опирается на два врашающихся цилиндра (рис. 5). Расстояние между осями цилиндров $l$ . Козффициент трения между dockой и цилиндрами $k$ . Доказать, что если dockу, находящую в горизонтальном направлении, она будет совершать гармоничное колбания, и найти период этих колбаний. Каким будет движение dockи, если изменить направление врашения цилиндров на противоположное?