Парабола и неравенства

14

В. Левин

Парабола и неравенства

Праодителем всех тождественных неравенств является тот факт, что квадрат любого действительного числа неотрицательен: $x^2 \geq 0$. Этот факт можно сформировать еще так: график функции $y = x^2$ (парабола) не проходит ниже оси абсцисс (рис. 1). Знак равенства в неравенстве $x^2 \geq 0$ имеет место только при $x = 0$ (парабола $y = x^2$ касается оси абсцисс в начале координат).

В этой заметке мы расскажем о том, как, исходя из этого элементного неравенства, можно построено получить неравенства более сложные.

1. Рассмотрим квадратный трехчлен

$$y = Ax^2 + 2Bx + C, \quad A \neq 0;$$

графиком его также является парабола. Найдем необходимые и достаточно условия того, чтобы для всех действительных значений $x$ выполнялось неравенство

$$Ax^2 + 2Bx + C \geq 0. \quad (1)$$

Эти условия находятся очень легко. Во-первых, необходимо, чтобы $A$ было положительным, так как при $A < 0$ всегда существует значения $x$, для которых неравенство (1) зависит неверно (это ясно, конечно, из того, что при $A < 0$ парабола либо пересекает ось абсцисс, либо все расположена ниже оси). Возьмем, например, $x = x_0 = m + \sqrt{m^2 + m}$, где $m$ выбра-

Рис. 1.

15

Рис. 2.

$$AC = B^2, \text{ и именно при } x = -\frac{B}{A} \text{ (рис. 2 и 3).}$$

2. Возьмем произвольные действительные числа

$$a_1, a_2, \dots, a_N; b_1, b_2, \dots, b_N; N \geqslant 1,$$

и некоторое $x$, и написем такое очевидное неравенство:

$$(a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2 + \dots + (a_Nx + b_N)^2 \geqslant 0. \tag{3}$$

Его можно переписать в виде $Ax^2 + 2Bx + C \geqslant 0,$

где

$$A = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2,$$

$$B = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_Nb_N,$$

$$C = b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_N^2.$$

Предположим, что не все $a_n$ ($n = 1, 2, \dots, N$) равны нулю. Тогда мы можем утверждать, что $A > 0$.

Поскольку мы знаем, что неравенство (3) обязано выполнять для всех действительных значений $x$, то в силу условия $AC \geqslant B^2$ должны быть

$$(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2) \times (b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_N^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_Nb_N)^2. \tag{4}$$

Очевидно, что это неравенство справедливо, причем со знаком равенства, и тогда, когда $a_1 = a_2 = \dots = a_N = 0$, так что требование отличия от нуля хотя бы одного $a_n$ мы можем отбросить.

Неравенство (4) называется неравенством Коши (Огистен Луи Коши (1789–1857) — известный француз-

16

Рис. 4.

то простейшее неравенство Коши (5) представляется в виде
$$|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)^2 \leqslant \frac{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2}{c_1^2}, \dots, \frac{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2}{c_N^2}.$$
то есть $\cos^2\varphi \leqslant 1$, где $\varphi = |\alpha - \beta|$ – угол между векторами $\vec{a} = (a_1, a_2)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2)$.

В случае произвольного $N > 2$ неравенство (К) также может быть записано в виде $\cos^2\varphi \leqslant 1$, если соответствующим образом помещать угол $\varphi$ между двумя векторами $(a_1, a_2, \dots, a_N)$ и $(b_1, b_2, \dots, b_N)$ в $N$-мерном пространстве.

3. Неравенство Коши имеет многочисленные приложения. Мы воспользуемся им для вывода других, несколько более сложных неравенств.

Рассмотрим две последовательности: последовательность $a_1, a_2, \dots, a_N$ и последовательность $c_1, c_2, \dots, c_N$ с отличными от нуля членами.

По неравенству (К) имеем
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 = \left(a_1 c_1 \cdot \frac{1}{c_1} + a_2 c_2 \cdot \frac{1}{c_2} + \dots + a_N c_N \cdot \frac{1}{c_N}\right)^2 \leqslant \left(a_1^2 c_1^2 + a_2^2 c_2^2 + \dots + a_N^2 c_N^2\right) \left(\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2}\right).$$
Положим
$$\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2} = C_N,$$
и запишем неравенство (6) в виде
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 \leqslant C_N \left(a_1^2 c_1^2 + a_2^2 c_2^2 + \dots + a_N^2 c_N^2\right).$$
(7)

Знак равенства в (7) имеет место тогда и только тогда, когда последовательности $a_1 c_1, a_2 c_2, \dots, a_N c_N$ и $\frac{1}{c_1}, \frac{1}{c_2}, \dots, \frac{1}{c_N}$ пропорциональны (легко убедиться в том, что это равно сильно пропорциональности последовательностей $a_1, a_2, \dots, a_N$ и $\frac{1}{c_1^2}, \frac{1}{c_2^2}, \dots, \frac{1}{c_N^2}$).

Коэффициент $C_N$ в неравенстве (7) называем константой неравенства *).

Нибольное интересными неравенствами типа (7) являются такие неравенства, константы которых меньше некоторого числа $C$ при любом $N$: $C_N < C$. Это будет так, если существуют предел

$$\lim_{N \to \infty} C_N = \lim_{N \to \infty} \left(\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2}\right) = C,$$
то есть, если бесконечный ряд
$$\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n^2}$$
сходится к сумме $C^*$.

Пример. Положим $c_n = n$, $n = 1, 2, \dots, N$.

Тогда неравенство (7) примет вид $(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 \leqslant C_N \left(a_1^2 + 2^2 a_2^2 + 3^2 a_3^2 + \dots + N^2 a_N^2\right)$ (8)
с константой
$$C_N = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{N^2}.$$

*) Константой потому, что $C_N$ – одно и то же для всех последовательностей $a_1, a_2, \dots, a_N$.

**) О пределах см. статью М. Гервера «20 задач на пределы», «Кваант», 1974, № 3; о бесконечных рядах – статью того же автора «От перемены мест слагаемых …», «Кваант», 1974, № 9.

18

где $\alpha_n$ — величины угла между отрезками $OM_{n-1}$ и $OM_n$, $n = 1, 2, \dots, N$.
Таким образом, мы можем записать равенство
$$t = \sqrt{t^2 + (n-1)^2} \quad \sqrt{t^2 + n^2} \sin \alpha_n$$
из которого
$$\sin \alpha_n = \frac{t}{\sqrt{t^2 + (n-1)^2} \sqrt{t^2 + n^2}} > \frac{t}{t^2 + n^2},$$
то есть
$$\frac{t}{t^2 + n^2} < \sin \alpha_n, n = 1, 2, \dots, N.$$
Позатем
$$C_N = \frac{t}{t^2 + 1} + \frac{t}{t^2 + 2^2} + \dots$$
$$\dots + \frac{t}{t^2 + N^2} < \alpha_1 + \alpha_2 + \dots$$
$$\dots + \alpha_N < \frac{\pi}{2},$$
и мы получаем неравенство
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 < \frac{\pi}{2} \left( tP + \frac{1}{t} Q \right),$$
справедливо при любом положительном значении $t$.

Положим $t = \sqrt{\frac{Q}{P}}$; при таком выборе $tP + \frac{1}{t} Q = 2\sqrt{PQ}$, и мы получим неравенство Карлсона которого обычно записывают в форме
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^4 < \pi^2 (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2) (a_1^2 + 2^2 a_2^2 + \dots + N^2 a_N^2).$$

Неравенство этого справедливо при любом $N \geqslant 1$; оно может быть распространено и на бесконечные ряды. В этом неравенствеCONSTANTA $\pi^2$ —

*) Изложенный здесь вывод неравенства Карлсона (кроме элементарной оценки $C_N$) принадлежит известному англійскому математнику Годфри Гарольду Харди (1877—1947).

тоочная, однако простого доказательства этого факта мы привести не можем.

Tochnostь полученной константы $\pi^2$ в неравенстве Карлона означает, что приведенная выше элементарная оценка $C_N$ через углы $\alpha_n$ — не слишком грубая.

Неравенство Карлона имеет многочисленные обобщения. Приведем без доказательства только два из них (знак $\Sigma$ означает суммирование по $n$ от 1 до $N$ или же бесконечный ряд, то есть суммирование по $n$ от 1 до $\infty$):
$$(\Sigma a_n)^6 < 54 (\Sigma a_n^2) (\Sigma na^2) (\Sigma n^2 a_n^2),$$
$$(\Sigma a_n)^15 < 300 000 (\Sigma a_n^3) \times (\Sigma na^3) (\Sigma n^2 a_n^3) (\Sigma n^4 a_n^3).$$

В этих неравенствахCONSTANTы 54 и, соответственно, 300 000—точные. У практики

1. Пусть
   $$a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = 1$$
   $$b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2 = 1.$$
   В каких пределах значение выражения
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n?$$
2. Доказать, что для любых положительных $a_1, a_2, \dots, a_n$ справедливо
   $$(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k)^2 \leqslant k (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2).$$
   Когда соблюдается равенство?
3. Доказать, что для неотрицательных $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$:
   $$\sqrt{a_1 b_1} + \sqrt{a_2 b_2} + \dots + \sqrt{a_k b_k} \leqslant \sqrt{a_1 + a_2 + \dots + a_k} \times \sqrt{b_1 + b_2 + \dots + b_k}.$$
4. Неравенство Гельдера.
   Пусть $p > 1$ и $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ($p$ и $q$ — рациональные положительные числа). Доказать, что
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_k b_k \leqslant \left( a_1^p + a_2^p + \dots + a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \times \left( b_1^q + b_2^q + \dots + b_k^q \right)^{\frac{1}{q}}.$$