Đếm một cách khôn ngoan

60

B. Kordemsky
Đếm một cách khôn ngoan
(Cuộc đối thoại của hai người còn lại)

Petya. Tôi thích đếm, tìm các giá trị số của biểu thức đại số, thực hiện các phép tính số học - thực hiện các hành động theo các quy tắc theo thứ tự đã chỉ ra, nhưng chỉ cần cẩn thận để không tính sai.

Kolya. Tôi cũng thích đếm, nhưng tôi không muốn kiệt sức đến mức tính toán. Nếu bạn cần thực hiện nhiều hành động liên tiếp, thì việc dành một phút để suy nghĩ về không khí có thể được đơn giản hóa, tôi tiết kiệm được 5 phút và có thể hơn thế nữa.

Ví dụ 1. Thêu số lượng 73 + 76 + 66 + 68 + 75 + 67 + 78.

Petya. Tôi cộng các đơn vị: 3 + 6 + 6 + 8 + 5 + 7 + 8 = 43. Tôi viết 3 đơn vị và thêm 4 chục vào các chục còn lại…

Kolya. Nhưng tôi sẽ hành động khác đi. Tôi nhận thấy rằng cả 7 số hạng đều gần với số 70 nên chúng ta cần nhân 70 với 7 và tính đến phần thừa và thiếu: 70 7 + 3 + 6 - 4 - 2 + 5 - 3 + 8 = 490 + 13 = 503.

Ví dụ 2. Thợ thêu

$$\left(\frac{72}{13}\right)^2 + \left(\frac{30}{13}\right)^2.$$

Petya. Bây giờ tôi cũng muốn tìm kiếm một cách hợp lý hơn. Các số 72 và 30 có hệ số chung là 6 nên có thể bỏ $$\left(\frac{6}{13}\right)^2$$ ra khỏi ngoặc và sau đó là $$\left(\frac{6}{13}\right)^2 \cdot (12^2 + 5^2) = \frac{36 \cdot 169}{169} = 36.$$

Hóa ra ngay cả tôi cũng có thể “tinh thần” đối phó với những phép tính như vậy.

Ví dụ 3: Chia 28.902 cho 7 $\frac{1}{2}$.

Kolya. Thật thuận tiện khi sử dụng phương pháp này: thêm một phần ba của nó vào một số nhất định và chia kết quả cho 10 - xét cho cùng, 1:7 $\frac{1}{2} = \frac{2}{15} = \frac{4}{30} = \frac{1}{10} \left(1 + \frac{1}{3}\right)$, do đó 28.902: $7 \frac{1}{2} = (28 902 + 9 634): 10 = 3 853,6.$

Ví dụ 4. Đặt tên $a^2 + ab + b^2$ nếu $a = 236, b = 164$.

Petya. Số tiền $a + b = 400$. Đây là điều may mắn. Con số này rất dễ bình phương. Vì vậy, tôi chuyển đổi biểu thức này thành dạng: $(a + b)^2 — ab$ và bây giờ là $400^2 — 236 \cdot 164 = ...$. Dừng lại. Có vẻ như tôi đã thực sự bị quan sát. Tôi thấy tích 236·164 không khó tính. Thật vậy, $236 \cdot 164 = (200 + 36) \cdot (200 - 36) = 200^2 - 36^2$. Cuối cùng tôi cũng nhận được $400^2 — 200^2 + 36^2 = 600 \cdot 200 + 36^2 = 120 000 + 1296 = 121 296.$

Kolya. Chà, nếu vậy thì tôi sẽ cho bạn một ví dụ và bạn giải thích lý do tại sao điều này xảy ra.

Ví dụ 5. Cùng thêu $58^2$.

Tôi đang quyết định. 58 - 25 = 33, $8^2 = 64$. Tôi cộng 64 với 33, tôi được 3364. Hoặc như thế này: 25 + 8 = 33, $8^2 = 64$; đáp số: 3364. Khi nào khác bạn có thể tính bình phương của các số nguyên như thế này?