Tiêu điểm của ống kính

13

P. Blukh TRONG TRỌNG TÂM
ỐNG KÍNH

“… tất cả các vật thể mà bức xạ rơi vào đều nóng lên, nghĩa là chúng thu được một ít năng lượng đau bụng.”
R.P.o. l.b. Quang học và vật lý nguyên tử

Lấy một chiếc kính lúp, hướng nó vào Mặt trời và đặt một mảnh giấy vào tiêu điểm. Có lẽ mọi độc giả «Kvant» đều biết chuyện gì sẽ xảy ra tiếp theo. Ở nơi xuất hiện hình ảnh Mặt trời sáng chói, nhiệt độ tăng cao đến mức tờ giấy bắt đầu bốc khói và thậm chí có thể bốc cháy. Nếu bạn cố gắng lặp lại thí nghiệm tương tự vào ban đêm, hướng tới sự gia tăng
kính nhận dạng trên một ngôi sao nào đó, thì tờ giấy tất nhiên sẽ không sáng lên, mặc dù bạn có thể nhìn thấy ngôi sao đó. Tất nhiên, điều này sẽ không làm ai ngạc nhiên, và khi được hỏi tại sao giấy sáng lên từ Mặt trời mà không phải từ các ngôi sao, một đáp số đơn giản thường như sau: toàn bộ vấn đề là Mặt trời chiếu sáng mạnh và ngôi sao tỏa sáng yếu.

Cách giải thích như vậy không có sai sót gì, nhưng nếu bạn cố gắng xác nhận nó bằng các phép tính (không có chúng đáp số sẽ chỉ là phỏng đoán chứ không phải là lời giải thích), thì hóa ra vấn đề không đơn giản như vậy.

14

1. Thật dễ dàng để giải thích tại sao giấy sáng lên từ Mặt trời (công thức đúng đầu tiên cho độ lợi của thấu kính)

Tất cả các vật thể trên Trái đất đều nhận được một phần năng lượng từ Mặt trời. Chúng ta hãy định nghĩa một cách toàn vẹn lượng năng lượng mà một đơn vị diện tích nhận được trên một đơn vị thời gian.

Chúng ta hãy thử tính xem cường độ bức xạ mặt trời tăng lên bao nhiêu lần do tập trung nó bằng thấu kính. Việc tính toán rất đơn giản và dựa trên định luật bảo toàn năng lượng. Rõ ràng, tổng công suất $P_0$ của bức xạ truyền qua thấu kính bằng

$$P_0 = S_0 I_0,$$

(1)

trong đó $S_0$ là diện tích của thấu kính (đại lượng này còn được gọi là diện tích khẩu độ) và $I_0$ là tính toàn vẹn của bức xạ trước khi lấy nét. Công suất bức xạ trong đường tiêu cự $P_F$ được xác định theo cách tương tự:

$$P_F = S_F I_F.$$

(2)

Ở đây $S_F$ là diện tích của tiêu điểm (ảnh Mặt trời) và $I_F$ là độ toàn vẹn tại tiêu điểm (Hình 1).

Đường tiêu cự nhận toàn bộ năng lượng đi qua khẩu độ ống kính *). Do đó, $P_0$ và $P_F$ bằng nhau. Nếu bây giờ chúng ta đánh đồng vế phải của các đẳng thức

*) Tuyên bố này không nghiêm ngặt. Một số bức xạ bị “mất” khi phản xạ từ bề mặt thấu kính và do bị hấp thụ trong kính. Nhưng chúng ta sẽ xem xét trường hợp “lý tưởng” bằng cách biến đổi các ví dụ này.

(1) và (2), người ta có thể tìm thấy mối quan hệ của tính toàn vẹn:

$$\frac{I_F}{I_0} = \frac{S_0}{S_F}.$$

Tỷ lệ này được gọi là độ lợi toàn vẹn của ống kính, hay nói ngắn gọn là độ lợi. Hãy biểu thị nó bằng chữ cái $K^*$. Vì vậy, mức tăng bằng tỷ lệ giữa khẩu độ mặt phẳng và ảnh nguồn ở tiêu điểm:

$$K = \frac{S_0}{S_F}.$$

(3)

Để công thức này được sử dụng trong thực tế, cần thể hiện cả hai diện tích thông qua các thông số chính của thấu kính - bán kính của nó $a$ và tiêu cự $f$.

Diện tích khẩu độ được xác định ngay: $S_0 = \pi a^2$. Chúng ta sẽ viết một công thức tương tự cho diện tích của đường tiêu điểm, bán kính của nó sẽ được ký hiệu là $r_F$:

$$S_F = \pi r_F^2.$$

Bây giờ tất cả những gì còn lại là tìm $r_F$. Tiêu điểm là hình ảnh của Mặt trời. Bán kính của nó có thể được xác định bằng cách so sánh hai hình tam giác giống nhau được hiển thị trong Hình 2:

$$r_F = f \frac{r_\odot}{R} = f \theta_0.$$

*) Đừng nhầm lẫn hệ số khuếch đại của ống kính với hệ số phóng đại hình ảnh. Đây là những khái niệm hoàn toàn khác nhau. Ví dụ, ống kính của chúng ta không phóng to mà làm giảm hình ảnh, vì kích thước của tiêu điểm tất nhiên nhỏ hơn kích thước của Mặt trời.

16

lỗ khí $K$ và cường độ tại tiêu điểm sẽ không thay đổi, bất kể ánh sáng của chúng ta di chuyển ra xa bao xa!

Đầu tiên, hãy biểu thị $I_0$ thông qua tổng công suất $P$ mà Mặt trời tỏa ra theo mọi hướng (Hình 3):

$$I_0 = \frac{P}{4\pi R^2}.$$

Do đó, $I_0$ tiêu diệt tỷ lệ nghịch với $R^2$. Mặt khác, mẫu số của công thức (4) có giá trị $\theta_0^2 = \frac{r^2}{\dot{R}^2}$. Do đó, khi khoảng cách tới Mặt trời tăng lên, độ lợi của thấu kính sẽ tăng tỷ lệ với $R^2$ và tích $I_0 K$, tức là cường độ tại tiêu điểm, sẽ không thay đổi:

$$I_F = I_0 K = \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^2}{f^2 \theta_0^2} = \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^2}{f^2} \cdot \frac{R^2}{\dot{R}^2} = \frac{P}{4\pi r^2} \cdot \frac{a^2}{f^2}.$$

Nhưng trong số các ngôi sao có nhiều ngôi sao tương tự Mặt trời của chúng ta về kích thước và năng lượng phát ra. Điều này có nghĩa là tất cả chúng sẽ tạo ra tại tiêu điểm của thấu kính có cường độ tương đương với Mặt trời, lúc đó tờ giấy sáng lên và những mảnh gỗ cháy thành than? Người ta cảm thấy có điều gì đó không ổn ở đây: một mặt, công thức có vẻ đúng, nhưng mặt khác, vẫn không thể thắp sáng tờ giấy từ ánh sáng của một ngôi sao!

Trước hết, tôi nghĩ đến lời giải thích sau: tờ giấy không sáng, có lẽ vì mặc dù cường độ tiêu điểm không thay đổi nhưng khi loại bỏ nguồn, kích thước của hình ảnh sẽ giảm. Một khu vực rất nhỏ được làm nóng và bây giờ toàn bộ thời gian được phân bổ cho các phần làm mát liền kề của tờ giấy. Thật vậy, diện tích của tiêu điểm nơi năng lượng bức xạ đi vào sẽ bị tiêu diệt khi nguồn di chuyển ra xa theo tỷ lệ nghịch với $R^2$: $S_F = \pi r^2 F = \pi f^2 \theta_0^2 = \pi f^2 \frac{r^2}{\dot{R}^2}$. Đồng thời

Ranh giới tại chỗ $L$ (sự thoát nhiệt xảy ra thông qua nó) sẽ giết chết tỷ lệ nghịch với $R$: $L = 2\pi r_F = 2\pi f \frac{r}{\dot{R}}$. Do đó, khi $R$ tăng, độ nóng của giấy giảm nhanh hơn độ nguội của nó và nhiệt độ thấp hơn được thiết lập ở tiêu điểm.

Lời giải thích hoàn toàn hợp lý và công thức dường như đã được lưu lại. Nhân tiện, chúng ta hãy xác định kích thước của hình ảnh sẽ như thế nào khi Mặt trời di chuyển ra xa ít nhất đến ngôi sao gần nhất, tức là ở khoảng cách $R = 4 \cdot 10^{13}$ km. Đối với ống kính mà chúng tôi đã chọn làm ví dụ, có tiêu cự $f = 10$ cm, các điểm radUNC

$$r_F = f \frac{r}{\dot{R}} \approx 1,75 \cdot 10^{-7} \text{ см}.$$

Mặt trời đã thu nhỏ lại kích thước của một phân tử! Sau phép tính này, việc giấy không phát sáng từ ánh sao dường như là điều hoàn toàn tự nhiên. Nhưng ở đây một sự không chắc chắn mới đang chờ đợi chúng ta. Kích thước hình ảnh nhỏ hơn khoảng 250 lần so với bước sóng của ánh sáng khả kiến ​​($\lambda \approx 4,5 \cdot 10^{-5}$ cm). Điều này là hoàn toàn không thể chấp nhận được! Rốt cuộc, để sóng tồn tại, điều cần thiết là phải có một không gian bao phủ ít nhất một số bước sóng. Nếu không, sóng chỉ đơn giản là “không vừa” ở đó.

Phải chăng điều này có nghĩa là trong ví dụ của chúng ta, bản chất sóng của ánh sáng đã bị “vi phạm”? Hoặc có lẽ vì lý do nào đó thấu kính không tạo ra ảnh nào nhỏ hơn bước sóng?

3. Vấn đề là ánh sáng là sóng (công thức đúng thứ hai cho độ lợi của thấu kính)

Tất nhiên, giả định thứ hai là đúng và lý do hạn chế hình ảnh hiện đã được biết rõ - hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng.

17

Hình 4.

Chúng ta sẽ trình bày lại công thức tính độ lợi của thấu kính, nhưng lần này có tính đến hiện tượng nhiễu xạ. Hãy quan sát Hình 4. Đây là một chùm tia song song phát ra từ một nguồn rất xa. Các tia bị khúc xạ trong thủy tinh sao cho sau khi đi qua thấu kính, chúng đều hội tụ tại một điểm - tiêu điểm. Quá trình lấy nét tương tự có thể được giải thích theo cách khác, không xem xét sự giao nhau của các tia mà là sự tương tác của các sóng truyền từ mỗi điểm của khẩu độ thấu kính. Lý luận của chúng tôi dựa trên cái gọi là nguyên tắc Huygen. Theo nguyên lý này, mỗi điểm trong không gian nơi sóng tự lan truyền sẽ trở thành nguồn phát sóng thứ cấp. Những sóng này phân kỳ từ khẩu độ theo mọi hướng. Chúng cũng rơi vào tiêu điểm của ống kính. Điểm $F$ (tiêu điểm của ống kính) khác với tất cả các điểm khác trong không gian ở chỗ các pha của sóng đến từ bất kỳ vị trí nào trên khẩu độ - từ các cạnh, từ giữa, v.v. - trùng khớp với nhau. Tính chất cùng pha của sóng tại điểm $F$ đạt được nhờ công thức thủy tinh được chọn lọc đặc biệt. Trên thực tế, đây chính là mục đích của việc tập trung: khi các dao động có pha trùng nhau được thêm vào, chúng tăng cường lẫn nhau và cường độ sóng tại điểm $F$ là cao nhất.

Có vẻ như cách giải thích sóng không hay hơn cách giải thích chùm tia, ngoại trừ việc nó dài hơn và khó hiểu hơn. Nhưng bây giờ chúng ta sẽ thấy rằng nó có một lợi thế rất quan trọng. Hãy cười một chút

Hãy di chuyển từ tiêu điểm theo hướng vuông góc với trục thấu kính: hãy di chuyển từ $F$ đến $F'$ (xem Hình 4). Điều gì xảy ra với cường độ?

Theo quang học hình học, đáp số như sau: tia không đi qua điểm $F'$, do đó, khi trộn từ $F$ đến $F'$, cường độ sẽ giảm về 0, cho dù đoạn $FF'$ có nhỏ đến đâu.

Tình hình hoàn toàn khác khi chúng ta xem xét sự tương tác của sóng. Nếu sự trộn $FF'$ nhỏ thì pha của sóng đến từ các điểm khác nhau của khẩu độ sẽ dịch chuyển “hơi” so với nhau. Cường độ sẽ giảm đi đôi chút nhưng việc giảm cường độ sẽ diễn ra từ từ, nhịp nhàng.

Chúng ta hãy tính độ lớn của sự pha trộn $FF'$, tại đó các sóng đến từ các điểm cực trị của khẩu độ sẽ nghịch pha. Điều này có nghĩa là các sóng sẽ triệt tiêu lẫn nhau và cường độ sẽ giảm đáng kể. Độ dài của đoạn $FF'$, tại đó độ chênh lệch đường đi của tia $AF'$ và $BF'$ bằng một nửa độ dài của sóng ánh sáng, có thể được lấy làm bán kính của tiêu điểm $r_F$ (sự dịch pha $180^\circ$ tương ứng với sự trộn lẫn như vậy).

Vậy ta có điều kiện:

$$AF' - BF' = \frac{\lambda}{2}.$$

Xét các tam giác vuông $ACF'$ và $BCF'$. Dựa trên định lý Pythagore

$$(AF')^2 = (AC)^2 + (CF')^2,$$
$$(BF')^2 = (CF')^2 + (BC')^2,$$

hoặc, sử dụng ký hiệu cũ của chúng tôi:

$$(AF')^2 = (a + r_F)^2 + f^2,$$
$$(BF')^2 = (a - r_F)^2 + f^2.$$

Trừ đi số thứ hai từ đẳng thức thứ nhất và sử dụng công thức tính hiệu bình phương, sau đó chúng ta nhận được:

$$(AF' - BF')(AF' + BF') = 4ar_F.$$ Đối với các hỗn hợp nhỏ $FF'$ tổng các phân đoạn $AF' + BF'$ có ​​thể được thay thế gần đúng bằng $2AF$. Ngoài ra, nếu tiêu cự $f$ lớn

18

so với bán kính thấu kính $a$, thì $AF$ khác một chút so với tiêu cự, tức là $2AF \approx 2f$.

Sau những đơn giản hóa này, chênh lệch đường dẫn mong muốn $AF' - BF'$ có thể được viết như sau:

$$AF' - BF' = \frac{4ar_F}{AF' + BF'} \approx \frac{2ar_F}{f}.$$

Theo điều kiện (5), nó phải bằng $\lambda/2$ và chúng ta thu được công thức tính bán kính của tiêu điểm:

$$r_F \approx \frac{\lambda}{4a} f.$$

Theo quan điểm về đạo hàm gần đúng của công thức này, nó chỉ nên được coi là ước tính bán kính theo thứ tự độ lớn. Vì vậy, việc để lại một hệ số số trong đó là vô nghĩa mà tốt hơn là viết lại nó dưới dạng sau:

$$r_F \approx f \frac{\lambda}{a}.$$

(6)

Để hình dung kết quả thu được, hãy xem Hình 5. Nó cho thấy cấu trúc thông thường của các tia giao nhau sau giả định trong thấu kính, nhưng mỗi tia bị “mờ” đối xứng một góc $\pm \theta_d$. Các chùm tia sáng giao nhau trong mặt phẳng tiêu điểm tạo ra ảnh có dạng hình tròn có bán kính

$$r_F \approx f\theta_d.$$

(7)

Nếu trong quá trình dựng hình chúng ta chọn góc $\theta_d$ bằng $\lambda/a$ thì sẽ được công thức (6). Góc $\theta_d \approx \lambda/a$ được gọi là góc mờ nhiễu xạ.

Bây giờ phần khó nhất của tính toán đã ở phía sau chúng ta. Sau khi xác định diện tích của tiêu điểm và sự tương ứng đã sử dụng (3), chúng ta thu được công thức mới cho hệ số khuếch đại của thấu kính:

$$K_d \approx \frac{a}{\lambda^2f^2}$$

(8)

(chúng tôi đã thêm chỉ số “$d$” để không quên rằng công thức được suy ra có tính đến nhiễu xạ).

4. Các ngôi sao thì ổn, nhưng công thức mới không tốt cho Mặt trời!

Chúng ta hãy quay lại thí nghiệm tưởng tượng của chúng ta về việc Mặt trời di chuyển đến khoảng cách giữa các vì sao. Hãy xem cường độ tiêu cự sẽ thay đổi như thế nào nếu chúng ta sử dụng công thức mới để tăng mức tăng. Tương tự như trước, $I_F = I_0K_d$, nhưng, không giống như công thức đầu tiên, giá trị của $K_d$ không phụ thuộc vào khoảng cách đến nguồn (xem công thức (8)). Do đó, cường độ tại tiêu điểm sẽ giảm với $I_0$, tức là tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Điều này được xác nhận bởi công thức tương ứng

$$I_F = I_0K_d \approx \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^4}{\lambda^2f^2}.$$

Rõ ràng là đối với $R$ rất lớn thì cường độ cuối cùng sẽ trở nên cực kỳ nhỏ, bất kể công suất bức xạ $P$ của nguồn là bao nhiêu. Đây là lời giải thích tại sao tờ giấy ở tiêu điểm của thấu kính không phát sáng khi có ánh sáng của các vì sao.

Vấn đề thứ hai - việc giảm vô hạn bán kính của tiêu điểm - hiện cũng đã được loại bỏ. Thật vậy, theo công thức (6), bán kính của tiêu điểm không bao giờ có thể nhỏ hơn bước sóng (phân số $f/a$ luôn lớn hơn đơn vị). Do đó, không còn phải lo lắng về việc sóng “không khớp” vào tiêu điểm của ống kính nữa.

Vì vậy, phép tính mới không có những mâu thuẫn mà chúng tôi đã phát hiện trước đó mà chúng tôi chưa tính đến