В фокусе линзы

13

П. Блюх В ФОКУСЕ
ЛИНЗЫ

«… все тела, на которые попадает злучшие, нагреваются, т. е. приобретают некоторые колическую энергии».
Р. П. о. л.ь. Оптика и атомная физика

Возьмите увеличительное стекло, направьте его на Солнце, а в фокусе помещите лист бумаги. Наверное, каждый читатель «Кванта» знает, что произойдет дальше. В том месте, где возникает ослепительно яркое изображение Солнца, температура так сильно повышается, что бумага начинает дымиться и даже может загореться. Если попробовать повторить тот же опыт ночной, направив уве-
личительное стекло на какую-нибудь звезду, то бумага, конечно, не загорится, хотя изобравняя звездо увидеть. Никого этого, разумется, не удивит, и на вопрос, почему от Солнца бумага загорается, а от звезд—нет, обычно следует простой ответ: все дело в том, что Солнце светит сильно, а звезда — слабо.

Ошибки в таком обьясении нет, но если попробовать подтвердить его расчетами (без них ответ останется всего лишь догадкой, а не обьясением), то оказывается, что дело обстояит не так просто.

14

1. Легко объяснить, почему от Солнца загорается бумага (первая правильная формула для коэффициента усиления линзы)

Все тела на Земле получают от Солнца неоторую энергию. Изовем интегисовностью количество энергии, получаемой единицей площади за единицу времени.

Попробуем рассчитать, во сколько раз повышается интегисовность солнечного излучения в результате фокусировки его линзой. Расчет очень прост и основывает на законе сохранения энергии. Очевидно, что полная мощность $P_0$ излучения, проходящого сквозь линзу, равна

$$P_0 = S_0 I_0,$$

(1)

где $S_0$ — площадь линзы (эту величины называют также площадью апертуры), а $I_0$ — интегисовность излучения до фокусировки. Мощность излучения в фокальном пути $P_F$ определяется аналогичным образом:

$$P_F = S_F I_F.$$

(2)

Здесь $S_F$ — площадь фокального пути (изображения Солнца), а $I_F$ — интегисовность в фокусе (рис. 1).

В фокальное пути попадает вся та мощность, которая проходит через апертуру линзы *). Поэтому $P_0$ и $P_F$ равны друг другу. Если теперь приравнять и правые части равенств

*) Это утверждение не строгое. Часть излучения «теряется» при отражении от поверхности линзы и в результате поглощения в стекле. Но мы будем рассматривать «идеальный» случай, преобразая эти примеры.

(1) и (2), можно найти относение интегисовностей:

$$\frac{I_F}{I_0} = \frac{S_0}{S_F}.$$

Это относение называют коэффициентом усиления линзы по интегисовности, или, короче, просто коэффициентом усиления. Обозначим его буквой $K^*$. Итак, коэффициент усиления равен относению плоскей апертуры и изображения источника в фокусе:

$$K = \frac{S_0}{S_F}.$$

(3)

Для того чтобы этой формулой можно было практически воспользоваться, необходимым выразить обе площади через основные параметры линзы — ее радиус $a$ и фокусное расстояние $f$.

Площадь апертуры определяется немедленно: $S_0 = \pi a^2$. Подобную же формулу написем и для площади фокального пути, радиус которого обозначим через $r_F$:

$$S_F = \pi r_F^2.$$

Теперь остается найти $r_F$. Фокальное пятно представляется собой изображение Солнца. Его радиус можно определить из сравнения двух подобных треугольников, показанных на рисунке 2:

$$r_F = f \frac{r_\odot}{R} = f \theta_0.$$

*) Не спутайте коэффициент усиления линзы с коэффициентом уvelичения изображения. Это совсем разные понятия. Например, наша линза не уvelичает, а уменшает изображение, так как размеры фокального пятна, конечно, меньше размеров Солнца.

16

стом $K$ и интенсивность в фокусе останется неизменной, как бы далеко ни удалялось нашей светило!

Сначала выразим $I_0$ через полную мощность $P$, которое излучает Солнце по всем направлениям (рис. 3):

$$I_0 = \frac{P}{4\pi R^2}.$$

Таким образом, $I_0$ убивает обратно пропорционально $R^2$. С другой стороны, в знаменатель формулы (4) стоит величины $\theta_0^2 = \frac{r^2}{\dot{R}^2}$. Поэтому с ростом расстояния до Солнца коэффициент усиления линзы будет расти пропорционально $R^2$, а произведение $I_0 K$, то есть интенсивность в фокусе, останется неизменным:

$$I_F = I_0 K = \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^2}{f^2 \theta_0^2} = \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^2}{f^2} \cdot \frac{R^2}{\dot{R}^2} = \frac{P}{4\pi r^2} \cdot \frac{a^2}{f^2}.$$

Но среди звезд есть очень много таких, которые подобны нашему Солнцу по своим размерам и излучаемой мощности. Значит, все они будут создавать в фокусе линзы одинаковую с Солнцем интенсивностью, при которой загорается бумага и обугливается дерево? Чувствуется, что здесь что-то не в порядке: с одной стороны, формула как будто бы правливая, а с другой стороны, зажчь бумагу от света звезды все равно не удается!

Прежде всего на ум приходит такое обясение: бумага не загорается, наверное, потому, что хотя интенсивность в фокусе остается неизменной, но при удалении источника уменышается размер изображения. Прогревается очень малая площадь, и теперь все время отводится к соседним более холодным частям бумаги. Действительно, площадь фокального пятна, куда поступает энергия излучения, убивает по мере удаления источника обратно пропорционально $R^2$: $S_F = \pi r^2 F = \pi f^2 \theta_0^2 = \pi f^2 \frac{r^2}{\dot{R}^2}$. В то же время

мя граница пятна $L$ (через нее происходит отвод теплла) убивает обратно пропорционально $R$: $L = 2\pi r_F = 2\pi f \frac{r}{\dot{R}}$. Таким образом, с ростом $R$ нагрев бумаги уменышается быстро, чем ее охлаждение, и в фокусе устанвливается более низкая температура.

Объяснение в полне праводоподобное, и формула как будто бы спасена. Давайте, кстати, определяем, чем будет равен размер изображения, когда Солнце удалится хотя бы до ближайшей звезды, то есть на расстояние $R = 4 \cdot 10^{13}$ км. Для линзы, которое мы уже выбирали в качестве примера, с фокусным расстоянием $f = 10$ см, радUNC пятна

$$r_F = f \frac{r}{\dot{R}} \approx 1,75 \cdot 10^{-7} \text{ см}.$$

Солнца сократилось до размеров одной молекулы! После этого расчета тот факт, что бумага не загорается от света звезд, представляется уже в полне естественным. Но тут нас поджидает новая непританость. Размер изображения оказывается примерно в 250 раз меньше, чем длина волны видимого света ($\lambda \approx 4,5 \cdot 10^{-5}$ см). Это совершенню недопустимо! Ведь для того чтобы волна существенно пространство, охватывающее хотя бы несколько длины волны. В противном случае волна там просто «не помещится».

Означает ли это, что в нашем примере «нарушилась» волновая природа света? Или, быть может, по каким-то причинам линза никакого не создается изображения, меньше чем длина волны?

3. Все дело в том, что свет — это волна (вторая правильная формула для коэффициента усиления линзы)

Справедливо, конечно, второе предположение, и причина, ограничивающая изображения, в настоящее время хорошо известна — это дифракция света.

17

Рис. 4.

Нам представит снова вышести формулу для коэффициента усиления линзы, но уже с учетом диффрации. Взгляните на рисунок 4. Здесь нарисован пучок параллельных лучей, пришедших от очень далеко источника. Лучи преломляются в стекле таким образом, что после прохождения через линзу все они сходятся в одной точке — фокус. Тот же процесс фокусировки можно обьясить и иначе, рассматривая не пересечение лучей, а взаимодействие волн, распространяющихся от каждой точки апертуры линзы. Наши рассужждение основывает на так называемом принципе Гюйгена. Согласно этому принципу каждой точке пространства, в котором распространяется волна, сама становится источником вторичных волн. Эти волны рассходятся от апертуры во все стороны. Попадают они и в фокус линзы. Точка $F$ (фокус линзы) отличается от всех других точек пространства тем, что фазы волн, идущих от любого места на апертype — от краев, от середины и т. д., — совпадает друг с другом. Синфазность волн в точке $F$ достигается специально подобранной формулой стекла. В этом, собственно, и заключается фокусировка: при сложении колебаний с совпадующими фазами они взаимно усилывают, и интенсивность волны в точке $F$ оказывается наиболее.

Может показаться, что волновое обьясение ничуть не лучшие лучевого, разве что более длинное и менее понятное. Но сейчас мы убедимся, что оно имеет очень важное преимущество. Давайте немного сме-

стимся из фокуса в направлении, перпендикулярном оси линзы: перейдем из $F$ в $F'$ (см. рис. 4). Что произойдет при этом с интенсивностью?

Согласно геометрической оптике ответ таков: через точку $F'$ лучи не проходят, поэтому при смешении из $F$ в $F'$ интенсивность упадет до нуля, каким бы мальми ни был отрезок $FF'$.

Совсем иначе обстоит дело, когда мы рассматриваем взаимодействие волн. Если смешение $FF'$ мало, то фазы волн, идущих от разных точек апертуры, «чут-чут» сdwинуются относительно друг друга. Интенсивность при этом несколько уменьшится, но спад интенсивности произойдет постепенно, плавано.

Вычислим величины смешения $FF'$, при котором волны, идущие от краинных точек апертуры, оказываются в противофеазе. Это будет означает, что волны станут гасить друг друга и интенсивность сильно упадет. Длину отрезка $FF'$, при которой разность хода лучей $AF'$ и $BF'$ составляет половину длины световой волны, можно принять за радиус фокального пятна $r_F$ (такому смешению как раз соответствует фазовый сдвиг $180^\circ$).

Итак, мы имеем условия:

$$AF' - BF' = \frac{\lambda}{2}.$$

Рассмотрим прямуюльные треугольники $ACF'$ и $BCF'$. На основании теоремы Пифагора

$$(AF')^2 = (AC)^2 + (CF')^2,$$
$$(BF')^2 = (CF')^2 + (BC')^2,$$

или, пользоваться нашими старыми обозначениями:

$$(AF')^2 = (a + r_F)^2 + f^2,$$
$$(BF')^2 = (a - r_F)^2 + f^2.$$

Вычитем из первого равенства второе и воспользуемся формулой для разности квадратов, тогда получим:

$$(AF' - BF')(AF' + BF') = 4ar_F.$$ При малых смешениях $FF'$ сумму отрезков $AF' + BF'$ можно приближенно заменить на $2AF$. Если, к тому же, фокусное расстояние $f$ велико

18

по сравнению с радиусом линзы $a$, то $AF$ мало отличается от фокусного расстояния, то есть $2AF \approx 2f$.

После этих упрощений искомая разность хода $AF' - BF'$ может быть записана так:

$$AF' - BF' = \frac{4ar_F}{AF' + BF'} \approx \frac{2ar_F}{f}.$$

Согласно условия (5) ее надо приравнять $\lambda/2$, и мы получим формулу для радиуса фокального пятна:

$$r_F \approx \frac{\lambda}{4a} f.$$

Ввиду приближенного вывода этого формулу следует рассматривать лишь как оценку радиуса по порядку величины. Поэтому не имеет смысла оставлять в ней численный коэффициент, а лучше переписать ее в следующем виде:

$$r_F \approx f \frac{\lambda}{a}.$$

(6)

Что бы наглядно представить себе полученный результат, взгляните на рисунок 5. На нем изображено обычное построение лучей, пересекающих после предположения в линзе, но каждый луч симметрично «размывается» на угол $\pm \theta_d$. Пучки лучей, пересекаясь в фокальной плоскости, создают изображение в виде кругка с радиусом

$$r_F \approx f\theta_d.$$

(7)

Если при построении выбрать угол $\theta_d$ равным $\lambda/a$, то мы как раз получим формулу (6). Угол $\theta_d \approx \lambda/a$ называют углом диффрационного размытия.

Теперь самая трудная часть вычисления осталась позади. Определив площадь фокального пятна и воспользоваться соответствием (3), получим новую формулу для коэффициентаусиления линзы:

$$K_d \approx \frac{a}{\lambda^2f^2}$$

(8)

(мы добавили индекс «$d$», чтобы не забыть, что формула выведена с учетом диффрациции).

4. Со звездами все в порядке, но новая формула не годится для Солнца!

Вернемся снова к нашему мысленному эксперименту с удалением Солнца на межзвездные расстояния. Посмотрим, как будет изменяться фокальная интенсивность, если воспользоваться новой формулой для коэффициентаусиления. Так же как и раньше, $I_F = I_0K_d$, но, в отличие от первого формулы, величина $K_d$ не зависит от расстояния до источника (см. формулу (8)). Поэтому интенсивность в фокусе будет уменьшаться вместе с $I_0$, то есть обратно пропорционально квадрату расстояния. Сказанное подтверждается соответствующей формулу

$$I_F = I_0K_d \approx \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^4}{\lambda^2f^2}.$$

Ясно, что при очень больших $R$ интенсивность станет в конце концов исчезающее малой, какой бы мощность излучения $P$ ни обладал источник. В этом и заключается обьясение, почему не загорается бумага в фокусе линзы от света звезд.

Вторая непряятность — беспрередельное сокращение радиуса фокального пятна — теперь также устранена. Действительно, согласно формуле (6) радиус фокального пятна никакогда не может стать меньше длины волны (дробь $f/a$ всегда больше единиц). Поэтому беспокониться от том, что волна «не помещится» в фокусе линзы, уже не приходит.

Итак, новый расчет свободен от тех противоречий, которые мы обнаружили раньше, пока не учитывали