Считайте обдуманно

60

Б. Кордемский
Считайте обдуманно
(Диалог двух других)

Петя. Мне нравится считать, находить числовые значения алгебраических выражений, выполнять арифметические действия — делай действия по правилам в том порядке, как указано, да только страйся не просчитаться.

Коля. Я тоже люблю считать, но не хочу изводуть себя до уровня арифметического. Если надо произвести подряд несколько действия, то затратив минуту для обдумывания воздуха можны упрощенный, я экономлю 5 минут, а может быть и больше.

Пример 1. Вышистить сумму 73 + 76 + 66 + 68 + 75 + 67 + 78.

Петя. Складываю единцы: 3 + 6 + 6 + 8 + 5 + 7 + 8 = 43. Пишу 3 единцы, а 4 десята прибавляю к остальным десятикам…

Коля. А я бы действовал иначе. Замечаю, что все 7 слагаемых близки к числу 70, вот и надо 70 умножить на 7, да учесть избытки и недостатки: 70·7 + 3 + 6 — 4 — 2 + 5 — 3 + 8 = 490 + 13 = 503.

Пример 2. Вышистить

$$\left(\frac{72}{13}\right)^2 + \left(\frac{30}{13}\right)^2.$$

Петя. Тепер и мне хочеся поискать более рациональный путь. У чисел 72 и 30 есть общий множитель 6, следовательно, $$\left(\frac{6}{13}\right)^2$$ можно вывести за скобку, и тогда $$\left(\frac{6}{13}\right)^2 \cdot (12^2 + 5^2) = \frac{36 \cdot 169}{169} = 36.$$

Оказывается, даже я в силах «в уме» справиться с таким вычислениями.

Пример 3. Разделить 28 902 на 7 $\frac{1}{2}$.

Коля. Удобно применить такой способ: прибавить к данному числу одну третье его и результат разделить на 10, — ведь 1:7 $\frac{1}{2} = \frac{2}{15} = \frac{4}{30} = \frac{1}{10} \left(1 + \frac{1}{3}\right)$, поэтому 28 902: $7 \frac{1}{2} = (28 902 + 9 634): 10 = 3 853,6.$

Пример 4. Наимену $a^2 + ab + b^2$, если $a = 236, b = 164$.

Петя. Сумма $a + b = 400$. Это — удачно. Такое число легко возводить в квадрат. Значит, пребразую данное выражение к виду: $(a + b)^2 — ab$, и теперь $400^2 — 236 \cdot 164 = ...$. Сторп. Я, кажется, в самом деле стал наблюдаемый. Вижу, что и произведение 236·164 вычислить нетрудно. Действительно, $236 \cdot 164 = (200 + 36) \cdot (200 - 36) = 200^2 - 36^2$. Окончательно получаю $400^2 — 200^2 + 36^2 = 600 \cdot 200 + 36^2 = 120 000 + 1296 = 121 296.$

Коля. Ну раз так, то я решу тебе один пример, а ты объясни, почему так получается.

Пример 5. Вышистим $58^2$.

Решаю. 58 — 25 = 33, $8^2 = 64$. Приписываю 64 к 33, получаю 3364. Или так: 25 + 8 = 33, $8^2 = 64$; ответ: 3364. Когда еще можно так вычислять квадраты целых чисел?