Алгебра — древняя и современная

24

Э. Белага
АЛГЕБРА —
ДРЕВНЯЯ
И СОВРЕМЕННАЯ

Вы уже прочитали статьи А. Колмогорова «Группы преобразования» и Л. Садовского и М. Аршинова «Группы», в которых вводятся понятия бинарной операции и группы. Чтобы привлекнуть к этим новым для вас понятям, надо разобрать несколько примеров «с карандашом в руке». В этом вам и поможет помещаемая ниже статья. В ней расссказывает об умножении слов, самосовмещений правилных многогранников, узлов и подстановок, о применении астрактной теории к решению конкретных задач. Внимательный и терпельный читатель сможет самостоятельно вывести много заменательных свойств операций над этим объектами, разбиая условия и отыскивая решения задач (они служат продолжением основного текста). Найболее интересные и, как правило, при этом довольно трудные задачи отмечены звездочкой.

I. ВСЕ ПРОЧЕЕ — ДЕЛО РУК ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ…

У первобытных племен названия чисел были неотделимы от названия перечисляемых предметов. Не «два» или «tri», а лишь «две реки» или «tri воина». С появлением отвлеченного понятия о числе родилась математика. Возможно, поэтому выдающийся немецкий математик Леопольд Кронекер произнес когда-то свою столь же парадоксальную, сколь и знамениту фразу: «Целое число создал господбог, все прочее — дело рук человека».
Потребовалось несколько тысячетей, чтобы человека научиться, чтобы человека научиться задач в виде формул. Потом в этих формулах вместо чисел появились буквы. Новая «буквенная» арифметика стала назваться алгеброй. А затем алгебраическая символька и алгебраическая действия были распространены на самые разнообразные объекты неарифметической природы — подстановки, матрицы, геометрические преобразования и др., а числовая пряма (или компплексная плоскость) оказалась всего лишь одной из многоих, очень многоих алгебраических структур, изучаемых в новой алгебре.

II. О «ВЕЩАХ», КОТОРЫЕ МОЖНО «ПЕРЕМНОЖАТЬ», А ИНОГДА И ДЕЛИТЬ, ХОТЯ ОНИ И НЕ ЧИСЛА

К тому, что числа можно складывать, умножать, вычитать и делить, нас приучают очень рано. Удивительно — и к этому тоже нужно привыкать,— что «складывать» (или «умножать») можно и «веши» не числовой природу.

Пример первый: слова
Алфавитом будем назвать любую совокупность символов. Мы ограничимся конечными алфавитами (в алгебре и математической логике поль-

25

зуются и бесконечными). Вот два примера алфавитов:

$A_1$. Алфавит, состоящий из двух греческих букв: α и β.

$A_2$. Аргументический алфавит: цифры от 0 до 9, символы аргументических действины, знак равенства и крулеще скобки:

$$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, :, \times, =, ),\}$$.

Словом над алфавитом $A$ мы будем называть любую конечную последовательность символов из $A$. Вот примеры слов над двумя описными выше алфавитами (чтобы отделить запись слова от окружающего текста, мы «упаковываем» его в угловые скобки):

$$(A_1): \langle \alpha\beta \rangle, \langle \alpha\beta\alpha\beta \rangle, \langle \rangle;$$
$$(A_2): \langle 1976 \rangle, \langle 2 + 2 = 4 \rangle,$$
$$\langle - \rangle +): \langle 3 \rangle).$$

Слово может быть и «пустым», то есть вовсе не содержать символов (последнее «слово» в первом примере), такое слово обозначают буквой $\lambda$: $\lambda = \langle \rangle$. Множество слов над данным алфавитом $A$ обозначим через $C(A)$. Его элементы, то есть слова, мы будем обозначать малыми латинскими буквами (они не принадлежат алфавитам, которые нам здесь приходит расматривать).

Произведением, или комποизценей, двух слов $a$ и $b$ из $C(A)$ мы будем называть слово $c$ ( и писать: $c = a \otimes b$), полученное приписываем к слову $a$ справа от него слова $b$. Вот примеры комποизценей слов:

$$(A_1): a = \langle \alpha \rangle, b = \langle \alpha\beta \rangle,$$
$$c = a \otimes b = \langle \alpha\alpha\beta \rangle;$$
$$(A_2): a = \langle 2 + 2 \rangle, b = \langle 4 \rangle,$$
$$c = a \otimes b = \langle 2 + 2 = 4 \rangle.$$

Пустое слово не содержит символов, поэтому $a \otimes \lambda = \lambda \otimes a = a$ для любого слова $a$ из $C(A)$, то есть пустое слово $\lambda$ при переложении слов ведет себя как единца при переложении чисел.

Если продолжить поиск сходства и различий между умножением слов и умножением чисел, то можно заметить, что операция «⊗» ассоциативна:

$$(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c),$$

позному имеет смысл запись $a \otimes b \otimes c$.

Задача 1. Для любого слова $a$ из $C(A)$ определяем его неотрицательные степени, положив $a^0 = \lambda$, $a^1 = a$, $a^2 = a \otimes a$, вообще $a^{n+1} = a \otimes a^n$. Доказите, что для любых целых неотрицательных чисел выполняется равенство

$$a^m \otimes a^n = a^{m+n}.$$

Справедливо после него равенства позвольяет нам сокращать запись неотрицательных слов: вместе $a = \langle \alpha \rangle^3 \otimes \langle \beta \rangle^3 \otimes \langle \alpha \rangle^4$ или, допуская неотрицательную волность записи, $a = \langle \alpha^3\beta^3\alpha^4 \rangle$. Но менять порядок букв в слова, вообще говоря, нельзя говорить «⊗» может быть не коммутиативной, то есть $a \otimes b$ может не совпадать с $b \otimes a$.

Задача 2. а) Над каким алфавитом операция «⊗» коммутиативна, то есть для любых слов $a$ и $b$ будет $a \otimes b = b \otimes a$?

6)* Как должны быть устроены два слова $a$ и $b$ над алфавитом $A$, содержащим два или более символов, чтобы композиция этих слов не зависяла от их порядка?

Пример второй: самосовмещения

Как известно, конгрузимность (раньше говорили «равенство») фигур и тел в геометрии установливается переменением: если существует перемещение плоскости (или пространства), при котором одна фигура отображается на другую, то эти фигуры конгрузимны. Перемещение, при котором неотрицательная на себя, будем называть ее самосовмещением.

Для куба, например, найдется всего 48 различных самосовмещений. Действительно, закрасим одну грань куба и отметим направление на одном из ребер, ограничивающих эту грань (рис. 1). Тогда самосовмещение куба определяется тем, в какую грань куба отображается окрашенная грань, в какое ребро этой грани переходит отчеченное ребро и в какой конец этого ребра направлена стрелка (по этим данным однозначно опре-

26

Рис. 1.
Деляется положение куба). У куба 6 граней, у каждой грани 4 ребра, у каждой ребра 2 конца, итого $6 \times 4 \times 2 = 48$ способов.

Произведение $c = a \circ b$ самосовмещений $a$ и $b$ правильно многограника $\Delta$ определяется как общная композиция перемещений: сначала выполняется $b$, а затем $a^*$). Проверьте, что $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ для любых трех самосовмещений $a, b, c$ из множества $\Gamma (\Delta)$ всех самосовмещений тела $\Delta$ (ассоциативность; сравните с описанием группы на с. 8 и аксимой III группы там же).

Задание 3. Докажите, что последовательное выполнение двух поворотов куба: сначала вокруг оси $AB$ (рис. 2) на угол $90^\circ$, а затем вокруг оси $CD$ на угол $120^\circ$, — можно записать одним повортом вокруг оси $EF$ на $180^\circ$, что и является произведением двух поворотов. Зависит ли это произведение от порядка выполнения поворотов?

*) Такой порядок записи удобен тем, что образ $(a \circ b)(M)$ точки $M$ при отображении $a \circ b$ будет $a(b(M))$.

Рис. 2.
Задание 4. Докажите, что существует всего четырех различных самосовмещения прямогоЛЬНИКА в пространстве (рис. 3): тождественное $e$, поворот $a$ вокруг $AB$, $b$ – вокруг $CD$, $c$ – вокруг $EF$, причем $a^2 = b^2 = c^2 = e$, $a \circ b = b \circ a = c$, $b \circ c = c \circ b = a$, $a \circ c = c \circ a = b$.

Посление равенства задачи 4 можно записать в виде следующей таблицы умножения:

| $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| :— | :— | :— | :— |
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ |
| $a$ | $a$ | $e$ | $c$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $e$ |
| $c$ | $c$ | $b$ | $a$ |

Очевидно, что всякому самосовмещению $a$ фигуры или тела $\Delta$ соответствует единственное «обратное» $a^{-1}$, возвращающей тело в начальное положение ($a^{-1}$ может и совпадать с $a$, как в задание 4). При этом, если $a^{-1}$ обратно $a$, то $a$ обратно $a^{-1}$:

$a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$.

27

Рис. 5.

Тепер можно определить любую целую степень $a^k$ самосовмещения $a$:
$$a^0 = e, a^1 = a, a^2 = a \circ a, \dots, a^{k+1} = a \circ a^k, a^{-k-1} = a^{-1} \circ a^{-k}.$$
Легко проверить, что $a^k \circ a^l = a^{k+l}$ для любого $a$ из $\Gamma(\Delta)$ и любых целых $k$ и $l$; в частности, $a^k$ и $a^{-k}$ взаимно обратны. (Сравните с описанием группы на с. 8 и аксиомой II.)

Задача 5. Найдите все самосовмещения правильного терраэдра, октаэдра и икосаэдра (рис. 4). Какие из них удовлетворяют равенству $a^2 = e$? Равенству $a^3 = e$? Равенству $a^5 = e$? Составьте таблицу умножения для самосовмещений терраэдра и куба.

Задача 6. Докажите, что любое самосовмещение икосаэдра можно получить «умножениями» из некоторых двух поворотов (на $72^\circ$) вокруг двух соседних вершин; точнее, если обозначить эти повороты буквами $a, b$, то любое самосовмещение икосаэдра можно записать в виде произведения нескольких самосовмещений, каждое из которых есть любо $a$, любо $b$.

Пример третий: подстановки

Генетика, как, вероятно, известно читателю, началась с гороха. Теория групп началась с подстановок — именно они были первым «нечисловым» объектом и инструментом новой алгебры для Жозефа-Луи Лагранжа, Паоло Руффини и Эвариста Галya.

Основное свойство подстановки — переставлять, менять местами числа или буквы из некоторой последовательности. На рисунке 5 изображены подстановки букв в словах-анаграммах, меняющие смысл этих слов; рядом записаны общные «двухэтажные» числовые записи этих подстановок.

О подстановках рассказано в статье «Группы», мы лишь напомним, что две подстановки $b, a$ одного и того же набора элементов, выполненые одна за другой, дают требую подстановку $c = a \circ b$, называемую их произведением. Рисунок 6 иллюстрирует это краткое определение. Множество всех подстановок набора $(1, 2, 3, \dots, n)$ обрабатует группу, которая называется «симметрической группой степени $n$» и обозначает через $S_n$. Эта группа содержит $n!$ подстановок.

Задача 7. Пусть $a$ — некоторая подстановка. Докажите, что если $k$ — наименьшее целое положительное число, для которого $a^k = e$, то из равенства $a^l = e$ следует, что $k$ делит $l$. Далее докажите, что $k$ делит $n!$ и не превосходит числа $3^{n/3}$).

Задача 8*. Докажите, что любая подстановка из $S_n$ может быть получена последовательным выполнением некоторая

*)Эта задача уже предлагалась читателю «Кванта» (см. «Квант», 1975, № 11, М355, а также «Квант», 1976, № 8, с. 39).

Рис. 6.

28

Рис. 7.
Рис. 8.

Числа (и в подходящем порядке) подстановок
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \dots & n & 1 \\ \end{pmatrix}$$
и
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 2 & 1 & 3 & \dots & n \\ \end{pmatrix}.$$

Пример четвертый и последний: узлы
Узел — это замкнутая пространственная кривая, не имеющая точку самопересечения. Узлы изучают в топологии, но алгебраические методы играют при этом решающего роль как в описании отдельных узлов, так и в изучении множества $Y$ всех узлов. Мы рассмотрим здесь свойства композиции узлов. Определение композиции $c = a \# b$ двух узлов $a$ и $b$ ясно из рисунка 7.

Задача 9. Докажите, что композиция — ассоциативная и коммутативная (что несколько неожиданно) операция. Какой узел играет при этом роль единцы?

Можно доказать еще три замечательных свойств операции композиции узлов.

a) Любой «неединичный» (то есть не развязываемый без разрывов) узел необратим. Иными словами: нельзя развязать узел, завязав рядом с ним другой; или еще иначе: узлы можно умножать, но не делить друг на друга.

6. Существуют «простые» их нельзя представить в виде произведения двух других узлов, каждый из которых отличает от «единичного» (так, узлы $a$, $b$ на рисунке 7 и $m$, $n$ на рисунке 8 — простые).

в) Любой узел любо сам является простым, любо есть композиция простых, причем такое представление единственного. Какое порозитное сходство со свойством целых чисел!
(Подробно об узлах рассказано в «Кванте», 1975, № 7).

Что увидел алгебраист в наших примерах

Алгебраист подобен топографу — он смотрит на математические объекты «с высоты птичьего полета» и замечает и исследует лишь самые общие связи и закономерности. Зато и результаты его имеют наиболее общий и универсальный характер. (Незбежны, конечно, и потери — так топографу недоступна красота ландшафтов страны, карту которой он составляет по аэрофотоносимкам.)

To observe, что слияяет стол неохожие «вещи», как слова, узлы, подстановки и самосовмещения, может быть выражено на языке определений и аксиом, формулированных в статье «Группы» (см. с. 7—8). В каждом из этих примеров возникнет множество, на котором задана бинарная операция. Не всегда операция имеет обратную, но во всех примерах эта операция ассоциативна. Множество с ассоциативной бинарной операцией (аксиома III группы) называется полуурунной. Как видите, существование единцы и обратимость элементов (аксиомы I и II группы) в полуурунне не предполагается.

Все рассмотренные нами примеры — полуурунны, а самосовмещения и подстановки образуют даже группы — в них выполняются и аксиомы I и II.

Хорошо знакомые читатель многоестрою $N$ всех натуральных чисел с операцией умножения, многоестрою всех

30

Вокруг теоремы Лагранжа

Не приводя доказательства теоремы Лагранжа (его можно найти в учебниках по теории групп), проиллюстрируем на примерах, как «работает» эта теорема.

И ллюстрация 1 (алгебраическая). Если в конечной группе $G$ найдется элемент $g$, порядок $k$ которого равен порядку $r(G)$ группы $G$, то любой элемент $a$ из $G$ является некоторой степенью $g: a = g^m$ ($0 \leqslant m \leqslant k-1$). Такая группа $G$ называется циклической; она всегда коммутина.

Примером циклической группы является группа самосовмещений правильно $n$-угольника (см. с. 9), в ней элемент $g$, «порождащий» всего группу,— поворот на угол $360^\circ/n$.

Задача 11. Докажите, что в циклической группе число решений уравнения $x^n = e$ равно наибольшем объему делитель чисел $n$ и $r(G)$.

Задача 12*. Докажите, что если порядок $r(G)$ конечной группы $G$ — простое число, то группа $G$ — циклическая.

И ллюстрация 2 (геометрическая). Порядок группы $\Gamma(D)$ самосовмещений дodeкаэдра $\Delta$ (группы симметрины дodeкаэдра) делится на 30. Этот факт можно вывести из теоремы Лагранжа без всяких подсчетов — просто из существования трех типов самосовмещений дodeкаэдра (см. рис. 9): поворотов вокруг вершины «на одну грань» (на $120^\circ$), поворотов вокруг середины ребра на $180^\circ$ и поворотов вокруг центра грани на $72^\circ$. Порядки этих элементов из группы $\Gamma(D)$, очевидно, равны 3, 2 и 5 соответственно, поэтому порядок группы $\Gamma(D)$ делится на $3 \cdot 2 \cdot 5 = 30$.

И ллюстрация 3 (арифметическая). Задачи на делимость чисел часто очень красивы; попробуйте, например, доказать, что числа $7^8-1$, $11^8-1$, $13^8-1$, $17^8-1$, $19^8-1$, $23^8-1$, $29^8-1$ делятся на 30. После того как вы найдете решение, вам будет приятно узнать, что этот факт—одно из следствий теоремы Лагранжа.

Рис. 9.

Обозначим через $\Phi(m)$ множество натуральных чисел, меньше $m$ и взaimно простых с $m$. Введем на множество $\Phi(m)$ операцию «» умножения по modulo $m: a * b$ равно остатку от деления общного произведения $a \cdot b$ чисел $a$ и $b$ на $m$ (например, если $m = 30$, то $7 \cdot 17 = 29$, так как $7 \cdot 17 = 119 = 3 \cdot 30 + 29$).

Задача 13. Докажите, что $\Phi(m)$ образует абелеву группу, то есть

a) $a * b$ принадлежит $\Phi(m)$, причем $a * b = b * a$;

b) число 1 всегда принадлежит $\Phi(m)$, и $a * 1 = a$ для любого $a$ из $\Phi(m)$;

b) для любого $a$ из $\Phi(m)$ найдется такое $b$, что $a * b = 1$.

Итак, $\Phi(m)$ — группа. Обозначим через $\Phi(m)$ ее порядок, тогда для любого $a$ из $\Phi(m)$ будет $a^{\Phi(m)} = 1$ (теорема Лагранжа во второй формулировке!). Здесь возведение в степень $\Phi(m)$ произвольная в группе $\Phi(m)$, а для общих степеней целых чисел это означает, что $a^{\Phi(m)}$ дает при делении на $m$ остаток 1, то есть что $a^{\Phi(m)} - 1$ делится на $m$. Если $m = 30$, то $\Phi(m) = \{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$, $\varphi(m) = 8$, и мы сразу получаем, что числа $7^8-1, 11^8-1, \dots$ делятся на 30.

Темы для размышлений

О словах. Построим по алфавиту $A$ алфавит $\hat{A}$ символьов и «антисимволов»: если в $A$ входит символь $a$, то в $\hat{A}$ входят $a$ и $a$.