Задачи наших читателей

20

Теперь понятно, когда применяма формула (4), а когда (8). Если угловой размер источника велик по сравнению с дифракционным размером ($\theta_0 \gg \theta_d$), дифракцию можно не учитывать. Это условие применности (4). Если, наоборот, угловые размеры источника малы ($\theta_0 \ll \theta_d$), дифракцию надо учитывать обязательно, а источник можно считать «точенным». При этих условиях справедлива формула (8).

Итак, все дело в том, в каком соответствии находится углы $\theta_0$ и $\theta_d$. Давайте проверим это на нашем старом примере с Солнцем. Угловой размер источника мы уже знаем ($\theta_0 \approx 4,7 \cdot 10^{-3}$ рад), а угол дифракции $\theta_d \approx \frac{\lambda}{a} = 2,25 \cdot 10^{-5}$ рад. Выполняется неравенство $\theta_0 \gg \theta_d$, то есть выполняется условие применности формулы (4). Если же Солнце «удаляется» до близкой звезды ($R \approx 4 \cdot 10^{13}$ км), его угловой размер сокращается до $1,75 \cdot 10^{-8}$ рад. Угол дифракции при этом сохраняет старое значение, и справедливо обратное неравенство $\theta_0 \ll \theta_d$. Следовательно, для звезды выполняется условие применности формулы (4).

1. Вернемся снова к мысленному эксперименту с удалением Солнца на звездные расстояния ($R = 4 \cdot 10^{13}$ км). Чему станет равна интенсивность фокусированного солнечного света в этом случае? Параметры линзы остаются прежними ($a = 2$ cm, $f = 10$ cm).

2. Выведите формулу для расчета коэффициента усиления линзы при любых соответствии между углами $\theta_0$ и $\theta_d$.

3. Мы нашли, что интенсивность солнечного излучения в фокус линзы радиуса $a = 2$ cm с фокусным расстоянием $f = 10$ cm составляет 250 вт/cm².

Каким должен быть радиус линзы, чтобы после фокусировки интенсивность излучения звезды, находящейся на расстоянии $R = 4 \cdot 10^{13}$ км, была того же порядка, например, 100 вт/cm²? Считать, что соответствие между фокусным расстоянием линзы и ее радиусом остается неизменным, а звезда имеет те же параметры, что и Солнце.

Задачи
наших
читателей

1. Докажите следующие соответствия между элементами треугольника ($A, B$ и $C$ — вершины треугольника; $O$ — центр вписанного круга; $\alpha, \beta, \gamma$ — углы с вершинами $A, B$ и $C$ соответственно; $a, b, c$ — длины сторон, противложащих соответствию углам $\alpha, \beta, \gamma$; $R$ — радиус описанного круга; $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, опущенных на стороны $a, b$ и $c$, соответственно или на их проджении; $S$ — площадь треугольника $ABC$):

$$\frac{|AO|^2}{bc} + \frac{|BO|^2}{ca} + \frac{|CO|^2}{ab} = 1;$$

$$\frac{|AO|^2}{h_a} + \frac{|BO|^2}{h_b} + \frac{|CO|^2}{h_c} = 2R;$$

$$S = \frac{1}{2} \times \left( |AO|^2 \sin \alpha + |BO|^2 \sin \beta + |CO|^2 \sin \gamma \right);$$

$$S = \frac{1}{2} \left( |AO|^2 h_b h_c + |BO|^2 h_a h_b \right)^{1/2}.$$

У. Алла

(г. Выру Эстонской ССР)

2. Обозначим через $O$ центр окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, через $H$ — точку пересечения высот, через $O_1$ — центр вписанной окружности и через $O_2$ — центр окружности, касающейся стороны $BC$ и продженной стороне $AB$ и $AC$. Доказать, что если $|O_1O| = |O_1H|$, то один из углов треугольника равен $60^\circ$, а если $|O_2O| = |O_2H|$, то либо $A = 60^\circ$, либо величина одного из углов $B, C$ равна 120°.

3. Построить прямоугольный треугольник с данной гипотенузой, стороны которого образуют геометрическую прогрессию.

H. B.