Решения задач М365—М370; Ф373—Ф377

Квант 1976, №10 с. 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45 Тег 6CZV

Решения задач

M365). а) Сумма нескольких чисел равна единице. Может ли сумма их кубов быть больше единицы?
б) Тот же вопрос для чисел, каждое из которых меньше единицы.
в) Может ли случайная, что ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ скодится, а ряд $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + \dots$ — нет?
(Напомним, что ряд $x_1 + x_2 + x_3 + \dots$ называется скодящимся, если последовательность чисел $S_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ имеет предел.)

Рис. 1.

M366. Может ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждой из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?

M367. Может ли произведение a) трех b) четырех последовательных натуральных чисел равнять неокоторо натурального числа (квадрату, кубу и т. д.)?

*) Задчага M364 решена в статье Л. Беве «Минигеометрия», см. «Квант», 1976, № 6, с. 11.

Ответ на все три вопроса — утвердительный. Приведем примеры, показывающие, что так случайное может be.

a) Два числа: 2 и —1.

б) Восемь чисел: 4/5, 4/5, —1/10, —1/10, …, —1/10.

Их сумма равна 1, а сумма кубов равна $2 \cdot (4/5)^3 - 6 \cdot (1/10)^3 = 1,018$ . На той же идее — сравть положительные числа и добавлять к ним отрицательные числа — в большем количестве, но величины поменше, — основан и следующей пример.

b) Составим ряд

$1 + (-1/2) + (-1/2) + 1/2 + (-1/4) + (-1/4) + (1/2) + (-1/4) + (-1/4) + \dots$

следующим образом: следом за суммой 1 + (-1/2) + (-1/2) поставим 2^3 = 8 сумм $1/2$ + (-1/4) + (-1/4), затем 3^3 = 27 сумм $1/3$ + (-1/6) + (-1/6), …, $n^3$ сумм $(1/n) + (-1/2n) + (-1/2n)$ , и так далее. Этот ряд сходится и сумма его равна нулю, поскольку сумма $N$ первый его членов, где 3 ( $1 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3$ ) ≤ $N \leq 3$ [1 + 2^3 + 3^3 + … + ( $n + 1$ )], не больше $1/(n+1)$ (именено, она либо нуль, либо $1/(n+1)$ , либо $1/(n+1)$ ). Соответствующий же ему ряд из кубов расходится. Действительно, сумма $n^3$ сумм $(1/n)^3 + (-1/2n)^3 + (-1/2n)^3 = 3/4n^3$ равна $3/4$ , так что сумма первый 3 ( $1 + 2^3 + \dots + n^3$ ) членов ряда равна $3n/4$ .

Разумеется, если в условии задачи все числа предполагаются положительным, то ответы на все три вопроса будут отрицательными.

H. Васильев

В условии задачи не оговорено, что треугольники не должны пересекаться, и некоторые наши читатели решали задачу, считая пересечение возможным (в этом случае решения выглядит, разумеется, совсем просто). Для непересекающихся треугольников ответ на вопрос остается положительным: на рисунке 1 показано, как требуемый образом можно расположить на плоскости 6 треугольников.

B. Колосов

a) Допустим, что $k(k+1)(k+2)=u^n$ , $n>1$ . Число $k+1$ взаимно просто с числами $k$ и $k+2$ ; поэтому $k+1=m^n$ , $k(k+2)=k^2+2k=l^n$ (это — следствие Основной теоремы арифметики о единственности разложения натуральных чисел на простые множители). Тогда $(k+1)^2=k^2+2k+1=m^2n$ , то есть $(m^2)^n — l^n = 1$ — противоречие: $(a^n - b^n) = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) \neq 1$ . Значит, произведение трех последовательных натуральных чисел не может быть степенью натурального числа.

b) Доказем, что и в этом случае ответ отрицательный. Предположим противное: допустим, что для некоторого $k(k+1)(k+2)=u^n$ .

Идя рассудения будет такой же, как в задание a): мы конструкруем два близких числа, каждое из которых должно быть $n$ -й степенью, и прием к противоречию. Расстояние отдельно случан $n = 2$ и $n \ge 3$ .

I. $n = 2$ . Имеем $(k^2 + 3k)(k^2 + 3k + 2) = u^2$ . Обозначив $k^2 + 3k + 1$ через $y$ , получим равенство $y^2 - 1 = u^2$ , невозможное для натуральных $u$ и $y$ .

II. $n \ge 3$ . Заметим, что либо число $k + 1$ , либо $k + 2$ взаимно просто с остальными треями числами.

Пусть число $k + 1$ взаимно просто с $k$ , $k + 2$ и $k + 3$ . Тогда (см. решение пункта a)) $k + 1 = m^n$ , $k(k + 2)(k + 3) = l^n$ . Имеем $k = m^n - 1$ , $k + 2 = m^n + 1$ , $k + 3 = m^n + 2$ ; значит $(m^n - 1)(m^n + 1)(m^n + 2) = m^{3n} + 2m^{2n} - m^n - 2 = l^n$ . Поскольку $m \ge 2$ и $n \ge 3$ , $2m^{2n} - m^n - 2 > 0$ , то есть $l^n > (m^3)^n$ , или $l > m^3$ . С другой стороны, $(m^3 + 1)^n > m^{3n} + nm^{3n-3} > m^{3n} + 2m^{2n} - m^n - 2 = l^n$ , откуда $l < m^3 + 1$ . Итак, должно быть $m^3 < l < m^3 + 1$ , что невозможно для натуральных $m$ и $l$ .
Если же число $k + 2$ взаимно просто с $k$ , $k + 1$ и $k + 3$ , то тогда $k + 2 = m^n$ , а $k(k + 1)(k + 3) = l^n$ , или $(m^n - 2)(m^n - 1)(m^n + 1) = l^n$ , то есть $l^n = m^{3n} - 2m^{2n} - m^n - 2 = l^n$ , откуда $l < m^3 + 1$ . Итак, должно быть $m^3 < l < m^3 + 1$ , что невозможно для натуральных $m$ и $n$ . Таким образом, $l < m^3$ .

Сравним теперь $l$ и $m^3 - 1$ . Для этого заметим следующие. Так как $m^3 > 4$ , имеем $m^{3n-3} > 4m^{3n-6}$ ; и $3n - 6 \ge n$ , поскольку $n \ge 3$ . Отсюда $m^{3n-3} > 3m^{3n-6} + m^n$ . Оценим теперь разность между $(m^3)^n$ и $(m^3 - 1)^n: (m^3)^n - (m^3 - 1)^n = m^{3n-3} + m^{3n-6} (m^3 - 1) + m^{3n-9} (m^6 - 2m^3 + 1) + \dots + (m^3 - 1)^{n-1} > 3m^{3n-3} - 3m^{3n-6} > 2m^{3n-3} + m^n > 2m^{2n} + m^n - 2 = (m^3)^n - l^n$ .

Отсюда $(m^3 - 1)^n < l^n$ , то есть $m^3 - 1 < l < m^3$ — не может быть, поскольку $m$ и $l$ — натуральные.

Полученное противоречие и доказывает нашей предположение: произведение четырех последовательных натуральных чисел не может равнять степени натурального числа.

Д. Флейшан

М368. Докажите, что пересечение трех прямых круговых цилиндров радиуса 1 опис которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересечения), содержится в неоктором шаре радиуса $\sqrt{3}/2$

Пространственную функру, о которой идет речь в задание, пересечение трех цилиндров — довольно трудно себе представить. Но в этом и нет необходимости: задача решения очень просто, если перевести ее на язык алгебры — воспользоваться методом координат.

Выберем систему координат так: построим прямой параллелепидел, три ребра которого идут по осам цилиндров (для этого нужно через ось каждой цилиндра проведи две плоскости, параллельные осями двух других цилиндров); начало координат помещим в центре этого параллелепидела, а оси направим параллельно его ребрам (рис. 2). Тогда если точка $(x, y, z)$ принадлежит внутренности цилиндров, для нее выполнен неравенства

$(x - a)^2 + (y + b)^2 \leq 1, (y - b)^2 + (z + c)^2 \leq 1, (z - c)^2 + (x + a)^2 \leq 1$

(2a, 2b и 2c — длины ребер построенного параллелепидела). Сложив эти неравенства, для внутренних точек $(x, y, z)$ пересечения цилиндров получим

$(x^2 + y^2 + z^2) + (a^2 + b^2 + c^2) \leq 3/2,$

то есть $x^2 + y^2 + z^2 \leq 3/2$ , что и требовалось доказать.

Рис. 2.

Н. Васильев

М369. Дан остроуольный треугольник ABC. О-точка пересечения его высот, $\omega$ — окружность с центром O, лежащая внутри этого треугольника. Построите треугольник $A_1B_1C_1$ , описанный около окружности $\omega$ и вписанный в треугольник ABC (так, что $A_1 \in [BC]$ , $B_1 \in [AC]$ , $C_1 \in [AB]$ ).

Рис. 3.

Рис. 4.

М370. Пусть $a, b, c$ — трейка положительных чисел. Образуем из них новую трейку:
$|a - b|, |b - c|, |c - a|,$

Введем такие обозначения: $\widehat{ABO} = \widehat{ACO} = \alpha = 90^\circ - \widehat{A}$ ;
$\widehat{BAO} = \widehat{BCO} = \beta = 90^\circ - \widehat{B}$ , $\widehat{CAO} = \widehat{CBO} = \gamma = 90^\circ - \widehat{C}$ . Допустим, что точка $B_1$ такова, что угол между касательной $B_1C_1$ , проведенной из нее к окружности $\omega$ , и прямой $B_1O$ равен $\beta$ (рис. 3). Проведем касательную к $\omega$ из точки $C_1 - [C_1A_1]$ . Покажем, что тогда $B_1A_1$ — тоже касательная, то есть что $C_1\widehat{B_1A_1} = 2\beta$ . Рассмотрим четырехугольник $AC_1OB_1$ . Вокруг него можно описать окружность, поскольку $C_1AO = C_1B_1O = \beta$ . Из того, что четырехугольник $AC_1OB_1$ вписанный, следует равенство углов $OAB_1$ и $OC_1B_1$ , именно: $OAB_1 = OC_1B_1 = \gamma$ . Отсюда $B_1\widehat{C_1A_1} = 2\gamma$ . Аналогично доказывается, что и вокруг четырехугольника $C_1BA_1O$ можно описать окружность: $OC_1A_1 = OBA_1 = \gamma$ . Из этого в свою очередь следует равенство углов $C_1BO$ и $C_1A_1O$ : $C_1\widehat{BO} = C_1\widehat{A_1O} = \alpha$ .

Рассмотрим теперь четырехугольник $B_1OA_1C$ . Докажем, что и вокруг него можно описать окружность. В самом деле, $B_1\widehat{OA_1} = 2\pi - (B_1OC_1 + C_1OA_1) = \alpha + \beta + 2\gamma$ , так что $B_1\widehat{OA_1} + \widehat{C_1} = 2(\alpha + \beta + \gamma) = \pi$ . Следовательно, углы $OB_1A_1$ и $OC_1A_1$ равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же хорду $OA_1$ : $OB_1A_1 = OCA_1 = \beta$ , так что $C_1\widehat{B_1A_1} = 2\beta$ . Аналогично доказывается, что и $C_1\widehat{A_1B_1} = 2\alpha$ , то есть $B_1A_1$ в самом деле касательная (а треугольник $A_1B_1C_1$ искомый).

Осталось только построить такую точку $B_1$ , из которой бы окружность $\omega$ была видна под углом $2\beta$ . Допустим, что касательная $B_1C_1$ уже есть. Проведем радиус окружности $\omega$ в точку касания. Если величины радиуса $r$ , то длина отрезка $B_1O$ равна $r/\sin \beta$ . Следовательно, точки $B_1$ мы можем получить как результат пересечения сторон $AC$ треугольника $ABC$ с окружностью $C$ центрам в точке $O$ радиуса $r/\sin \beta$ .

Какой точке $B_1$ пересечения этой окружности с $[AC]$ (таких точек может быть две, одна или ни один) соответствует искомый треугольник $A_1B_1C_1$ :

Итак, мы выяснили, как построить треугольник $A_1B_1C_1$ , у которого углы $A_1, B_1, C_1$ соответственно равны $2\alpha, 2\beta$ и $2\gamma$ . Оказывается, что других решений у нашей задачи нет. В самом деле, показем, что из вершины $B_1$ искомого треугольника $A_1B_1C_1$ окружность $\omega$ видна под углом $2\beta$ .

Пусть $B' \in [AC]$ , и пусть, например, $C'B'O < \beta$ ( $C'B'$ — касательная к $\omega$ ). Проведем окружность через точки $A, C'$ и $O$ (рис. 4); тогда точка $B'$ лежит вне этой окружности и $B'C'O < \gamma$ (убедитесь в этом самомстоящем). Если $A' \in [BC]$ и $C'A'$ — касательная к $\omega$ , то тогда $B'C'A' < 2\gamma$ . Аналогично, $C'A'B' < 2\alpha$ , так что сумма углов в предположительную существующем треугольнике $A'B'C'$ (с вершиной $B'$ не такой, как $B_1$ ) меньше $2\alpha + 2\beta + 2\gamma = \pi$ — противоречие. Случай, когда $C'B'O > \beta$ , разбирается аналогично.

Д. Изаак

a) Докажем, что в этом случае в последовательности треек число 0 обязательно встретиется. Обозначим максимальное число в первой трейке $(a, b, c)$ через $m$ . Ясно, что максимальное число в каждой следующей трейке по крайней мере на

затем из этой тройки по тому же правилам следующую и т. д. Обязательно ли средний полученных таким образом чисел встретиется 0, если исходные числа a) целые; б) действительные?

Ф373. Два больш弟ных шара, один из которых переоначально покочется, испытыают упружее «косое» стольновение. Линция, проходящая через центры шаров при стольновении, составляет угол 60° с направлением переоначального движения налетающей шара. Во время стольновения шара деформацияется, и часть кинетической энергии налетающей шара переходит в потенциальную энергию упружеой деформации шаров, которая при разлепе шаров вновь переходит в кинетическую энергию. Определить максимальную часть энергии шаров, переодящую в энергию упружеой деформации в процессе удара. Шары считать абсолютино главками.

Рис. 5.

1 меняше, чем в предыдущей, так что максимальное число во второй тройке не больше m—1, в третьей — не больше m—2, и так далее. Долго так продолжаться не может: не далее как в m-й тройке максимальное число оказывает нулю.

Приведем пример, показывающий, что 0 может не встретиться ни в одной из троек. Начнем с тройки ( $\lambda, \lambda^2, \lambda^3$ ), где $\lambda$ выбрано так, что числа в следующей тройке

$|\lambda^2 - \lambda|, |\lambda^3 - \lambda^2|, |\lambda^3 - \lambda|$

пропорциональны числом первого тройки. Посокльку $\lambda^2 - \lambda = \lambda(\lambda - 1), \lambda^3 - \lambda^2 = \lambda^2(\lambda - 1), \lambda^3 - \lambda = (\lambda^2 + \lambda)(\lambda - 1)$ , для этого возьмем $\lambda$ равным положительным корню уравнения $\lambda^2 + \lambda = \lambda^3$ : то есть $\lambda = (1 + \sqrt{5})/2$ . При этом $n$ -я тройка будет такой: $\lambda(\lambda - 1)^{n-1}, \lambda^2(\lambda - 1)^{n-1}, \lambda^3(\lambda - 1)^{n-1}$ (это легко проверить с помощью индукции), так что ни одно из чисел не будет равно 0.

Интересный, но более трудный вопрос: какие еще тройки чисел ( $a, b, c$ ) обладают тем свойством, что в возникающей из них последовательности не будет нулей? Попробуйте в нем разобраться. Не менее интересна аналогичная задача о преобразованиях четырех чисел

$(a, b, c, d) \rightarrow (|a - b|, |b - c|, |c - d|, |d - a|).$

Н. Васильев

Обозначим через $v_0$ начальное скорость первого (налетаксшего) шара, а через $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго шаров в момент их максимальной деформации. Согласно закону сохранения энергии

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} + \Pi,$

где $m$ — масса каждой шара, $\Pi$ — максимальное значение потенциальной энергии упругой деформации шаров.

Введем систему координат $XOY$ и найдем проекции скоростей $v_1$ и $v_2$ на соответствующие оси координат. Ось $OX$ направим по линни, соединяющей центры шаров при удалении (рис. 5). В этом направлении между шарами проискодит общийLOBовой упругой удар. Посокльку системы шаров изолирована, проекция импульса системы на ось $OX$ сохраняется. В начальной момент эта проекция равна $mv_0 \cos \alpha$ . В тот момент, когда деформация шаров максимальная, проекция их скоростей на ось $OX$ одинаковы: $v_{1x} = v_{2x} = v_x$ .

Из закона сохранения импульса

$mv_0 \cos \alpha = 2mv_x,$

или

$v_{1x} = v_{2x} = v_x = \frac{1}{2} v_0 \cos \alpha.$

Так как шары абсолютино гладкие, взаимодействия их по оси $OY$ не происходит. Проекция скорости первого шара на эту ось не изменяется:

$v_{1y} = v_{0y} = v_0 \sin \alpha,$

а проекция скорости второго шара остается равной нулю:

$v_{2y} = 0.$

Таким образом, закон сохранения энергии можно записать так:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m(v_1^2 + v_2^2)}{2} + \frac{m(v_2^2 + v_1^2)}{2} + \Pi,$

или

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{mv_0^2 \sin^2 \alpha}{2} + \Pi.$

Ф374. На дне стакана с водой лежат несколько запаянных с однозою конца и заполененных воздухом капиллярных трубок. Диаметр трубок $d=0,2$ мм, высота уровня воды в стакане $h=10$ см. При кипении воды у открытых концов трубок образуют пузырыпара. Чему равна температура воды на дне стакана, если атмосферное давление равно $10^5$ н/м $^2$ ? Козффициент поверхностного натяжения воды прияты равным 57 дин/см. Считать, что давление насыщенных паров воды больше 100°С возрастает на 27 мм pt. ст. при повышении температуры на 1°.

Отсюда найдем долю кинетической энергии налетающего шара, перешедшую в потенциальную энергию упругой деформации:

$\frac{\Pi}{mv_0^2/2} = \frac{\cos^2\alpha}{2} = \frac{1}{8}.$

◆ Пузырек пара отрывается от трубки в тот момент, когда давление насыщенного пара $p_H$ внутри пузырька равно внешнему давлению $p$ на пузырек. Это внешнее давление складывает из atmosферного давления $p_0$ , из гидросатического давления $\rho g$ и из добавочного давления $2\sigma/r$ , обусловленного поверхностью натяжением жидкости. Здесь $p_0 = 10^5$ н/м $^2$ , $\rho = 10^3$ ке/м $^3$ — плотность воды, $\sigma = 57$ дин/см — коэффициент поверхностного натяжения воды и $r$ — радиус кривизны поверхности жидкости у трубки. В момент отрыва пузырька $r$ равно радиусу трубки, то есть $r = d/2$ .

Таким образом,

$p_H = p_0 + \rho g h + 4\sigma/d.$

Давление $p_H$ отличается от давления насыщенного пара при 100°С, равного $p_0$ , на величины $\Delta p = p_H - p_0 = \rho g h + 4\sigma/d \approx 16$ мм рм. см.

Следовательно, температура $t$ воды у дна стакана

$t = 100^\circ C + \frac{16}{27} \cdot 1^\circ C \approx 100,6^\circ C.$

И. Слободецкий

◆ Ясно, что второй брусок придет в движение в тот момент, когда сила упругости пружины $F_{yпр}$ по абсолотной величины станет равной максимальной значению силы треня покоя $\mu m_2 g$ (рис. 6). Расстояние перый брусок и выясним, как при его движении меняется сила упругости пружины. Этот брусок начинает движаться, если $F > \mu m_1 g$ . При движении бруска на него кроме силы $F$ и силы треня $\mu m_1 g$ действует еще сила упругости (см. рис. 6), уvelичивающаяся по абсолотной величины по мере удаления бруска от начального положения. Поэтому ускорение бруска будет уменьшаться, и в тот момент, когда $F - \mu m_1 g - F_{yпр} = 0$ , оно становится нулевым. Затем ускорение изменит знак и будет направлено против скорсти бруска. Скорость бруска начинает уменьшаться, в какой-то момент она обратится в нуль, затем брусок будет движаться влево (если, конечно, второй брусок покится).

Очевидно, что деформация пружины, а значит, и сила упругости максимальной тогда, когда скорость бруска равна нулевому. И если в этот момент сила упругости будет равна (точнее, немного больше) максимальной силы треня покоя между вторым бруском и поверхностью:

$F_{yпр.max} = \mu m_2 g,$

второй брусок придет в движение. Найдем $F_{yпр.max}$ .

Рис. 6.

Поскольку кинетическая энергия брусков в рассматриваемый момент равна нулю, работа сил $F$ и $\mu m_1 g$ за все время движения первого бруска вправа будет равна изменению потенциальной энергии приживы:

$\frac{kx_{\text{max}}^2}{2} = (F - \mu m_1 g) x_{\text{max}}.$

Здесь $k$ — жесткость приживы, $x_{\text{max}}$ — максимальное удлинение приживы. Отсюда

$F_{\text{упр.max}} = kx_{\text{max}} = 2(F - \mu m_1 g).$

Следовательно, второй брусок сдвиется, если

$2(F - \mu m_1 g) = \mu m_2 g,$

или

$F = \mu g(m_1 + m_2/2).$

Г. Комкин

Ф376. Песочные часы диаметра $d$ оставлены в запаунную и заполенную водой стеклянную трубку диаметра $D(D \approx d)$ . В начальной момент часы находятся внизу трубки. При переворотывании трубки часы на некоторое время остатся вверху трубки, затем медленно опускают вниз. Найти время, в течение которого часы находятся вверху трубки, если высота часов $h(h \gg d)$ , их масса $M$ , масса нахождения в часах песка $m$ и коэффициент трения часов о стенки трубки равен $k$ . Время перевращения песка изверхнего в нижний отски часов равно $t$ .

При переворотивании часов их центр тяжести — точка $C$ на рисунке 7 — находится выше точки $O$ , в котором приложена вытalkивающая архимедова сила, и часы оказываются «перекшенными». При этом на часы со стороны стенок трубки действуют силы реакции $N_1$ и $N_2$ и силы трения $F_{\text{тр}_1}$ и $F_{\text{тр}_2}$ . По мере просыпания песка силы $N_1$ и $N_2$ уменьшается по абсолотной величины. В тот момент, когда часы начинают скольнить вниз,

$F_{\text{тр}_1} = kN_1 \text{ и } F_{\text{тр}_2} = kN_2.$

Так как в горизонтальном направлении часы не перемещаются, то $N_1 = N_2 = N$ . Следовательно,

$F_{\text{тр}_1} = F_{\text{тр}_2} = kN.$

Обозначим через $t$ время от момента переворотивании трубки до того момента, когда часы начали скольнить относительно трубки. За это время вниз просыпалась $x = \frac{t}{\tau}$ часть песка. Найдем положение центра тяжести часов в момент времени $t$ . При этом учетом, что внизу нахождение $x$ -я часть песка, а вверху $(1-x)$ -я. Если все высота песка $l$ , то внизу нахождение столбик песка высотой $xl$ с массой $xm$ , а вверху — столбик высотой $(1-x)l$ с массой $(1-x)m$ . Для простоты будем считать эти столбики цилиндрическими. Тогда нетрудно по общим правилам найти положение центра тяжести часов:

$OC = \frac{m}{2(M+m)}(2x^2l - hx + l - 2xl).$

Полагая, что $l = h/4$ (как показано на рисунке 7), получим

$OC = \frac{mh}{8(M+m)}(2x^2 - 6x + 1).$

Теперь запишем условия равновесия часов. Во-первых, ясно, что $F_{\text{тр}_1} + F_{\text{тр}_2} + F_B = (M+m)g$ , откуда

$F_{\text{тр}_1} = F_{\text{тр}_2} = \frac{1}{2}[(M+m)g - F_B] = \frac{g}{2}(M+m - \rho V),$

$N = \frac{g}{2k}(M+m - \rho V),$

где $\rho$ — плотность воды и $V$ — объем часов.

Кроме того, $N_1 \cdot OA \cdot \cos(\alpha + \beta) + N_2 \cdot OB \cdot \cos(\alpha + \beta) + F_{\text{Tp}_1} \times OA \cdot \sin(\alpha + \beta) = F_{\text{Tp}_2} \cdot OB \cdot \sin(\alpha + \beta) + (M + m)g \cdot OC \cdot \sin \alpha$ .

Так как $d \approx D$ и угол $\alpha$ мал, то

$OA \cdot \cos(\alpha + \beta) = OA \cdot \cos \beta = h/2, \quad OA \cdot \sin(\alpha + \beta) = OB \cdot \sin(\alpha + \beta) \quad \text{и} \quad OC \cdot \sin \alpha = OC \cdot \mathrm{tg} \alpha = OC \cdot (D - d)/h.$

В результате из равенства (3) получаем

$N = (M + m)g \frac{D - d}{h^2} OC.$

Подставляя сюда выражения для $N$ (из равенства (2)) и для $OC$ (равенство (1)) и решая полученное уравнение относительно $x$ , найдем

$x = \frac{1}{2} \left(3 - \sqrt{7 + 2a}\right), \quad t = x\tau = \frac{\tau}{2} \left(3 - \sqrt{7 + 2a^2}\right),$

где $a = \frac{4h (M + m - \rho V)}{mk (D - d)}$ .

И. Слободецкий

Ф377. Если смотреть прицурившись на далекие яркие лампы, то обычно видны вертикальные или слеек наклоненные стольы света, идущее вниз и вверх от лампы. Объясните это явление. Придумайте и поставьте опыты для того, чтобы проверить ваше объяснение.

Подсказка. Поверхность розовцы не былает сухой. Она всегда покрыта слоем слезной жидкости.

Рис. 8.

«Вдоль краев века слезная жидкость образует небольшой мениск, в котором преломляются световые лучи. Как показано на рисунке 8, $a$ , лучи преломляются уверхнего века так, что каждуся идущими сизу, и источник света получает образенный книзу «хвост». Подобным же образом у нижнего века возникает световой «хвост», направленный вверх. Появление этих «хвостов» можно хорошо проследить, если, закрыв один глаз, медленно прикрывать другой, или поднимаать и опускать голову, держа полужакрытыми оба глаза. Лучи появляются в тот самый момент, когда век начинает закрывать зрачок, что легко заметить близорукуму человека, так как источник света, который представляет ему распливчатым кругом, в этот момент частично затмевается.

Лучи не вполне параллельны, даже если смотреть только один глазом. Взгляните в упор на источник света, а затем поверните голову чуть вправа и скочите глаза так, чтобы снова этот источник. Тепер лучи направлены наклонно (рис. 8, 6). Причина, по-видимому, состоит в том, что края век, там, где они пересекают зрачок, уже не горизонтальны, и каждый лучок лучей располагается под прямым углом к краю век. Видимые направления лучей согласуют с этим объясением. Тепер можно понять, почему лучи не параллельны, если смотреть прямо перед собой: кривизна век сказывается даже при малой ширине зрачка (рис. 8, 8). Закройте пальцем правый край зрачка, и расположенные слева лучи исчезнут.»

Из книги М. Миннарма «Свет и цвет в природе»

Ответ и комментарий к вопросу 1

a) Такая функция, конечно, существует — см. рис. 3, а и 3, б (на рис. 3, б изображен график многочлена $y = x^4 - x^2$ — подтвердите это исследованием с помощью произвольной).

б) Оказывается, и такая функция существует! Соответствующие графики изображены на рисунках 4, а и 4, б: между точками минимума $x_1$ и $x_2$ этих функций расположена «плоская горка» — участок графика над отрезком $[a_1, a_2]$ , на котором функция построена. Конечно, хочется считать эту горку состоящий целиком из точек максимума. Однако точки $x_0 \in [a_1, a_2]$ не подходит под нашей определение максимума — «строгого» максимума ( $f(x) < f(x_0)$ для точек $x \neq x_0$ в окрестности $(x_0)$ . Зато они являются точками несроzoого максимума: для точек $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$ выполнен нестрогое неравенство $f(x) \leqslant f(x_0)$ . Интуттивно ясно, что между точками минимума непрерывная функция должна иметь точку максимума — между двумя впадинами должны быть хотя бы одна горка! Это действительное так, но максимум может оказаться несрогим.

Понятие несроzoого экстремума (максимума или минимума) удобно, но несколько «двусмысленно»: точки интеграла $|a_1, a_2|$ на рисунках 4, а и 4, б с полным правом можно считать и точками несроzoого минимума! Еще пример: функция, график которого изображен на рисунке 5, а, не

имеет строгих экстремумов, но точка $x_1$ является для нее точкой нестрогого максимума, $x_2$ — точкой нестрогого минимума, а все точки $x_0$ интервала построения $|x_1, x_2|$ являются одновременно точками нестрогого максимума и нестрогого минимума. Проанализируйте подобным образом функция $y = |x - 1| + |x + 1|$ и $y = |x - 1| - |x + 1|$ (их графики изображены на рис. 5, 6 и 5, в соответствии — проверьте!).

Итак, наряду со школьными понятиями максимума и минимума в математике приняты и понятия нестрогих максимума и минимума — более общие, «несколько двусмысленные» (см. выше), но иогда удобные при формулировке теорем. В качестве примера приведем следующие утверждения:

Если функция $f$ определяна и неверрывна на отрезке $[a, b]$ , причем принимаем в его концах одинаковые значения, то есть $f(a) = f(b)$ , то существует точка $x_1 \in ]a, b[$ ,

Рис. 5.

Рис. 6.

в котором функция $f$ имеет максимум или минимум (возможное, несмотря).

Рисунок 6 ( $a, b, \theta$ ) илистрирует эту теорему, причем указанные на рисунке максимумы и минимумы являются строгими.

Вопрос 3. Верло ли формулированное утверждение, если максимумы и минимумы считать молоко строгими?

В учебниках математического анализа для изучов максимумы и минимумы принято пониять в нестрогом смысле — по причине, указанной выше. В средней школе же в основном приходится иметь дело с таким функциями, у которых максимумы и максимумы только строгие. К этому классу функций, в частности, относится многочлены и дробно-рациональные функции. Заметим, например, что график на рисунке 4, 6 не может быть графиком нижкого многочлена (в отличие от графика на рисунке 3, 6) — попробуйте это доказать!

Ответ на вопрос 2

a) Такие функции существуют — на пример, «пила» на рисунке 7, $a$ , или

синусоида — график $y = \sin x$ (рис. 7, 6).

Оказывается, такие функции тоже существует. Точки экстремума могут «сгущаться» так, что на отрезке $|0, 1|$ их помещается бесконечно много. Например, на рисунке 8, $a$ в точках $x_n = 1/n$ при четном $n$ — минимумы, при нечетном — максимумы. Однако график 8, $a$ не определяет значения функции при $x = 0$ . Можно взять $f(0) = 0$ или $f(0) = c$ , но такая функция не будет непрерывной в точке $x = 0$ : значение $f(x)$ не стремиется к $f(0)$ при $x \rightarrow 0$ . Чтобы получить непрерывную функцию, можно сделать так, чтобы значения функции в точках экстремума $x_n$ стремились к нулю при $n \rightarrow \infty$ , как на рисунке 8, 6. Если затем продолжать

Рис. 7.

Рис. 8.

жить график, как показано на этом рисунке, то мы получим всюду определенную и непрерывную функцию, имеющую бесконечную много экстреммов на отрезке $|0, 1|$ — ответ на вопрос 2,В).

Графики, аналогичные изображены на рисунках 8, $a$ и 8, 6, конечно, можно задать и формулими: проверьте, например, что такое графики функции

$y = \sin \frac{1}{x} \left( \text{при } 0 < x \leq \frac{2}{\pi} \right),$

$y = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & \text{при } x \neq 0, \\ 0 & \text{при } x = 0. \end{cases}$

Не следует думать, что функции, о которых говорится в вопросе 2 — это какие-то «исключения». С подобными функциями приходится встречаться при изучении различных процессов в физике.

В заключение предложим вам еще один вопрос. Очевидно, если функция $x \rightarrow f(x)$ возвращает следа от точки $x_0$ , то есть в некоторых промежутках $|x_0 - \delta, x_0|$ , и убываем справа от этой точки — в промежутке $|x_0, x_0 + \delta|$ , то $x_0$ — точка максимума функции $f$ (поясните!).

Вопрос 4. Верно ли обратное: если всоду непрерывная функция $f$ имеет в точке $x = x_0$ максимум, то следа от точки $x_0$ она возвращает, а следа от $x_0$ — убываем?