Логические задачи и неравенства

57

Логическая задачи и неравенства

Сделав уроки, пятиклассник Волода занялся решением логической задачи №1291 из учебного пособия «Matematika, 5» (М., 1976), заданной на дом на математическом кругже. Вот она.

В современании по безу участвовали три бегуна: Авдеев, Васильев и Семенов. Первед забезом один зритель сказал, что первый приедем Авдеев, второй — что Семенов не будет последним, а третьий — что Васильев не приедем первый. После забеза оказылось, что один зритель уедал, а два других ошиблись. Как закончилось сопевования?

Шло время, а Волода так и не мог решить задачу. Наконец он обратился за помощью к своей старшей сестре Наташе.

— Думай сам! — сказал сестра, занимаясь своим делом.

— Так я же все время думало… пожалуйста… я же не часто к тебе обращаюсь…

— Ну ладно,— согласно Наташи.— Только, давай, решим задачу с помощью неравенств. Хорошо?

— Я не против, только как это — неравенств? Учитель так не показывал, мы решали логические… — удивился Волода.

— Ну и что же? А мы решим посвоему. Сначала обозначим место, занятое Авдеевым, через a, Васильевым — через b, Семеновым — через c. Бегунов было трое, поэтому каждый из них мог занять 1, 2 или 3 место.

Значит, a, b и c могут быть равны лишь 1, 2 или 3. Подумай, как это записать в виде неравенств? Между какими натуральными числами находится a? b? c?

Волода подумал и записал: 1 ≤ a ≤ 3, 1 ≤ b ≤ 3, 1 ≤ c ≤ 3.

— Правильно,— сказал сестра.— А теперь попробуем записать условия задачи с помощью величины a, b и c. В задаче сказано «первым приедем Авдеев», поэтому a = 1. Дальше «Семенов не будет последним», значит, он может занять 1 или 2 место, поэтому, как ты сам уже договоравешься, записем c = 1 или c = 2. Как это выразить с помощью неравенств?

— Я понял, сказал Волода.— Нado записать так: 1 ≤ c ≤ 2. Тогда и предложение «Васильев не приедет первый» записется аналогично: 2 ≤ b ≤ 3.

— Очень хорошего. Давай все, что мы получили, выпишем вместе:

$$\begin{cases} (1) a = 1, \\ (2) 1 \leq c \leq 2, \\ (3) 2 \leq b \leq 3. \end{cases}$$

Такую запись будем называть «системой». Но эта система еще не все выражает в задаче. Например, нами еще не использовано то, что «один зритель уедал, а два других ошиблись». Как эти данные записать с помощью неравенств?

— Неравенств?… ума не приложу…

58

Смотри. Слова «угадал» и «ошибся» выражают противоположные логические «действия», они отражают друг друга:
«угадал» — «НЕошибся»
«ошибся» — «НЕугадал».
Как видим, это делается с помощью частных НЕ.
Что касается нашей задачи, то давая составим таблицу:

| Прямоое высказывание | Противоположное высказывание |
| :— | :— |
| А равно $B(A=B)$ | А не равно $B(A \neq B)$; $A > B$ или $A < B$ |
| А больше $B(A > B)$ | А не больше $B(A \leq B)$ |
| А меньше $B(A < B)$ | А не меньше $B(A \geq B)$ |
| Противоположное высказывание | Прямоое высказывание |

Используя эту таблицу,-продолжая Наташа, можно перевести на язык неравенств фразу «один из трех зрителей угадал занятое бегуном место, а два других ошиблись». Попробуем это сделать сам.
С таким заданием Володя справился, приводим его записи.
Если I зритель угадал, a II и III ошиблись (см. системе (*)):

$$\begin{cases} a = 1, \\ c = 3, \\ b = 1. \end{cases}$$

Если II зритель угадал, a I и III ошиблись:

$$\begin{cases} 2 \leq a \leq 3, \\ 1 \leq c \leq 2, \\ b = 1. \end{cases}$$

Если III зритель угадал, a I и II ошиблись:

$$\begin{cases} 2 \leq a \leq 3, \\ c = 3, \\ 2 \leq b \leq 3. \end{cases}$$

Все верно,— сказала система.— Теперь смотри: первая система не годится…

— Да, это видно сразу: в ней $a = 1$ и $b = 1$, но Авдеев и Васильев не могли занять одинаковые места. А вторая… из нее следует, что $b = 1$, $c = 2$, $a = 3$. Она годится! Посмотрим теперь… кто же занял первое место? Никто? Значит, и третья система не годится.

Итак,— провозгласил Володя,— совершенная закономпись со следующим результатом: Васильев занял первое место, Семенов — второе, Авдеев — третье.

— Ну, а теперь еще одну задачу,— сказала Наташа, достав какую-то книгу *).

Аня, Варя и Клава ходили на демонстрацию. Одна из них была в

*) И. Я. Депман, Рассказы о старой и новой алгебре, Л., 1967, c. 122.

59

красном платье, друезда — в белом, премья — в синем. На вопрос, какое на каждой девушке было платье, они дал们 ответ: Аня была в красном, Варя — не в красном, Клава — не в синем. В этом ответе одно из трех утверждений — верное, два — неверные. В каком платье была каждого из девушек?

— И тоже с помощью неравенств? — спросил Волода.
— Конечно! — ответила сестра.
— А я не знаю, что больше — синее, красное или белое,— возмутился Волода,— и вообще это совсем другая задача, ничем не похожая на предыдущего.
— Хорошо, я тебе немного помощи,— сказал Наташа.— Давай занумерем цвета. Красный цвет пусты будет первым, белый — вторым, а синий — третьим.
— А… Тогда я, наверное, смогу решить задачу,— чуть помедлив произнес Волода.— Я обозначу через a — цвет платы Ани, через b — цвет платы Вари и через c — цвет платы Клавы. Теперь запишу условия с помощью неравенств
$$\begin{cases} a=1, \\ 2 \leq b \leq 3, \\ 1 \leq c \leq 2, \end{cases}$$

— Смотри, Наташа! Да ведь получалась та же самая система! И точно так же нужно рассмотреть три случая, в которых одно утверждение верно, а два других неверны. Значит, я, не решая задачи, могу сразу сказать, что a=3, b=1, а c=2. Аня была в синем платье, Варя в красном, а Клава в белом!

— Совершенно верно,— ответила сестра.— Здесь проявилось, наверное, самое важное достоинство математики: совершенно разные задачи, записанные на ее языке, могут стать одной и той же задачей. Таким образом, решив одну из них, мы получаем решение и остальных задачи. Когда подрастешь, увидись, что передко различные задачи из физики, химии, экономики, биологии часто оказывается одной и той же математической задачей.

Ну, а теперь уже без моей помощи реши еще две задачи.

1. Написав контрольную работу по математике, сестры сообщили родители:
   Света а.— На этот раз я написала на «5».
   Люда а.— Я написала не на «3».
   Ира.— Я написала не на «5».
   После проверки работ оказалось, что сестры получили разные положительные оценки и из трех высказываний система одного верное, остальные — ошибочные. Какие оценки получили за контрольную Света, Люда и Ира?

2. Три брата имеют звания капитана, старшины сержанта. Из трех утверждений «Алексей — старшина», «Владимир — не старшина», «Семен — не сержант» лишь одно — верное. Какие вопросы звания у братов?