Советуем купить!
31
Условимся, что после образования слова над алфавитом А в нем «аннигилируют» (удаляются) все соседние пары «символ — антисимвол» (например: <ab cc ba> → <ab ba> → <aa>).
Задача 14. Докажите, что результат полной «аннигилиции» не зависит от порядка «аннигилиции» отдельных пар «символ — антисимвол».
Условимся композицией «» двух слов (в которых уже нет пар символ - антисимвол) над алфавитом А считать результат полной «аннигилиции» объявной композиции этих слов.
Задача 15 *. Докажите, что множество слов алфавита А с операцией «» есть группа.
О самомовещениях и подстановках.
Задача 16. Дан треугольник. Над постройть tetraэдр, все грани которого конгруэнтны этому треугольнику.
a) Для каких треугольников это возможно?
b) Найди группу самосовмещений такого tetraэдра.
Задача 17. Выше мы доказали, что число самосовмещений куба, то есть порядок группы симметрики куба Γ(K), равен 48. Попытайте с аналогичным образом подчитать порядок группы Γ(Д) самосовмещений додекаэдра.
Задача 18. Постройте таблицу умножения для группы самосовмещений правильно пятнуюльника.
Самосовмещения куба разбивают на два класса: те, которые могут быть выполены непрерывным движением куба в пространстве (повороты), будем называть их движениями, и те, которые движением в пространстве не выполнять (отражения). Множество движений куба с операцией композиции перемещений образует группу, в ней 24 элемента.
Задача 19. Опишите все элементы этой группы, то есть указывается оси и углы всех поворотов, входящих в эту группу.
Читатель, возможно, заметил, что группа S₄ содержит столько же элементов (24), сколько и группа движений куба. Более того, оказывается, что эти две группы изоморфны (об этом понятии расскаано в статье «Группы»): каждому движению куба можно сопоставить подстановку из S₄ так, что композиции движений отвечаем произведение соответствующих этим движениями подстановок.
Задача 20 *. Установите изоморфизм между группой движений куба и группой S₄, указав 4 геометрических объекта в кубе таких, что производная их подстановка задает единственное движение куба (и, наоборот, каждому движению куба отвечает подстановка этих объектов).
Пусть a — подстановка последовательности (1, 2, 3, …, n). Изовем орбитой числа p относительной подстановки a множество чисел, на месте которых может оказаться p при действии подстановки a или ее степени (a², a³, …).
Задача 21. Докажите, что множество {1, 2, 3, …, n} разбивается на орбиты, внутри каждой из которых любое число переводится на место лобого другого под действием подстановки a или ее степени.
Задача 22. Докажите, что порядок подстановки (как элемента группы Sₙ) равен наименшему общему кратному длин ее орбит.
Очевидно, что всякая подстановка полностью определяется свойства орбитами и порядком перехода от элемента к элементу внутри орбиты. Например, подстановка
полностью восстанавливается по такой записи:
если условиями, что из двух соседних элементов одной орбиты лежит переводится подстановкой a в правый.
Задача 23. Как, зная «орбитальную» запись подстановки a, построить обратную к ней подстановку a⁻¹?
Задача 24 *. Опишите все пары подстановок a и b, удовлетворяющих равенству a⋅b = b⋅a.
Советуем купить!
Барабой В. А., Киричинский В. Р. Ядерные излучения и жизни. Серия «Проблемы современной науки и технического прогресса». Ц. 77 к.
Берман М. А. и др. Математические модели и планирование обработания. Ц. 34 к.
Гольданский В. И., Поликанов С. М. Тяжелее урана. Ц. 70 к.
Гуревич В. З. Энергия невидимого света. Ц. 50 к.
Дадян В. С. Математика в экономике. Ц. 8 к.
Почтared В. И. Математизм Элемии и космической пространства. Ц. 24 к.
Соминский М. С. Солнечная электрозерсия. Полупроводники и солнец. Ц. 35 к.
Физики сеодня и завтра. Проенозы науки. Ц. 1 р. 73 к.
Творцы физической оптики. Сборник статей. Серия «Из истории мировой культуры». Ц. 1 р. 11 к.
Для получения ключа почтой заказы направляется по адресу: 117464, Москва, Мицуринский проспект, 12, мазазин № 3 «Книга — почтой» «Академика».