Задачи М406—М410; Ф418—Ф422

32

Задачи

M406—M410; Ф418—Ф422

M406. Окружность радиуса $R$ разделена точками $A_1, A_2, A_3, A_4$ на четыре равные дуги. Докажите, что сумма четырех степеней расстояний от произвольной точки окружности $M$ до точки $A_k$ не зависит от положения точки $M$, причем
$$|A_1M|^4 + |A_2M|^4 + |A_3M|^4 + |A_4M|^4 = 24R^4.$$
Ю. Бабенко

M407. Данны два натуральных числа $n$ и $m$, $n > m$. Докажите, что $n$ можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых — делитель числа $m$, а другое не имеет с $m$ ни одного общего делителя, кроме единицы.
С. Конякин

M408. Из 30 конгрузительных прямогольников составлен прямогольник, подобный исходным. Каким может быть отношение длины сторона этого прямогольника?
П. Панков

M409. В строчку подряд написано 1000 чисел. Под ней пишется вторая строчка чисел по следующему правилаю: под каждым числом $A$ первый строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз $A$ встречается в первой строчке. Из второй строчки таким же образом получается третья: под каждым числом $B$ второй строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз $B$ встречается во второй строчке. Затем из третьей строчки так же строится четвертая, из четвертой пятая и так далее.
а) Докажите, что неокоторая строчка совпадает с следующей.
б)* Более того, докажите, что 11-я строчка совпадает с 12-й.
в)* Приведите пример такой первогоначальной строчки, для которого 10-я строчка не совпадает с 11-й.
М. Сероя

M410. На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которое мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие

33

географические термины: полос, meridian, параллель.

a) Зададим на этой сфере функцию $f$, ставшую в соответствии какдой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости экватора. Проверите, что эта функция обладает следующим свойством:
если $M_1, M_2, M_3$ — концы треугольника взаимно перпендикулярных радиусов (*)
сферы, то $f(M_1)+f(M_2)+f(M_3)=1$.

Во всех следующих пунктах $f$ — произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в 0 во всех точках экватора и обладает свойством (*).

6)* Пусть $M$ и $N$ — точки одного meridiana, расположенные между северным полосом и экватором. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем точка $N$, то $f(M) \geq f(N)$.

в)* Пусть $M$ и $N$ — произвольные точки сферы. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем $N$, то $f(M) \geq f(N)$.

г)* Докажите, что функция $f$ совпадает с функцией, описанной в пункте a).

А. Лодкин

Ф418. Сложенные вместе смочечные оконные стекла практические невозможно отделить друг от друга, пытаясь оторвать одно стекло от другого. Почему?

Ф419. В некоторых галактике обнаружена система планет, аналогичная нашей Солнечной системе. Средние плотности планет и Солнца в этой системе в два раза меньше средних плотностей планет и Солнца в нашей системе, а размеры всех небесных тел — в три раза меньше размеров соответствующих тел в нашей системе. Сколько земных суток длися год на обнаружном аналоге Земли?

Ф420. На кронштейне $ACBOE$ из 6 неверсных жестких стержней одинаковой длины, соединенных шарнирно (рис. 1), в точке $C$ подвешен груз массы $m$. Растянут или скат стержень $AB$? Найти силу упругости в этом стержне.

Б. Буховцев

Ф421. Tonkoctенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $\omega$ и поставили в угол (рис. 2). Коэффициент треня скольжения между стенками угла и цилиндром равен $k$. Определить, сколько оборотов сделает цилиндр до остановки.

Ф422. Половина сферического конденсатора заполнен диэлектриком с диэлектрическим пропищемостью $\varepsilon$ (рис. 3). Найти отношение плотностей зарядов на верхней и нижней половинах конденсатора и его емкость.