Группы преобразований

2

Понятие группы занimaет очень большое место в современной математике и физике. В то же время элементы группы группы просты и волне доступны школьникам. Читательям, знакомым с понятиями «отображение множества на множество» и «композиция отображения» (которые входят по новой программе в курс геометрии VI—VIII классов), прошедшего начать знакомство с теории группы на примерах группы преобразования, в частности, группы перемещения на плоскости. Небольшая статья А. Колмогорова о группах преобразованияной может служить введением к изучению группы симметрии. Общей, «абстрактной», теории группы посвящена статья Л. Садовского и М. Аршинова. В ней, впрочем, также содержится много материнала, относ哉ся специально к группам преобразованияной. Наконец, в статье Э. Белги, помещен в разделе «Matематический кругок», вы найдете множество задач, решая которые, вы овонтеесь с операцией «композиция» (не только отображений) и увидите, как применяется теория группы при решении задач.

А. Колмогоров

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Задча моей короткой заметки состоит в том, чтобы сделать более доступным и связать с новыми школьными учебниками содержание публикуемой dalle статья Л. Садовского и М. Аршинова «Группы».

По новым школьным программам школьники в пятом классе знакомятся с понятием «отображение множества на множество». В шестом классе они знакомятся с понятием «обратимое отображение» (в другой терминологии, привченной многим читательям «Кванта», — «взаимно однозначное отображение»).

Кажде обратимое отображение имеет обратное отображение. Например, поворот $R_0^{70^\circ}$ вокруг точки $O$ на $70^\circ$ против часовой стрелки (рис. 1) имеет своим обратным отображением поворот вокруг точки $O$ на $70^\circ$, но уже по часовой стрелке. В новом учебнике геометрии этот поворот обозначает $R_0^{-70^\circ}$ (поворот вокруг точки $O$ на минус $70^\circ$).

В следующом и воспомним классах школьники знакомятся с понятием «композиция отображения». Расмотрим для примера два перемещения плоскости, то есть два отображения плоскости на себя, сохраняющих расстояния. В качестве первого перемещения возьмем освую симметрию $S_x$ с осью $x$, в качестве второго — освую симметрию $S_y$ с осью $y$, перепendlukулярной оси $x$ (рис. 2). Что получится, если произвести эти два отображения последовательно: сначала $S_x$, а потом $S_y$?

Точка $P$ при освоей симметрии $S_x$ перейдет в симметриную ей относительно оси $x$ точку $P_1$, а при симметринии $S_y$ точки $P_1$ перейдет в точку $P_2$. Сказанное можно записать в виде равенства

$$P_2 = S_y(S_x(P)).$$

С другой стороны, точку $P_2$ можно получить непосредственно из точки $P$ при помощи центраной симметрии $Z_0$ с центром $O$ — точкой пересечения прямых $x$ и $y$:

$$P_2 = Z_0(P).$$

Доказайте самостояльно, что для любого точки $P$ плоскости

$$S_y(S_x(P)) = Z_0(P)$$

(предполагается, как было сказано, что прямые $x$ и $y$ перепendlukулярны и пересекаются в точке $O$).

4

Решив задачи 2 и 3, вы установите, что множество $G_1$ обладает свойствами (1) и (2) из определения группы преобразования, то есть что $G_1$ — группа преобразования плоскости.

Можно доказать более общий факт: множество $G_\Phi$ всех перемещений плоскости; которые отображают какую-либо заданную фигуру $\Phi$ на себя, есть группа преобразования плоскости. Доказательство не сложно (проведите его!). Группа $G_\Phi$ называется группой симметричной фигуры $\Phi$.

Из таблицы композиций множества $G_1$ мы видим, что композиция перемещений не всегда переместимена:

$$S_{(OA)} \circ S_{(OB)} = R_0^{-120^\circ} \neq R_0^{120^\circ} = S_{(OB)} \circ S_{(OA)}.$$

Можно, однако, доказать, что операция композиции преобразования множества $M$ всегда обладает свойством ассоциативности:

$$F_3 \circ (F_2 \circ F_1) = (F_3 \circ F_2) \circ F_1$$

(попробуйте сделать это).

Таблица 1

| $\circ$ | $E$ | $S_{(OA)}$ | $S_{(OB)}$ | $S_{(OC)}$ | $R_0^{120^\circ}$ | $R_0^{-120^\circ}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $E$ | $E \circ E = E$ | $E \circ S_{(OA)} = S_{(OA)}$ | $E \circ S_{(OB)} = S_{(OB)}$ | $E \circ S_{(OC)} = S_{(OC)}$ | $E \circ R_0^{120^\circ} = R_0^{120^\circ}$ | $E \circ R_0^{-120^\circ} = R_0^{-120^\circ}$ |
| $S_{(OA)}$ | $S_{(OA)} \circ E = S_{(OA)}$ | $S_{(OA)} \circ S_{(OA)} = E$ | $S_{(OA)} \circ S_{(OB)} = R_0^{-120^\circ}$ | | | |
| $S_{(OB)}$ | | $S_{(OB)} \circ S_{(OA)} = R_0^{120^\circ}$ | | | | |
| $S_{(OC)}$ | | | | | | |
| $R_0^{120^\circ}$ | | | | | | |
| $R_0^{-120^\circ}$ | | | | | | |