Bài toán độc giả của chúng tôi

20

Bây giờ đã rõ khi nào công thức (4) được áp dụng và khi nào (8). Nếu kích thước góc của nguồn lớn so với kích thước nhiễu xạ ($\theta_0 \gg \theta_d$) thì có thể bỏ qua nhiễu xạ. Đây là điều kiện để áp dụng được (4). Ngược lại, nếu kích thước góc của nguồn nhỏ ($\theta_0 \ll \theta_d$), thì phải tính đến nhiễu xạ và nguồn có thể được coi là “chính xác”. Trong những điều kiện này, công thức (8) là hợp lệ.

Vì vậy, toàn bộ vấn đề nằm ở chỗ các góc $\theta_0$ và $\theta_d$ tương ứng như thế nào. Hãy kiểm tra điều này với ví dụ Mặt trời cũ của chúng ta. Chúng ta đã biết kích thước góc của nguồn ($\theta_0 \approx 4,7 \cdot 10^{-3}$ rad) và góc nhiễu xạ là $\theta_d \approx \frac{\lambda}{a} = 2,25 \cdot 10^{-5}$ rad. Bất đẳng thức $\theta_0 \gg \theta_d$ được thỏa mãn, tức là thỏa mãn điều kiện áp dụng công thức (4). Nếu Mặt trời “di chuyển” đến một ngôi sao gần đó ($R \approx 4 \cdot 10^{13}$ km), kích thước góc của nó giảm xuống $1,75 \cdot 10^{-8}$ rad. Góc nhiễu xạ vẫn giữ nguyên giá trị cũ và bất đẳng thức nghịch đảo $\theta_0 \ll \theta_d$ vẫn đúng. Do đó, điều kiện áp dụng công thức (4) đối với ngôi sao được thỏa mãn.

1. Chúng ta hãy quay trở lại thí nghiệm tưởng tượng với việc Mặt trời di chuyển ra xa các khoảng cách sao ($R = 4 \cdot 10^{13}$ km). Cường độ ánh sáng mặt trời tập trung trong trường hợp này sẽ là bao nhiêu? Các thông số của ống kính vẫn giữ nguyên ($a = 2$ cm, $f = 10$ cm).

2. Suy ra công thức tính hệ số khuếch đại của thấu kính cho bất kỳ sự tương ứng nào giữa các góc $\theta_0$ và $\theta_d$.

3. Chúng tôi nhận thấy cường độ bức xạ mặt trời tại tiêu điểm của một thấu kính có bán kính $a = 2$ cm có tiêu cự $f = 10$ cm là 250 W/cm².

Bán kính của thấu kính phải là bao nhiêu để sau khi hội tụ cường độ bức xạ của một ngôi sao nằm ở khoảng cách $R = 4 \cdot 10^{13}$ km có cùng thứ tự, ví dụ: 100 W/cm²? Giả sử rằng sự tương ứng giữa tiêu cự của thấu kính và bán kính của nó không thay đổi và ngôi sao có các thông số giống như Mặt trời.

Bài toán
của chúng tôi
độc giả

1. Chứng minh sự tương ứng sau đây giữa các phần tử của tam giác ($A, B$ và $C$ - các đỉnh của tam giác; $O$ - tâm của đường tròn nội tiếp; $\alpha, \beta, \gamma$ - các góc có đỉnh $A, B$ và $C$, tương ứng; $a, b, c$ - độ dài các cạnh đối diện với các góc tương ứng $\alpha, \beta, \gamma$; $R$ - bán kính của đường tròn ngoại tiếp; $h_a, h_b, h_c$ - chiều dài của các đường cao hạ xuống các cạnh $a, b$ và $c$, hoặc trên phần mở rộng của chúng; $S$ - diện tích của tam giác $ABC$):

$$\frac{|AO|^2}{bc} + \frac{|BO|^2}{ca} + \frac{|CO|^2}{ab} = 1;$$

$$\frac{|AO|^2}{h_a} + \frac{|BO|^2}{h_b} + \frac{|CO|^2}{h_c} = 2R;$$

$$S = \frac{1}{2} \times \left( |AO|^2 \sin \alpha + |BO|^2 \sin \beta + |CO|^2 \sin \gamma \right);$$

$$S = \frac{1}{2} \left( |AO|^2 h_b h_c + |BO|^2 h_a h_b \right)^{1/2}.$$

U. Alla

(Võru, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết Estonia)

2. Chúng ta hãy biểu thị bằng $O$ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, bằng $H$ giao điểm của các đường cao, bằng $O_1$ tâm của đường tròn nội tiếp và bằng $O_2$ tâm của đường tròn tiếp tuyến với cạnh $BC$ và các cạnh mở rộng $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng nếu $|O_1O| = |O_1H|$ thì một trong các góc của tam giác bằng $60^\circ$ và nếu $|O_2O| = |O_2H|$ thì $A = 60^\circ$ hoặc giá trị của một trong các góc $B, C$ bằng 120°.

3. Xây dựng một tam giác vuông với cạnh huyền đã cho, các cạnh của nó tạo thành một cấp số nhân.

H. B.