Bài toán M411—M415; F423—F427

32

Bài toán
M411—M415; F423—F427

M411. Ba đoạn thẳng có các đầu ở các cạnh của tam giác, song song với các cạnh của nó, đi qua một điểm và có cùng độ dài $x$ (Hình 1). Tìm $x$ nếu độ dài các cạnh của tam giác là $a, b, c$.

A. Yagubyants

M412. Trong thành phố, mỗi quảng trường có ít nhất ba con phố. Tất cả các đường phố đều có giao thông một chiều để bạn có thể lái xe từ bất kỳ quảng trường nào đến bất kỳ quảng trường nào khác. Chứng minh rằng có thể cấm giao thông trên một trong các đường phố (trong khu vực giữa hai ô vuông) để vẫn có thể lái xe từ ô vuông này sang ô vuông khác.

A. Goldbere

M413. Với số dương nào $a$ thì phát biểu sau đây là đúng: với mọi hàm $f$ được xác định trên đoạn $[0,1]$, liên tục tại mọi điểm của đoạn này và sao cho $f(0) = f(1) = 0$, phương trình $f(x + a) - f(x) = 0$ có lời giải?

a) Đầu tiên hãy làm rõ câu hỏi này cho trường hợp $a = 1/2$.

6. Chứng minh rằng với $a = 1/n$, trong đó $n$ là số tự nhiên thì phát biểu trên là đúng.

b) Chứng minh rằng với số dương còn lại $a$ thì không đúng.

Đối với lời giải, bài toán này, thuộc tính sau của hàm liên tục có thể hữu ích: nếu hàm $g$ được xác định trên đoạn $[a, b]$, liên tục tại mỗi điểm của đoạn này và ở các đầu thuộc của nó với các dấu khác nhau, thì giữa $a$ và $b$ sẽ tìm thấy một điểm $c$ tại đó $g(c) = 0$.

H. Yaelom

M414. a) Trong số gót của các hình tam giác được cắt ra từ một hình ngũ giác lồi cho trước, diện tích của hình tứ giác là $S$, diện tích của hình tam giác thứ năm là $3S/2$. Tìm diện tích $x$ của hình ngũ giác.

33

6)* Chứng minh rằng nếu $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ là diện tích các hình ngũ giác của các tam giác này và $x$ là diện tích của hình ngũ giác thì
$$x^2 - (S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5)x + (S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_4 + S_4S_5 + S_5S_1) = 0.$$
A. Tikhomirov

M415. Có thể đặt tối đa bao nhiêu quân vua trên một bàn cờ ngang $n \times n$ mà chúng không nằm cạnh nhau? Một bàn cờ hình xuyến có kích thước chung $n \times n$, trong đó các đường ngang trên và dưới, cũng như các đường dọc bên trái và bên phải, được coi là được dán. Trên một bảng ngang, từ mỗi ô, quân vua có thể được ghim vào tám ô liền kề (Hình 2).

A. Chân trang

F423. Khối lượng của quả bóng cùng với sợi dây kéo phía sau nó bằng $M$ (Hình 3). Lực nổi Archimedean tác dụng lên quả bóng là $F$, hệ số ma sát của sợi dây trên mặt đất là $\mu$. Lực cản không khí tác dụng lên khinh khí cầu tỷ lệ thuận với tốc độ không khí tương đối của khinh khí cầu $F_c = -\alpha v$. Tìm tốc độ của quả bóng so với mặt đất nếu một cơn gió ngang thổi với tốc độ $u$.

A. Trubachev

F424. Để bật bóng đèn được thiết kế cho điện áp mạng 110 $\theta$ với điện áp 220 $\theta$, bạn có thể sử dụng biến trở, có thể bật theo mạch $a$ và $b$ (Hình 4). Tìm hiệu suất của mỗi mạch. Điện trở của bóng đèn là 1000 $\Omega$, điện trở của biến trở là 2000 $\Omega$.

F425. Một tấm kim loại có điện tích $Q$ dâng lên trong khoảng trống giữa các bản của một tụ điện phẳng không tích điện. Trong trường hợp này, các khoảng trống $l_1$ và $l_2$ vẫn tồn tại giữa tấm và các bản của tụ điện. Diện tích của tất cả các tấm đều bằng nhau và bằng $S$. Xác định hiệu điện thế giữa các bản tụ điện.

F426. Trong một luồng khói từ các phần mờ đục có bán kính $r_1 = 5$ µm với hàm lượng khối lượng chất là $m = 0,04$ g trên một mét khối không khí, phạm vi tầm nhìn là $l_1 = 50$ m. Bao nhiêu chất trong một mét khối không khí được phun bởi một nguồn viên khác, tạo ra các hạt có bán kính $r_2 = 10$ µm, nếu tầm nhìn giảm xuống $l_2 = 20$ m?