Задачи М411—М415; Ф423—Ф427

32

Задачи
M411—M415; Ф423—Ф427

M411. Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину $x$ (рис. 1). Найдите $x$, если длины сторона треугольника равны $a, b, c$.

A. Ягубьянц

M412. В горode на каждую площадь выходит не менее трех улиц. На всех улицах ведено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Доказите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно будет проехать на любую другую.

A. Гольдбере

M413. Для каких положительных чисел $a$ верно следующее утверждение: для любой функции $f$, определенной отрезке $[0,1]$, непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0) = f(1) = 0$, уравнение $f(x + a) - f(x) = 0$ имеет решение?

a) Выясните сначала этот вопрос для случая $a = 1/2$.

6. Доказите, что для $a = 1/n$, где $n$ — натуральное число, формулированное утверждение верно.

b) Доказите, что для остальных положительных $a$ оно не верно.

При решении этой задачи может пригодиться такое свойство непрерывных функций: если функция $g$ определена на отрезке $[a, b]$, непрерывна в каждой точке этого отрезка и на концах его принадлежности разных знаков, то между $a$ и $b$ найдет точка $c$, в которой $g(c) = 0$.

H. Яелом

M414. a) Из пяты треугольников, отсекаемых от данного выпуклого пятуугольника, площади четырех равны $S$, площадь пятого — $3S/2$. Найдите площадь $x$ пятуугольника.

33

6)* Докажите, что если $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ — площади пятин этих треугольников, а $x$ — площадь пятинугольника, то
$$x^2 - (S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5)x + (S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_4 + S_4S_5 + S_5S_1) = 0.$$
A. Тихомиров

M415. Какое наиболее число королей можно расставить на горизонтальной доске $n \times n$, чтобы они не были друг друга? Торическая шахматная доска получается из общий размером $n \times n$, у которой верхняя и нижняя горизонтали, а также левая и правая вертикали считаются склеенными. На горизонтальной доске с каждой поля король может пояты на восемь соседних полей (рис. 2).

A. Футер

Ф423. Масса воздушного шара вместе с волочимся за ним канатом равна $M$ (рис. 3). Действующая на шар архимедова выталкивающая сила равна $F$, коэффициент треня каната о землю $\mu$. Сила сопротивления воздуха, действующая на воздушный шар, пропорциональна скорости шара относительной воздуха $F_c = -\alpha v$. Найти скорость шара относительно земли, если дует горизонтальный ветер со скоростью $u$.

A. Трубачев

Ф424. Для того чтобы лампочки, расчитанную на напряжение сети 110 $\theta$, включить в себя с напряжением 220 $\theta$, можно воспользоваться реостатом, который может быть включен по схемам $a$ и $b$ (рис. 4). Найти к. п. д. каждой из схем. Сопротивление лампочки 1000 $\Omega$, а реостата 2000 $\Omega$.

Ф425. В пространство между пластнами незаряженного плоского конденсатора высится металлическая пластина, имеющая заряд $Q$. Между пластиной и обкладками конденсатора при этом остаются заоры $l_1$ и $l_2$. Площади всех пластин одинаковы и равны $S$. Определить разность потенциаль между обкладками конденсатора.

Ф426. В дымовой засесе из непрозрачных части радиуса $r_1 = 5$ мкм при содержании массы вещества $m = 0,04$ г в кубометре воздуха дальность видимости составляет $l_1 = 50$ м. Сколько вещества в кубометре воздуха распыляется другим источником засыся, который создает частицы радиуса $r_2 = 10$ мкм, если видимость сокращается до $l_2 = 20$ м?