Графическое задание функции

47

Графические задачи функций

Летом этого года на вступительном устном экзамене по математике в одном из взов между экзаменатором (Э) и абитриентом (А) произведел следующее разговор.

Э. Какие способы задачи функций вы знаете?

А. Существует три способа задачи функции: анализческий, табличный и графический.

Э. Приведите пример функции, заданной графическим способом.

А (после некоторых разговоров). Это что, надо построить график функции? А какой функции?

Э. Речь идет не о построении графика функции, заданной, например, с помощью формулы, а о самом задании функции с помощью графика. Ведь вы только что сказали, что функция может быть задана графически. Вот и требуется задать, определять какую-нибудь функцию графических.

А … (молчит).

Э. Вспомните, что значит задать функцию.

А. Что бы задать функцию, надо взять два множества — множества X и множества Y — и указыть такое соответствие между ними, при котором каждому x ∈ X ставится в соответствие один и только один элемент из множества Y.

Э. Хорошо. А теперь возьмите координатную плоскость — на лице бумаги нарисуйте прямоугольную систему координат и на каждой оси отметьте единицу измерения. Далее, на оси Ox возьмите какой-нибудь отрезок — это будет множество X, а на оси Oy — другой отрезок — множество Y. Для определения функции осталось только определить соответствие между этим множеством. Как это можно сделать?

А. Соответствие можно задать с помощью формулы.

Э. А графические как задать? Наже интересует именно этот способ.

А… (молчит).

Не будем дальнейшее это разговор. Поставления задача оказалась для абитриента непосильной. Затруднения у абитриентов вызывали и другие «графические» вопросы, т. е. вопросы, связанные с графиками функций — описание свойств функций по ее графику (исследование функций), построение графиков функций путем преобразования данного графика и т. д. Обсуждение таких вопросов и является целюо настоящей статью.

Некоторые направления

Нам потребуется два знакомых вам определения. Напомним их и сделаем несколько замечания.

Первое возьмем из школьного учебника*).

Определение 1. Соответствие между множеством X и множеством Y, при котором каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y, называется функцией. Можество X называется область определения функции.

Второе — из статьи А. Н. Колмогоров**).

*) Алгебра. Учебное пособие для 6 класса средней шкалы, под редакцией А. И. Марекшевича (М., «Просвещение», 1976, с. 69).

**) А. Н. Колмогоров. Что такое график функции, «Квант», 1970, № 2.

48

Определение 2. Пусть на множестве $X$ задана функция $y = f(x)$. Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, что:

1. первый элемент $x$ пары $(x, y)$ принадлежит области определения $X$ функции $y = f(x)$;
2. второй элемент $y$ пары $(x, y)$ есть значение функции $y = f(x)$ в точке $x$.

Так, для функции $f(x)$, заданной таблицей

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & a & b & c & d & e \\ f(x) & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 5 \end{array}$$

графиком будет множество
$$\Gamma_f = \{(a, 2), (6, 1), (b, 3), (r, 2), (d, 1), (e, 5)\}.$$

Для функции с бесконечной области определения все пары $(x, f(x))$ выписать, естественно, нельзя. Поэтому приходится описать эти пары иначе. Например, для функции $y = f(x) = x^2$, $x \in R$ график состоит из всехможных пар действительных чисел вида $(x, x^2)$, т. е. из всех пар $(x, y)$, для которых выполено условие $y = x^2$. Используя обозначения, приятые в теории множества, определение графика функции $y = x^2$ можно записать в виде формулы
$$\Gamma_f = \{(x, y) \mid x \in R, y = x^2\}.$$
А общее определение графика функции $y = f(x)$, $x \in X$, можно записать в виде следующей формулы:
$$\Gamma_f = \{(x, y) \mid x \in X, y = f(x)\}.$$
Далее мы ограничимся числовыми функциями. У числовых функций $y = f(x)$ областЬ определения состоит из действительных чисел, значения этих функций также являются действительными числами, а график состоит из всех пар $(x, y)$ действительных чисел $x$ и $y$, для которых выполяется условие $y = f(x)$.

Напомним, что множество всех пар $(x, y)$ действительных чисел $x$ и $y$ называется числовой плоскостью и обозначется символом $R^2$, а любое подмножество точек числовой плоскости называется геометрической фигурой. Геометрической фигурой будет, например, ось $Ox$, т. е. множество точек
$$\{(x, y) \mid x \in R, y = 0\}.$$
График числовой функции $y = f(x)$ также будет фигурой числовой плоскости $R^2$.

Точки и геометрические фигуры числовой плоскости (в частности, графики числовых функций) можно наглядно изобразать на чертеже. Для этого строим координатную плоскость и на ней точкой с координатами $x, y$ изобразаем точку $(x; y)$ числовой плоскости.

Согласно определению 1 каждому элементу $x \in X$ соответствует один и только один элемент $y$ из множества $Y$, поэтому множество $\Gamma_f$ — график функции $y = f(x)$ — не должно содержать двух пар с общими первыми элементами и различными вторыми, т. е. на графике числовой функции не должно быть двух точек с одинаковыми абсциссами и различными ординатами. Этот факт сформируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если множество $\Gamma_f$ есть график числовой функции $y = f(x)$, то какая прямая, параллельная оси $Oy$, должна иметь более одной общей точки с множеством $\Gamma_f$.

После этих предварительных замечаний обратимся к поставленным в начале вопросам.

Графикаческий способ задания функций
Возьем на координатной плоскости точку $(x; y)$. Будем считать, что точка $(x; y)$ числу $x$ — абсцисс точки — ставит в соответствие число $y$ — ординату точки.

Теперь на координатной плоскости возьем некоторое точное множество $M$, т. е. множество пар $(x; y)$ действительных чисел $x$ и $y$. Множество всех абсцисс $x$ точек $(x; y) \in M$

49

Рис. 1.

обозначим через $X = \{x\}$, множество всех ordinат $y$ этих точек — через $Y = \{y\}$. Будем считать, что множество $M$ числу $x \in X$ ставит в соответствии все те числа $y \in Y$, которые являются ordinатами точек $(x; y) \in M$ (т. е. точек, имеющих одну и ту же абсциссу, равную $x$). Тогда говорят, что множество $M$ задаем соответствие $f$ между множеством $X$ и $Y$. Само же множество $M$ называют графиком соответствия $f$.

Например, на рисунке 1 множество $M$ — окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Эта окружность задает соответствие между отрезком [—5; 5] на оси $Ox$ и отрезком [—5; 5] на оси $Oy$. Точке 3 на оси $Ox$ соответствует 4 и —4 на оси $Oy$, точке 5 на оси $Ox$ — точка 0 на оси $Oy$ и т. д.

Когда соответствие $f$, задаанное множество $M$ на координатной плоскости, будет функцией? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к определению функции. Из него сразу следует, что соответствие $f$, определяемое множество $M$, будет функцией, если каждой абсцисс $x \in X$ соответствует единственной ordinатата $y \in Y$. Получаем теорему, обратную теореме 1.

Теорема 2. Если множество множеств $M$ на координатной плоскости максимой, что каждая прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает ее не более чем в одной точке, то множество $M$ есть график некоторой функции $y = f(x)$.

Obедининая теоремы 1 и 2, получим следующее теорему.

Теорема 3. Для того чтобы множество $M$ на координатной плоскости является графиком некоторой функции (определяло функцию) необходимо и достаточно, чтобы каждая прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает ее не более одного раза (имела с $M$ не более одной общей точки).

Теперь мы видим, что множество $M$ на рисунке 1 функцию не определяет — прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку (3,0), пересекает множество $M$ в двух точках; то же самое верно и для всех других точек интервала—5; 5].

А вот соответствие $f$ между множеством $X = [1; 5]$ на оси $Ox$ и $Y = [1; 3]$ на оси $Oy$, определяемое множество $M$ на рисунке 2, является функцией,—каждая прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает множество $M$ не более чем в одной точке.

50

Рис. 4.

Заметим, что для данных множества $X \subset (Ox)$, $Y \subset (Oy)$ можно построить бесконечно много функций с областью определения $X$, принимающих значения в $Y$. Так, на рисунке 3 каждая из трех кривых является графиком некоторой функции с областью определения $|a; b| \subset (Ox)$, принимающей значения в $|c; d| \subset (Oy)$, т. е. каждая из них определяет функцию графикаски.

Вот что примерно следует знать абитриенту по вопросу о графикском задании функций.

Исследование функций

Пусть функция $y = f(x)$ задана своим графиком. Требуется исследовать ее.

Это означает следующее.

1. Наименование определения функции.
2. Наименование значений функций; выяснить, является ли функция ограниченной.
3. Выяснить, имеет ли функция наиболее и наименьшее значение.
4. Определить, является ли функция четной (нечетной), периодической.
5. Наименование промежутки, на котором функция положимена, отрицательна; выясить, где функция обращается в нуль.
6. Наименование промежутки возвращания, убывания, постоянства функции.

Рис. 5.

51

Для такого исследования функции требуют известные определения: четной (нечетной) функции, возвращающей (убывающей) в промежутке функции, ограниченной функции и так далее. Все эти определения обычно используются для исследования функции, заданной формулой (аналитических), но они пригодны для исследования всякой числовой функции, каким бы способом она ни задавалась. Поэтому все определения будут «работать» и для функции, заданных графическими. (Надо только учитывать, что каждое изображение графика функции — скажем, карандашом на бумаге — приблизительно и дает лишь общее представление о функции, не позволяя точно определить значение функции в данной точке.) Расмотрим один пример.

На рисунке 4 задана функция $y = f(x)$. Исследуем ее по приведенной схеме.

1. Область определения функции $f: X = [-1; 4]$.
2. Множество значений функции $f: Y = [-1; 2]$. Функция $f$ ограничена, так как для всех $x \in X$ будет $|f(x)| \leq 2$.
3. Наибольшее значение функции $f$ принимает в точке $x = 4$, $f(4) = 2$, наименьший — в точке $x = -1$, $f(-1) = -1$.
4. Функция $f$ не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения $X$ не симметрина относительно начала координат (впрочем, этот вывод не изменится, если ограничение функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вверх (по оси $Oy$) переносится графика функции $y = f(x)$ на $a$ единиц влево (по оси $Ox$) сжатие графика функции $y = f(x)$ к оси $Ox$ в отношении $1/k$

$y = f(x) (k > 0)$
отражение графика функции $y = f(x)$ относительно оси $Ox$

$y = f(kx) (k > 0)$
сжатие графика функции $y = f(x)$ к оси $Oy$ в отношении $1:(1/k)$

$y = f(-x)$
отражение графика функции $y = f(x)$ относительно оси $Oy$

$y = |f(x)|$
отражение относительно оси $Ox$ части графика функции $y = f(x)$, лежащих ниже оси $Ox$

52

ничить область определения функций $f$ промежутком $[-1; 1]$, так как $f(-1)=-1$, $f(1)=0$, и $f(1)\neq f(-1)$, $f(1)\neq -f(-1)$. Функция $f$ неперiodическая, так как ее область определения ограничена.

5. Функция $f$ положительная в промежутках $[-1; -\frac{1}{2}]$ и $[1; 3]$; $3[$. В точках $x=-\frac{1}{2}$, $x=1$ и $x=3$ функция обращается в нуль.

6. Функция $f$ возрастает в промежутках $[-1; 0]$ и $[2; 4]$ и убывает в промежутке $[0; 2]$.

Так проводится исследование функций по ее графику.

Построение графиков функций с помощью преобразования данного графика

Путем преобразования графика функций $y=\sin x$ вы в 10 классе получали графики функций $y=A\sin(kx+\theta)$, где $A$, $k$, $\theta$ — действительные числа. Точно так же путем преобразования графика функций $y=f(x)$ можно строить графики ряда других функций. Пусть функция $y=f(x)$ задана своим графиком. По этому графику абитуриент должен уметь строить графики следующих функций: $y=f(x)+a$, $y=f(x+a)$, $y=kf(x)$, $y=f(kx)$, $y=|f(x)|$ ($a$, $k$ — действительные числа), а также графики функций, полученные при различных комбинациях этих преобразований (типа $y=kf(x+a)$ и т.п.). Геометрические преобразования графика функций $y=f(x)$ при которых получаются графики приведенных выше функций, собраны в таблице (см. с. 51 и рис. 5).

Описание способов построения графиков функций читатель может найти в пособиях по математике, например: Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. Пособие по математике. М., «Наука», 1976.

Упражнения

1. Исследовать функцию $y=f(x)$, заданной графическими (рис. 6).
2. Дан график функции $y=f(x)$ (рис. 7). Построить графики функции: а) $y=f(x)-2$; б) $y=f(x)+2$; в) $y=-f(x)$; г) $y=2f(x)$; л) $y=f(2x)$; е) $y=|f(x)|$; ж) $y=f(-x)$.
3. Дана графики $y=f(x)$. Построить графики функции, перечисленных в упражнения 2, если: а) $f(x)=x^2$; б) $f(x)=10^x$; в) $f(x)=\lg x$; г) $f(x)=\sin x$.