Фигуры конгруэнтны... фигуры неконгруэнтны?

74

Степа изобретает
Смотрите, — убеждал свои друзей шестиклассник Степа Мошкин, — я придумал новое отображение плоскости на себя! При этом отображения точка $O$ отображается на себя: $O \rightarrow O$ — как при повороте. Всякая другая точка $A$ отображается на такую точку $A_1$, что $A_1$ принадлежит лучу [OA) и $|OA_1| = 2 |OA|$*). Тепер возьмем на прямой $p$ точки $A, B, K, D$ и построим их образы $A_1, B_1, K_1, D_1$ (рис. 1). Вы видите, все они лежат на одной прямой $p_1$, т. е. прямая $p$ отображается на прямую $p_1$. Примая $AC$ отображается на прямую $A_1C_1$, т. е. на себя, и угол $AOB$ отображается на себя. Но самое удивительное не в этом. Все расстояние

*) Придуманое Степой отображение изучается в третьей четверти седьмого класса и носит название «гомотетия». Степа Мошкин об этом не знал.

пия в придуманном много отображении удаваются! Например, $|A_1B_1| = 2 |AB|$, $|A_1C_1| = 2 |AC|$, $|OD_1| = 2 |OD|$ и т. д. Следовательно, прямая $p$ отображалась на прямую $p_1$ так, что все расстояния уведомились в два раза! Из курса геометрии 6 класса мы помним, что конгрузимыми фигурами называются также, которые отображаются одна на другую с сохранением расстояний. При отобража-

Рис. 1.

75

Женнии фигуры $p$ на фигуру $p_1$ расстояния не сохранились. Следовательно, пряма $p$ не конгруэнтна прямой $p_1$! И даже пряма $AC$ не конгруэнтна сама себе, ведь она отображалась на себя так, что расстояния не сохранились: $|A_1C_1| = 2 |AC|$! Аналогично и угол $AOB$ не конгруэнтен сам себе. Так что, — твердо произнесен Степа, — пряма может быть не конгруэнтна сама себе; существуют прямы, не конгруэнтные друг другу!

— Это не так! — вырикнул Геша. — Всякие две прямы конгруэнтны! Всякая фигура конгруэнтна сама себе!

— Почему это? — возразил Степа. — Существуют же неконгруэнтные треугольники, неконгруэнтные параллелограммы, неконгруэнтные окружности! Почему бы не существовать и неконгруэнтным прямым?

Кто же прав в этом споре?

Вечный путанник Степа Мошкин

Вы уже выясили, кто прав? Ну конечно же, Степа повторяет старые ошибки — определение конгруэнтных фигур он заменил, не сознавая этого, другим. Ведь в учебнике сказано: «если фигуру Ф можно отобразить на фигуру Ф$_1$ так, что расстояние между любыми двумя точками фигуры Ф равно расстоянию между соответствующими им точками фигуры Ф$_1$, то говорят, что фигура Ф конгруэнтна фигуре Ф$_1$». Иначе это можно сказать так: если существует отображение одной фигуры на другую, при котором расстояния сохраняется, то эти фигуры называются конгруэнтными.

А Степа решил, что конгруэнтными фигурами называются также, которые отображаются друг на друге молько с сохранением расстояния! Если же существует отображение одной фигуры на другую, не сохранящее расстояния, то такие фигуры, считает Степа, неконгруэнтны. Правда, слово «только» Степой не было произнесено, но оно им подразумевалось как само собой разуменося.

Своим примером Степа показал, что существует отображение фигуры на конгруэнтную ей фигуру, не сохранящее расстояния. А Геше надо было указыть другое отображение прямой $p$ на прямую $p_1$, сохраняющее расстояния, скажем, центральную симметрию с центром в середине отрезка $AA_1$, или освую симметрию с осью, прохождение через середины отрезков $AA_1$ и $BB_1$, или параллельный перенос, при котором точка $A$ отображается в точку $A_1$. Конечно, и угол $AOB$ конгруэнтен сам себе, — достаточно указыть тождественное отображение или освую симметрию с осью, являющейся биссертricой угла $AOB$.

Что же определял Степа?

Степина ошибка ставит интересный вопрос: а существуют ли случаи, в которых и по школьному определению конгруэнтности, и по Степиному получится один и тот же результат? Другими словами, существуют ли фигуры, которые могут быть отображены одна на другую только с сохранением расстояния?

Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с простейших случаев. Фигура — это множество точек. Простейший фигурой является фигура, состоящая из одной точки. Пусть $F_1 = \{A\}, F_2 = \{B\}$, где $A$ и $B$ — точки. Ясно, что существует единственное отображение фигуры $F_1$ на фигуру $F_2$, оно точку $A$ отображает на точку $B$:

$$A \rightarrow B.$$

Поскольку фигуры $F_1$ и $F_2$ содержат по одной точке, то можно говорить о точки $A$ до точки $A$ и от точки $B$ до точки $B$. Но $|AA| = |BB| = 0$, поэтому все отображения $F_1$ на $F_2$ сохраняются.

Пусть теперь $F_1 = \{A, B\}, F_2 = \{C, D\}$, где $A, B, C, D$ — точки.

76

и $|AB| = |CD|$. Фигуру $F_1$ можно отобразить на *) фигуру $F_2$ только двумя способами (рис. 2):

1. $A \rightarrow C$, $B \rightarrow D$;
2. $A \rightarrow D$, $B \rightarrow C$.

Поскольку $|AB| = |CD| = |DC|$, то оба эти отображения сохраняют расстояния. Поэтому фигура $F_1$ может быть отображена на фигуру $F_2$ только с сохранением расстояния (т. е. эти фигуры конструктивны и по определению учебника, и по Степиному определению).

Таким образом, фигуры, отображающиеся друг на друга только с сохранением расстояния, существуют.

Возьемт теперь две фигуры $F_1$ и $F_2$, каждая из которых состоит из трех точек, принадлежащих одной прямой (рис. 3), причем $|AC| = |KD| = 5$ см, $|BC| = |ED| = 3$ см, $|AB| = |KE| = 2$ см. Эти фигуры конструктивны друг другу, так как отображение $A \rightarrow K$, $B \rightarrow E$, $C \rightarrow D$ сохраняет расстояния. Отображим теперь $F_1$ на $F_2$ так:
$A \rightarrow K$, $B \rightarrow D$, $C \rightarrow E$.

При этом отображения точки $A$ и $B$ отображились на точки $K$ и $D$, но $|AB| \neq |KD|$, т. е. расстояние не сохранилось. Следовательно, фигуру $F_1$, можно отобразить на фигуру $F_2$ и без сохранения расстояния, т. е. «по Степе» $F_1$ и $F_2$ не конструктивны.

Теперь посмотрим, какие фигуры «по Степе» конструктивны сами себе. Пусть фигура $F$ состоит из двух точек: $F = \{A, B\}$. Эту фигуру можно отобразить на себя только двумя способами:

1. $A \rightarrow A$, $B \rightarrow B$;
2. $A \rightarrow B$, $B \rightarrow A$.

При обихх отображениях конструкция сохраняется: $|AB| = |AB| = |BA|$. Таким образом, при всяком отображении данной фигуры $F$ на себя расстояния сохраняется.

Пусть теперь $F_1 = \{A, B, C\}$ — фигура из трех точек, изображенная на рисунке 3. Отображим ее на себя так:
$A \rightarrow A$, $B \rightarrow C$, $C \rightarrow B$.

Поскольку не сохраняет расстояния, и по Степиному определению эта фигура сама себе не конструктивна.

Чтобы полностью ответить на вопрос «что же определял Степа», ре-
*) Подчеркием: отображить на (а не в), т. е. отображение предполагается обратным.

77

Шите следующее задан: Вам может показаться, что при решении некоторых из них достаточно сслаться на «очевидность», но такая «ссылка» не будет решением этих задач. Нужно привести логические рассуждения, опирающиеся на определение конгрузных фигур, скажем, доказать, что для указанных в задах фигур не существует отображения, переводшего одну из них в другую и сохраняющего расстояния.

Задание

1. Найдите все фигуры $F_1$ и $F_2$, каждая из которых состоит из трех точек и которые можно отобразить друг на друга только с сохранением расстояния.
2. Найдите все фигуры, состоящие из трех точек, которые отображаются на себя только с сохранением расстояния.
3. Можно ли отобразить на себя множество всех вершин квадрата так, чтобы ни одно из расстояний между различными точками не сохранилось?
4. a) Докажите, что для любых двух конгрузных фигур на плоскости, состоящих более чем из трех точек, найдется отображение одной из них на другую, не сохраняющее расстояния.

6. Докажите, что для любой фигур на плоскости, состоящей более чем из трех точек, найдется отображение одной из них на другую, не сохраняющее расстояния.

Как устроено атомное ядро
(Начало см. с. 30, 42, 55)

Европа может рассматривать как ядро, состоящее из ряда протонов (которые обладают неодинаковыми размерами и зарядами) и из нескольких нейтронов (без заряд и малой массы). Все они удерживают на своих местах с помощью колосальной силы, которая не дает им разлетаться и называется географией. Ядро это неисметрично, поскольку содержит на западной своей окранне весма мощный протон (имеется в виду Великобритания), который обладает «волновыми характерами», присущими только ему. На юге расположется нечто такое, что может быть назван нейтрино (Италия). Можно предложить, что частица эта также подчиняется законам квантовой механики. Характерно в этом отношении, что центральная ее часть (Рим) — вечная, тогда как об остальной территории этого нельзя сказать.

Затруднения начинаются с рассмотрения электровов, которые обращаются по орбитам, далеким от ядра. В данном случае роль электровов играют колонии. Они принадлежат, если можно так выразиться, отдельным протонам. Но некоторые времени назад ядро подвергло их ужасной бомбардировки, что заставило некоторых электровы перераспределения между протонами. Однако весма влияющей протон, на математическом языке обычно выражаемый

связтикой, стал вести себя в этом отношении весма и весма неспокойно, чторозит нарушить устойчивое состояние ядра. Можно, однako, найдется, что если заданный протон увеличит свой заряд (имеется в виду — осуществит перевооружение), то, хотя направленное состояние между протонами сохранится, ядро в целом станет более устойчивым.

Я полагаю, что осветил эту чрезвычайно сложную ситуацию в достаточно мере и пользоваться терминами, вполне доступными физикам. Я мог бы сказать еще словю и в отношении всеми всеми тяготения Ньютона, поскольку о нем упоминал профессор Андраде. Но я чувствую, сэр, что Вы придерживаете собственной точки зрения на этот счет, а мне не хотелось бы трогать то, что для Вас свято.

78

К статье «Графический задание функций»

1. $X = [-1; 4]; Y = [-1; 2]; f(1,5) = 2$ — наиболее значение, $f(-1) = -1$ — наиболее значение; функция не является ни четной, ни неперiodической; функция $f$ положительная в промежутках $1; 2[и]3,5; 4]$, отрицательна в промежутках $[-1; 1]$ и $2; 3,5]$, обращается в нуль при $x=1$, $x=2$, $x=3,5$; функция $f$ возвращает в промежутках $[0; 1,5]$ и $[2,5; 4]$, убивает в промежутке $[1,5; 2,5]$, постоянна в промежутке $[-1; 0]$.

К статье «Завод-втуз при Московском автомобильном заводе им. И. А. Лихачева»
Вариант 1

1. $\sqrt[3]{\frac{4r^3+h^3tg^2\alpha}{tg^2\alpha}}$.
2. $x < -1; \frac{3}{4} < x < 1$.
3. $x = k\pi/7, k$ — целое, не кратное 7. Указан ие. Домножить обе части уравнения на sin $2x$, проверить, что корни уравнения sin $2x = 0$ не является корнями исходного уравнения.

Вариант 2

1. $lh(\sqrt{l^2+12h^2}-l)/12$.
2. $x_1, x_2 = \log_4+V_{15}(31\pm\sqrt{15}) = \pm2$.
3. $x_1 = 2k\pi, x_2 = 2k\pi + \pi/2$,
   $x_3 = (-1)^{k+1}\arcsin(3\sqrt{2}/5) + k\pi(k-1)$.
   Физика
4. $t = 2$ сек; $v = 25$ м/sec.
5. $F_H = 0,6$ н.
6. $k = 0,2$.
7. $v = 10,5$ м/sec $\approx 38$ км/час.
8. $t = 23$ °C.
9. $v = 400$ м/sec.
10. $R = 3$ м.
11. $A = 48.10^{-7}$ дж.
12. $q = 24$ к; $A = 288$ дж.
13. $\mathcal{E} = 1,1$ в.
14. $\mathcal{E}_{ннд} = 1,26$ в.
15. $\Delta l = 0,3$ м.
16. $F = 0,2$ м; $D = 5$ днмр.
17. $\lambda = 0,5$ мкм.
18. $E = 2$ зв.

К статье «Фигуры конгрузных… фигуры неконгрузных?»

1. $F_1$ и $F_2$ — множество вершин двух конгрузных равносторонних треугольников.
2. Множество вершин равностороннего треугольника.
3. Нет. Указан ие. Для вершин квадрата есть шесть расстояний: 4 — по сторонам, 2 — по диагоналям, первыые четыре равны друг другу.
4. Указан ие. Если при любом отображении расстояния сохраняется, то все расстояния между различными точками равны друг другу.
5. a) Да; при отображении $5 \rightarrow 7,7 \rightarrow 15,3 \rightarrow 16$ расстояния сохраняется.

6. Да; при отображении $10 \rightarrow 2,7 \rightarrow 7,4 \rightarrow 12$ расстояния сохраняется.
7. Да; при отображении $1 \rightarrow 11,5 \rightarrow 12,6 \rightarrow 8,2 \rightarrow 7$ расстояния сохраняется.
8. Нет, так как отображения фигуры $F_1$ на фигуру $F_2$, сохраняется его расстояния, в этом случае не существует. Например, на какие бы точки второй фигуры мы ни отображали точки 6 и 7, расстояние между их образами будет больше расстояния $|67|$.
9. Да.
10. Да; всеая фигура может быть отображена на себя с помощью точек детального отображения. В данном случае можно отображить $F_1$ на $F_2$ с сохранением расстояний и так: $1 \rightarrow 4,4 \rightarrow 1,2 \rightarrow 3,3 \rightarrow 2$ (проверьте сохранение расстояний и при этом отображения).
11. a) $F_2 = \{15,3,14\}$ или $F_2 = \{15,3,16\}$, или $F_2 = \{15,3,2\}$, или $F_2 = \{15,3,4\}$.
12. $F_2 = \{10,11,12,7,6\}$ или $F_2 = \{10,11,12,8,7\}$, или $F_2 = \{10,11,12,15,14\}$, или $F_2 = \{10,11,12,15,16\}$.
13. b) $F_2 = \{6,7,5,2,10\}$ или $F_2 = \{6,7,8,11,3\}$.
14. a) На какие бы точки фигуры $F_2$ мы ни отображали точки 1 и 5, расстояние $|15|$ не сохраняется.
15. Допустим, что граница квадрата отображения на окружность с сохранением расстояний. Наноблее удаленные точки окружности — диаметрально противоположные. Следовательно, для $2r$ диаметра окружности должны быть равна диаметрально квадрата. Но на границе квадрата существует только две пары точек, находящихся друг от друга на расстоянии $2r$, они отображаются на две пары диаметрально противоположных точек окружности, а на окружности существуют бесконечное множество пар диаметрально противоположных точек. На границе квадрата таких пар больше нет, т. е. на других диаметрально противоположные точки окружности никакая пара точек границы квадрата отображается не может. Значит, отображить границы квадрата на ок-