Складывание фигур

15

В. Ярмоленко

Складывание фигур

Будем рассматривать плоские фигуры, ограниченные замкнутой линейей, не имеющей самопересечений.

В этой статье конгрузительные фигуры отложены юстия (не различаются), т. е. множество фигур, конгрузных данных фигуре, считается одной фигурой. Для классов конгрузных между собой фигур можно было бы ввести какой-нибудь новый термин, например назвать такие классы «абстрактными фигурами». Однако, поскольку в статье будут рассматривать только «абстрактные фигуры», мы будем их назвать просто фигурами. Обозначим множество рассматриваемых фигур через Г. Таким образом, в Г входитрово один треугольник со стороны 3, 4 и 5 (ведь все такие треугольники конгрузны!).ровно один круг радиуса 17 и т. д.

Если фигур A имеет ось симметрины, то эта ось разбивает фигур на две конгрузные части. Наозвем каждую из этих частей результатом складывания фигуры A (по рассматриваемой оси). Результат складывания может в свою очередь иметь ось симметрины. Таким образом, исходная фигур может, вообще говоря, допускать многократное складивание.

Существуют фигуры, допускающие бесконечное складивание. Таким фигурами является, например, круг, сектор круга, круговая трапеция (фигура, ограниченная дугами концентри-

ческих окружностей и соответствующими отрезками радиусов), равноведенный прямогольный треугольник и прямогольник. В прочеем, слово «например» является в предыдущей фразе излишим: можно доказать, что других фигур, допускающих бесконечное складивание, в Г нет (бесконечная полоса, ограниченная параллельными прямыми, не входит в Г!).

Обозначим через Aᵇ множество всех фигур, либо конгрузных фигур A, либо получающихся из фигур A в результате одного или нескольких складываний.

Если фигур A не имеет оси симметрины, то множество Aᵇ состоит из самого кругга A и его секторов с центральными углами $\frac{2\pi}{2n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Если A — ромб, не являющийся квадратом, то Aᵇ состоит из четырех фигур. На рисунке 1 изображено это множество; стрелками указаны порядок складывания. Результаты складывания фигур B и D совпадают. Затемим каждую из фигур множества Aᵇ точкой, обозначенной той же буквой, что и сама фигур. Точку, соответствующую фигуре, содержимым отрезком с точкой, соответствующей результату складывания этой фигуры, причем первую точку помещим выше второй. На рисунке 2 изображена полученная диаграмма.

Подобную диаграмму складывания можно построить для любой фигуры. Диаграмма складывания делается наглядной «степень симметриности» фигуры.

На рисунке 3 изображены фигур A и ее диаграмма складывания. В результате складывания фигур A могут быть получены две неконгрузные фигуры B и K; поэтому на диаграмме складывания из точки A исходят два отрезка. В результате складывания неконгрузных фигур C и L получается фигур D; поэтому на диаграмме складывания отрезки

18

из точек $C$ и $L$ входят в точку $D$.

На рисунке 4 изображены еще одна фигура $A$ и ее диаграмма складывания.

Поставим теперь обратную задачу: дана диаграмма (вроде тех, которые изображены на рисунках 2—4; мы не уточняем понятия диаграммы); найти фигуру, диаграммой складывания которого будет данная диаграмма.

Для решения таких задач полезно ввести понятие раскладывания: называем фигуру $A$ результатом раскладывания фигуры $B$ по прямой $l$, если фигура $B$ является результатомскладывания фигуры $A$ по этой прямой.

Построение фигуры $A$ по диаграмме рисунка 3 можно осуществить раскладыванием прямого треугольника $F$ с острым углом $22,5^\circ$ последовательно по соответствующим прямым в фигуры $E, D, C, B, A$. Фигуру $A$ из треугольника $F$ можно получить еще двумя «цепочками раскладываний» (см. диаграмму).

Для диаграммы, изображенной на рисунке 5, аналогичная задача решения следующим образом (сделайте чертеж!). Возьмем в качестве $B_0$ разносторонний выпуклый четырехугольник $MNPQ$, у которого $\hat{M} = \frac{\pi}{2m-1}$, $\hat{N} = \frac{\pi}{2}$, $Q < \frac{\pi}{2}$; разложим его последовательно $m$ раз по прямым $c_1 \supset MN, c_2, \dots, c_m$, проходящим через $M$, в фигуры $B_1, B_2, \dots, B_m$; фигура $B_m = C_1$ — выпуклый многоугольник с центром симметрии $M$, противоположные стороны которого параллельны. Разложим теперь $C_1$ последовательно $n$ раз по параллельным прямым $a_1 \perp c_1, a_2, \dots, a_n$ в фигуры $C_2, C_3, \dots, C_{n+1}$. В многоугольнике $C_{n+1} = D_1$ фиксируем такие соедние стороны $l, l_1$, что $l \perp c_1$; разложим его последовательно $k-1$ раз по параллельным прямым $b_1 \supset l_1, b_2, \dots, b_{k-1}$ (такие прямые найдет, так как сторона $l_1$ многоугольника $D_1$ параллельна его противоположной стороне) в фигуры $D_2, D_3, \dots, D_h$. Многоугольник $D_h = A$ — исключый.

Для каждой конкретной «обратной задачи» трудность состоит в нахождения начальной фигуры для раскладывания.

Задание

1. Докажите, что треугольник только тогда допускает бесконечное складывание, когда он — равнобедренный прямогольный.
2. Докажите, что четырехугольник только тогда допускает бесконечное складывание, когда он — прямогольный. При $n > 4$ всякое складывание $n$-угольника приводит к многоугольнику с меньшим числом сторон.
3. Построите диаграммы складывания круга, сектора круга, круговой трапеци и равнобедренного прямогольного треугольника.
4. Построите диаграмму складывания прямогольника, если отношение длины его стороны: а) равно $2^i$ ($i=0, 1, 2, 3, \dots$); б) не равно $2^i$.
5. Построите диаграммы складывания фигуру, изображенных на рисунке 6.
6. Докажите, что любой треугольник допускает бесконечное складывание.
7. Найдите фигуры, диаграммы складывания которых имеют вид, указанный на рисунках 7 и 8.