Теоремы Чевы и Менелая

22

Геометрия начинается с треугольника. Взяв школьный учебник по геометрии, мы увидим, что первый содержательные теоремы касаются именно треугольника. Все предыдущие — лишь аксиомы, определяния или простейшие из них следствия. На заре своего возникновения планиет по существу и была «геометрией треугольника».

«Геометрия треугольника» может гордиться теоремии, носящими имена Эйлера, Торичелли, Лейбница. На рубеже XIX—XX веков благодара большому количеству работ посвященных треугольнику, образовался даже целый раздел планиетрики, называемый «Новой геометрией треугольника». Многие из этих работ сейчас выглядят малоперечисленные, несовершенные; используетая в них терминология полузабита и встречается разве что в энциклопедиях. Однако некоторые теоремы «Новой геометрии» продолжают жить и по сейчас день. О двух таких теоремах — Чевы и Менелая — расссказывается в этой статье *).

Теоремы Чевы и Менелая можно назвать «двойственными» теоремии: они похоже формулируются (причем каждая теорема выступает как бы в двух областях) и доказывается, они взаимозаменены при решении задач. Теоремы Чевы и Менелая оказываются особенно полезными в тех случаях, когда нужно «выяснить отношения» между точками и прямыми, — например, доказать, что какие-то три прямые пересекаются в одной точке, три точки лежат на одной прямой и т. п.

*) Желающий познакомиться с геометрией треугольника более подробно мы отсылаем к книге С. И. Зетеля «Новая геометрия треугольника» (М., Учпедгиз, 1962).

24

Рис. 2.

Доказательство. Сначала проверим, что $R$ и $R^*$ одного знака. Легко убедиться, что изменение направления одного из векторов $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ не изменит величины $R^*$ ($\omega, \omega_1$), поэтому можно выбрать направление каждого из них определенным образом; например, можно считать векторы $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ совпадающими по направлению с векторами $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}$ и $\overrightarrow{CC_1}$ (рис. 2). В этом случае каждая из трех дробей, входящих в выражение $R(\Delta, \Delta_1)$, имеет тот же знак, что и соответствующая дробь, входящая в выражение $R^*$ ($\omega, \omega_1$). Например, дроби

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}} \right\} \text{ и } \frac{\sin \theta (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c_1})}{\sin \theta (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{c_1})}$$

будут положительные, если точка $C_1$ расположена между точками $A$ и $B$, и отпечатны в противоположном случае (рис. 3 и 2).

Осталось доказать, что $|R(\Delta, \Delta_1)| = |R^*(\omega, \omega_1)|$. Имеем

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}} \right\} = \frac{S_{\Delta ACC_1}}{S_{\Delta BCC_1}} = \frac{1/2 |AC| \cdot |CC_1| \cdot |\sin \theta (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c_1})|}{1/2 |BC| \cdot |CC_1| \cdot |\sin \theta (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{c_1})|} = \times \frac{|AC|}{|BC|} \cdot \frac{|\sin \theta (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c_1})|}{|\sin \theta (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{c_1})|},$$

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}} \right\} = \frac{|AB|}{|AC|} \cdot \frac{\sin \theta (\overrightarrow{c}, \overrightarrow{a_1})|}{|\sin \theta (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a_1})|},$$

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}} \right\} = \frac{|BC|}{|AB|} \cdot \frac{\sin \theta (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b_1})|}{|\sin \theta (\overrightarrow{c}, \overrightarrow{b_1})|}.$$

Рис. 3.

Переменная эти три равенства, получим, что $|R(\Delta, \Delta_1)| = |R^*(\omega, \omega_1)|$. Лемма доказана.

В дальнейшем нам понадобится равенство, неосредственно вытекающее из определения $R^*(\omega, \omega_1)$:

$$R^*(\omega, \omega_1) = \frac{1}{R^*(\omega_1, \omega)}. \tag{4}$$

Сформулируем теперь теоремы Чевы и Менелая.

Теорема Чевы. Для того чтобы прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполлялось равенство

$$R(\Delta, \Delta_1) = 1, \tag{5}$$

или эквивалентное ему равенство

$$R^*(\omega, \omega_1) = 1. \tag{5'}$$

Теорема Менелая. Для того чтобы точки $A_1, B_1, C_1$ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполлялось равенство

$$R(\Delta, \Delta_1) = -1, \tag{6}$$

или эквивалентное ему равенство

$$R^*(\omega, \omega_1) = -1. \tag{6'}$$

Доказательство теоремы Чевы

Необходимость. Пусть прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке. Доказем, что выполляются условия (5) и (5’).

*) Выражение $R^*(\omega_1, \omega)$ получается из выражения $R^*(\omega, \omega_1)$ взаимной векторов $a$ и $a_1$, $b$ и $b_1$, $c$ и $c_1$.

25

Рис. 4a.

Заметим, что если прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, то либо все три точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах треугольника $ABC$, либо же одна из точек лежит на стороне треугольника, а две другие — на продолжениях соответствующих сторонах. В первом случае все другие, входящие в выражение $R(\Delta, \Delta_1)$, положительные, а во втором случае одна из трех дробей, входящие в $R(\Delta, \Delta_1)$, положительная, а две другие — отрицательные, так что снова выражение $R(\Delta, \Delta_1)$ (а следовательно, и $R^*(\omega, \omega_1)$ — см. лемму) больше нуля. Докажем теперь, что $|R^*(\omega, \omega_1)| = 1$ (так как $R^*(\omega, \omega_1) > 0$, из этого будет следовать, что $R^*(\omega, \omega_1)$ равно единице). Обозначим точку пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ через $D$ (рис. 4a). Применяя теорему синусов, получим

$$\frac{\sin \theta \vec{b}, \vec{c}_1}{\sin \theta \vec{b}, \vec{a}_1} = \frac{|DA|}{|DC|},$$

$$\frac{\sin \theta \vec{c}, \vec{a}_1}{\sin \theta \vec{c}, \vec{b}_1} = \frac{|DB|}{|DA|},$$

$$\frac{\sin \theta \vec{a}, \vec{b}_1}{\sin \theta \vec{a}, \vec{c}_1} = \frac{|DC|}{|DB|}.$$

Переменная эти равенства, видим, что $|R^*(\omega, \omega_1)| = 1$. Тем самым необходимость доказана.

Достаточноств. Доказательство достаточно проверен методом

Рис. 46.

«от противного». Допустим, что $R(\Delta, \Delta_1) (= R(\omega, \omega_1)) = 1$, но прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ не проходят через одну точку (рис. 46). Обозначим точку пересечения прямых $AA_1$ и $BB_1$ через $D_1$, а через $C'_1$ — точку пересечения прямых $AB$ и $CD_1$. Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке,

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{AC}_1}{\overrightarrow{C'_1}B} \right\} \cdot \left\{ \frac{\overrightarrow{BA}_1}{\overrightarrow{A_1}C} \right\} \cdot \left\{ \frac{\overrightarrow{CB}_1}{\overrightarrow{B_1}A} \right\} = 1.$$

Но по условиям

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{AC}_1}{\overrightarrow{CB}_1} \right\} \cdot \left\{ \frac{\overrightarrow{BA}_1}{\overrightarrow{A_1}C} \right\} \cdot \left\{ \frac{\overrightarrow{CB}_1}{\overrightarrow{B_1}A} \right\} = 1,$$

откуда

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{AC}_1}{\overrightarrow{CB}_1} \right\} = \left\{ \frac{\overrightarrow{AC}_1}{\overrightarrow{CB}_1} \right\}.$$

Так как и точка $C_1$, и точка $C'_1$ лежат на прямой $AB$, из этого следует, что точки $C_1$ и $C'_1$ совпадают. Теорема Чевы доказана.

Доказательство теоремы Менелая

Необходимость. Известно, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Нужно доказать равенства (6) и (6′).

Снова заметим, что если точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, то либо все они находится на продолжениях $BC$, $AC$ и $AB$ сторона треугольника.

26

Рис. 5.

ника $ABC$, либо же две из точек $A_1, B_1, C_1$ находится на соответствующих сторонах, а третья — на продолжении. В обих случаях выражение $R(\Delta, \Delta_1)$ будет отрицательным (убедитесь в этом). Докажем теперь, что если точки $A_1, B_1, C_1$ — на одной прямой, то $|R(\Delta, \Delta_1)| = 1$ (поскольку $R(\Delta, \Delta_1) < 0$, из этого будет следовать, что $R(\Delta, \Delta_1) = -1$).

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, и обозначим точку ее пересечения с прямой $B_1A_1C_1$ через $D$ (рис. 5).

Используя подобие, легко получить

$$\left\{ \frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_1B}} \right\} = \frac{|B_1C|}{|BD|}, \quad \left\{ \frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{C_1A}} \right\} = \frac{|BD|}{|AB_1|}.$$

Добавив очередное равенство $$\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_1C}} = \frac{|AB_1|}{|B_1C|}$$ и переменный все три равенства, получим, что $|R(\Delta, \Delta_1)| = 1$. Необходимость условия теоремы Менелая доказана.

Докажательство достаточно условий (6) и (6’) теоремы Менелая проводится аналогично доказательству достаточности условий (5) и (5’) теоремы Чевы.

Неколько следствует

Введение в формулировки теорем Чевы и Менелая двух эквивалентных условий (5) и (5’), (6) и (6’) сделано не только для облегчения доказа-

тельства этих теорем. В одной задачах оказывается удобным использовать одно из условий, в других — другой. Убедитесь в этом, попробав самостояльно доказать следующее утверждение.

Утверждение 1. Если три прямые, проходящие через вершины треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, им симметричные относительно соответствующих биссертрис треугольника, также пересекаются в одной точке. Если же три прямые пересекаются противооположные стороны треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой, то и прямые, им симметричные относительно соответствующих биссертрис, также пересекаются противооположные стороны треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой.

Если мы вспомним про равенство (4), то легко доказем.

Утверждение 2. Если три прямые, проходящие через вершины А, В и С треугольника ABC параллельно сторонам $B_1C_1, A_1C_1$ и $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$, пересекаются в одной точке, то и прямые, проходящие через вершины А, $B_1$ и $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ параллельно сторонам BC, AC и AB треугольника ABC, также пересекаются в одной точке. Если же прямые пересекаются соответствующие стороны треугольника ABC в трех точках, расположенных на одной прямой, то это самое имеем место и для прямых, проходящих через вершины треугольника $A_1B_1C_1$ параллельно BC, AC и AB (рис. 6, 7).

Докажите самостояльно также

Утверждение 3. Если прямые, проходящие через вершины А, В и С треугольника ABC перпендикулярно сторонам $B_1C_1, A_1C_1$ и $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$, пересекаются в одной точке, то и перпендикулярны, опущенные из вершины А, $B_1$ и $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ на прямые BC, AC и AB, также

27

пересекаются в одной точке. Если же первая точка прямых пересекает соответствующей стороны треугольника ABC в трех точках, расположенных на одной прямой, то и прямые, проходящие через вершины треугольника $A_1B_1C_1$ перепендикулярно сторонам треугольника ABC, пересекают соответствующей стороны треугольника $A_1B_1C_1$ в трех точках, расположенных на одной прямой (рис. 8, 9).

Приведем еще два примера использования стороны треугольника $A_1B_1C_1$ перепендикулярно сторонам треугольника ABC, пересекают соответствующей стороны треугольника $A_1B_1C_1$ в трех точках, расположенных на одной прямой.

Доказательство. Обозначим точки пересечения прямых, о которых говорится в условиям буквами K, L и M соответственно. Будем считать, что прямые $A_1A_2$ и $A_4A_5$ $A_2A_3$ и $A_5A_6$ $A_3A_4$ и $A_6A_1$ лежат на одной прямой.

Доказательство. Обозначим точки пересечения прямых, о которых говорится в условиям буквами K, L и M соответственно. Будем считать, что прямые $A_1A_2$ и $A_4A_5$ $A_2A_3$ и $A_5A_6$ $A_3A_4$ и $A_6A_1$ лежат на одной прямой.

Составим следующую таблицу:

| A | K | $A_1$ | $A_2$ | B |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| B | $A_4$ | M | $A_3$ | C |
| C | $A_5$ | $A_6$ | L | A |

Буквы, стоящие в каждой строке и каждой столбце этой таблицы, соответствуют точкам, расположенным на одной прямой.

Поскольку точки K, $A_4$ и $A_5$ лежат на одной прямой и на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, должны выполнять условия (6), а именно:

$$\begin{align*} \frac{\overrightarrow{AK}}{\overrightarrow{KB}} &\cdot \frac{\overrightarrow{BA}_4}{\overrightarrow{A}_4C} \cdot \frac{\overrightarrow{CA}_5}{\overrightarrow{A}_5A} = -1. \end{align*}$$

Аналогично

$$\begin{align*} \frac{\overrightarrow{AA}_1}{\overrightarrow{A}_1B} &\cdot \frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{MC}} \cdot \frac{\overrightarrow{CA}_6}{\overrightarrow{A}_6A} = 1, \end{align*}$$

28

Поскольку точки $A_1, A_2, A_5$ и $A_6$ лежат на одной окружности и точка $A$ — точка пересечения прямых $A_1A_2$ и $A_5A_6$, то $|AA_1| \cdot |AA_2| = |AA_5| \cdot |AA_6|$. Определим для колlinearных векторов $\overrightarrow{AA_i}$ и $\overrightarrow{AA_j}$ величины $\{\overrightarrow{AA_i} \cdot \overrightarrow{AA_j}\}$, равную произведению длины векторов $\overrightarrow{AA_i}$ и $\overrightarrow{AA_j}$, взятому со знаком «+», если векторы $\overrightarrow{AA_i}$ и $\overrightarrow{AA_j}$ соединены, и со знаком «-», если они направлены противоположно. Тогда последнее равенство в новых обозначениях мы можем переписать так:
$$\{\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{AA_2}\} = \{\overrightarrow{AA_5} \cdot \overrightarrow{AA_6}\} = \{A_5A \cdot A_6A\}.$$ (10)

Аналогично
$$\{\overrightarrow{BA_4} \cdot \overrightarrow{BA_3}\} = \{\overrightarrow{A_1B} \cdot \overrightarrow{A_2B}\},$$ (11)
$$\{\overrightarrow{CA_5} \cdot \overrightarrow{CA_6}\} = \{\overrightarrow{A_4C} \cdot \overrightarrow{A_3C}\}.$$ (12)

Переможная равенства (7) — (9) с учетом равенств (10 — (12) и того, что, согласно определению, например, $$\frac{\overrightarrow{BA_4}}{\overrightarrow{A_4C}} \cdot \frac{\overrightarrow{BA_3}}{\overrightarrow{A_3C}} = \frac{\overrightarrow{BA_4} \cdot \overrightarrow{BA_3}}{\overrightarrow{A_4C} \cdot \overrightarrow{A_3C}}$$, получаем $$\frac{\overrightarrow{AK}}{\overrightarrow{KB}} \times \times \left\{\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{MC}}\right\} \cdot \frac{\overrightarrow{CL}}{\overrightarrow{LA}} = -1$$, что по теореме

Менелая и означает принадлежность точек $K, L$ и $M$ одной прямой.

Случай, когда прямые $A_1A_2, A_3A_4$ и $A_5A_6$ пересекаются в одной точке (и тем самым не образуют треугольника $ABC$), разберете самостояльно.

На рисунках 10—12 изображены три различных случай расположения точек $A_1, ..., A_6$. Ими, конечно, не исчерпываются все возможности.

И в заключение — еще одно следствие.

Утверждение 5. Пусть из точки $A$, взятой вне окружности, проведены две касательные $AM$ и $AN$ к окружности и две секции, и пусть $P$ и $Q$ — точки пересечения окружности с первой секцией, а точки $K$

29

u L — со второй. Тогда прямы PK, QL и MN пересекаются в одной точке.

Доказательство (рис. 13).
Приименим теорему Чевы к треугольнику KLM. Заметим, что прямы PK, QL и MN пересекутся в одной точке, если выполняется равенство

$$\frac{\sin \widehat{LMN}}{\sin \widehat{NMK}} \cdot \frac{\sin \widehat{KLQ}}{\sin \widehat{QLM}} \cdot \frac{\sin \widehat{MKP}}{\sin \widehat{PKL}} = 1. \quad (13)$$

Все углы, фигурирующие в последнем выражении, — вписанные в данной окружность; синусы этих углов пропорциональны длиам стягиваемых ими хорд (так, например, sin $\widehat{LMN} = \frac{|LN|}{2R}$, где R — радиус окружности). Поэтому равенство (13) эквивалентно такому равенству:

$$\frac{|LN|}{|NK|} \cdot \frac{|KQ|}{|QM|} \cdot \frac{|MP|}{|PL|} = 1. \quad (13')$$

Покажем, что (13’) в самом деле выполняется. Из подобия треугольников AMP и AMQ получаем $\frac{|PM|}{|MQ|} = \frac{|AM|}{|AQ|}$.

Из подобия треугольников APL и AQK $$\frac{|KQ|}{|PL|} = \frac{|AQ|}{|AL|},$$ и, наконец, из подобия треугольников ALN и ANK $$\frac{|LN|}{|NK|} = \frac{|AL|}{|AM|}.$$ Перемножая последние три равенства, получаем (13).

Замечан и е. Из утверждения 5 следует, что с помощью одной линейки через данную точку вне окружности можно провести касательную. Способ построения показан на рисунке 14.

Задание

1. Докажите, что: a) биссертрисы внешних углов треугольника пересекают прямы,

Рис. 10.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.