Чему равен 0,5√4?

69

Чему равен $\sqrt[5]{4}$?

В ряде пособий по математике для поступающих и вnekотorbых других изданиях получила распространение трактовка решения одного типа уравнения, противоречающая приятому в школе определению. Мы считаем необходимым предоставить читателю отслишком доверивого отношения к ошибочным утверждениями авторов этих книг.

Рассмотрим уравнение № 7.053 из «Сборника задач по математике для конкретных экзаменов во втузы» под редакцией М. И. Сканави (М., «ВЫСША ШКОЛА», 1973):

$$\sqrt[5]{2^x \cdot \sqrt[3]{4^x \cdot \sqrt[1]{0,125}}} = 4 \cdot \sqrt[3]{2}.$$

В качестве корней этого уравнения в ответе приводятся два значения:

$$x_1 = 3, \quad x_2 = -\frac{1}{5}.$$

По-видимому, составители «Сборника» исходили из следующого решения: уравнение (1) после изложных преобразований, использующих свойства степеней и корней, переписывается в виде

$$\sqrt[5]{2^5x^2 - 3} = 2^{7/3};$$

далее имеем

$$6x \cdot \sqrt[5]{2^5x^2 - 3} = 2^{7/3},$$

откуда

$$\frac{5x^2 - 3}{6x} = 2^{7/3};$$

наконец, приравняв показатели степеня, приходим к квадратному уравнению с корнями (2).

Однако указывае решение нельзя считать исчерпывающим, поскольку формулы вычислений еще совсем не ясно, является ли на самом деле найденные значения (2) корнями исходного уравнения (1). Этот вопрос требует специальной проверки.

Прежде чем такую проверку осуществить, напомним, что в школьном курсе математики при определении выражения $n$ а (арифметическое корня $n$-й степеня из числа $a$) чемко оозаврается, что $n$ — намуральное число, большее единицы (см. «Алгебра 8» п. 24). Таким образом, с точки зрения приятого в школе определения выражения

$$0.5\sqrt[5]{4}, -\sqrt[5]{2/5}, \sqrt[5]{9}$$

так же лишены смысл, как и выражения

$$\frac{1}{0}, \sqrt{-4}, (-3)^{\sqrt{2}},$$

$$\log_2(-3), \arcsin \pi.$$

Позному числу $x$ не может быть признано корнем уравнения (1); его подстановка в левую часть уравнения дает бессмысленное выражение $-1/5\sqrt{0,125}$. Другими словами, ответ (2) неверен; на самом деле уравнение (1) имеет единственный корень $x$ 3.

Откуда же возникает в приведенном решении построенной корень? Дело в том, что уравнения (4) и (5) не равносильны: вы