Электрические мультиполи

2

Электрические мультиполи

Потенциаль электростатическое поля, создаваемого точным зарядом в какой-нибудь точке окружающей пространства, обратно пропорционален расстоянию от заряд до этой точки (смотри приложение в конце статы). Каждый бы, что и любое множество зарядов, сосредоточенных в некоторой области, вдали от этой области будет создавать потенциаль, обратно пропорциональный расстоянию. Однако такое заключение в общем случае неверно. Оказывается, что, располагая заряды в определенном порядке, можно получить потенциаль, обратно пропорциональный любой целой степени расстояния.

Для того чтобы убедиться в этом необычном свойстве, нам потребуется лишь одно математическое утверждение: если величина $|x|$ меньше единицы, то справедливо соответствие

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots$$

(1)

Это — хорошо знакомое вам выражение суммы бесконечного убывающей геометрической прогрессии.

Перейдем к рассмотрению различных систем электростатических зарядов. На расстоянии $r$ от точного заряда $q$ величина потенциаль, ф, создаваемого этим зарядом, обратно пропорционально расстоянию: $\varphi = \frac{kq}{\varepsilon r}$. Козффициент пропорционального $k$ зависит сит от выбор системы единиц. В СИ $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. Нам будет удобнее выбрать систему единиц, в котором $k = 1$ (система СГСЭ). Кроме того, будем считать, что все заряды находятся в вакууме, то есть $\varepsilon = 1$.

Рассмотрим, например, три заряда, расположенные на одной прямой на некотором расстоянии друг от друга (рис. 1). Пусть $AB = a$, $AC = b$, а величины зарядов равны $q$, $nq$ и $mq$, где $n$ и $m$ — некоторые числа. Найдем потенциаль в точке $D$, лежащей на продолжении отрезка $AC$ на расстоянии $r$ от точки $A$ и находящейся достаточно далеко от всех трех зарядов. Математически последнее условие можно записать в виде $r \gg a + b$. Согласно принципу суперпозициии электрических полей потенциаль $φ$ в точке $D$ равен алгебраической сумме потенциальов полей, создаваемых каждым зарядом:

$$\varphi = \frac{q}{r} + \frac{nq}{r-a} + \frac{mq}{r-b} = \frac{q}{r} \left( 1 + \frac{n}{1-a} + \frac{m}{1-b} \right).$$

Так как нас интересует лишь случай $r \gg a + b$, то можно воспользоваться соответствием (1). При этом получим

$$\varphi = \frac{q}{r} \left[ 1 + n \left( 1 + \frac{a}{r} + \frac{a^2}{r^2} \right) + \frac{a^3}{r^3} + \dots \right] + m \left( 1 + \frac{b}{r} + \frac{b^2}{r^2} + \frac{b^3}{r^3} + \dots \right) = \frac{q + nq + mq}{r} + q \frac{na^2 + mb^2}{r^3} + q \frac{na^3 + mb^3}{r^4} + \dots.$$

Из этого выражения видно, что для больших расстояний $r$ абсолотная величина каждого последующего слагаемого значительного меньше, чем предыдущего, если только числитель предыдущего слагаемого не равен нулю. Например, если сумма зарядов не

4

к прежнему $2^n$-полю добавить такой же $2^n$-поль, но только симметрично сдивнуть на некоторое расстояние и к тому же с противоположными по знаку зарядами. Получится система, состоящая, как принято говорить, из двух противоположных $2^n$-полей. Эта новая система образует мультиполь $(n+1)$-го порядка $(2^{n+1}-поль)$.

Рассмотрим несколько примеров.

Точчный заряд — $q$ — мультиполь нульового порядка. Образуем из него мультиполь первого порядка $(2$-поль), который принято назвать диполем. Сдивнем точный заряд — $q$ на расстояние $l$ и изменим знак заряд. При этом получим диполь, изображенный на рисунке 2. Его принято характеризовать так называемым диполным моментом $d = ql$; вектор $l$ направлен от отрицательного зарядка к положительнойому, а его длина равна расстоянию между зарядами.

Вычислим потенциал $\varphi_1$, создаваемый полем диполя в удаленной точке $D$, лежащей на продолжении линии, соединяющей заряды $(AD = r \gg l)$:

$$\varphi_1 = \frac{-q}{r} + \frac{q}{r-l} = \frac{q}{r} \left( -1 + \frac{1}{1-l} \right).$$

Приемя соответствие (1), получим главную часть потенциала, создаваемого диполем:

$$\varphi_{\text{BN}} = \frac{ql}{r^2} = \frac{d}{r^2}.$$

Если точка наблюдается не лежит на линии, соединяющей заряды, то ее положение можно охарактеризовать двумя координатами: расстоянием до одного из зарядов и, например, углом между диполным моментом

$$\text{Рис. 2.}$$

Рис. 3.

том и радиусом-вектором, проведенным от положительного*) заряд в точку наблюдается.

На рисунке 2 точка $C$ характеризуется координатами $\rho = BC$ и углом $\theta$. В этом случае расчет потенциала несколько усложняется. Приведем лишь результат:

$$\varphi_1 = \frac{d \cos \theta}{\rho^2}.$$

Чтобы из диполя — мультиполь первого порядка — образовать мультиполь второго порядка $(2^2$-поль, чаще его называют квадратулем), надо к прежнему диполю добавить такой же диполь, смешенный на некоторое расстояние и изменить в нем знаки зарядов на противоположные. Сделаем это так, как показано на рисунке 3, $a$: сметим диполь на величины его длины $l$. (Смешение можно выполнить и на меньше расстояние. В этом случае расчета будут несколько длинее.)

Если заряды мультипольные на одной оси, то мультиполь называют аксильным. На рисунке 3, $b$ изображен аксильный квадратул, получающийся из системы зарядов рисунка 3, $a$, а на рисунке 3, $b$ общий случай квадратул — заряды равной величины и противоположных знаков симметрично расположены в вершинах параллелограмма. Потенциаль квадратул $\varphi_2$,

*) В силу того, что $r \gg l$, результат не изменится, если радиус-вектор проводится от отрицательного заряда.

5

Рис. 4.

согласно формуле (4), должен быть пропорционален $1/r^3$. Следовательно, в разложении (1) достаточно учеть члены суммы лишь до $x^2$.

Определим коэффициент пропорциональности $C_2$ для аксильного квадраполя, изобразенного на рисунке 3, 6. Расчет выполним для удаленной точки $D$, лежащей на оси квадраполя:

$$\varphi_2 = \frac{q}{r} + \frac{(-2q)}{r-l} + \frac{q}{r-2l} \approx \frac{q}{r} \left[ 1 - 2 \left( 1 + \frac{l}{r} + \frac{l^2}{r^2} \right) + \left( 1 + \frac{2l}{r} + \frac{4l^2}{r^2} \right) \right] = \frac{2ql^2}{r^3}.$$

Образуем теперь мультиполь третьсяго порядка, называемый общно октуполем, так как в общем случае в него входит 8 одинаковых по величине зарядов. Для этого дополнительный квадраполь (рис. 3, 6) симметричный аксильным квадраполем так, как показано на рисунке 4, $a$. При этом получим аксильный октуполь (рис. 4, 6). В общем случае из квадраполя (рис. 3, 6) получается октуполь, изобразенный на рисунке 4, $\theta$, заряды которого расположены в вершинах параллелепипеда. Потенциаль электростатическое поля октуполя $\varphi_3$, согласно формуле (4), должен быть пропорционален $1/r^4$. Определим потенциаль, создаваемый полем аксильного октуполя в точке $D$:

$$\varphi_3 = \frac{q}{r} + \frac{(-3q)}{r-l} + \frac{3q}{r-2l} + \frac{(-q)}{r-3l} \approx \frac{q}{r} \left[ 1 - 3 \left( 1 + \frac{l}{r} + \frac{l^2}{r^2} + \frac{l^3}{r^3} \right) + 3 \left( 1 + \frac{2l}{r} + \frac{4l^2}{r^2} + \frac{8l^3}{r^3} \right) - \left( 1 + \frac{3l}{r} + \frac{9l^2}{r^2} + \frac{27l^3}{r^3} \right) \right] = -\frac{6ql^3}{r^4}.$$

Аналогичным образом вычисляется поля мультиполей более высоких порядков.

Вдалки от любой системы электрических зарядов поле этой системы можно представить как результат сложения полей мультиполей различных порядков. Чем выше порядок мультиполя, соответствующего расстматриваемой системе зарядов, тем в целом нейтральное система, тем быстрое уменшается поле при удалении от зарядов.

Мы рассмотрели потенциальы электростатических полей, создаваемых аксильными мультиполями на их оси. Вычисление потенциаль в произвольной точке пространства произвольется таким же образом, но расчеты становятся более громоздкими. Если известен вид потенциальы мультиполя $\varphi_n = C_n/r^{n+1}$, то однозначно определяется значение напряженности электрического поля $E$, а следовательно, и силы $F = qE$, действующей со стороны мультиполя на заряд $q$ (смотри § 76 в учебном пособии «Физика-9»). Если $n \geq 0$ (что верно для любого мультиполя), то

$$E \sim \frac{1}{r^{n+2}}.$$

Опуска математические подробности, рассмотрим картины силовых линейдиполя и аксильного квадраполя, представленные на рисунках 5, $a$ и 5, $\theta$. На рисунке 5, $a$ изображено поле диполя. Полная напряжение электрического поля $E$ в каждой точке получается путем геометрического сложения поля положительного заряда $E_+$ с полем отрицательного заряда $E_-: E = E_+ + E_-$.

6

Рис. 5.

На рисунке эти векторы показаны в одной из точек пространства. Аналогичная картина изображена на рисунке 5, б для аксильного квадратуоля. В каждой точке пространства полное поле Е есть результат суммирования трех векторов: двух векторов направности $E_+$ полей, созданных положительными зарядами, и одного вектора направности $E_-$ поля, созданного отрицательным зарядом, величины которого равна сумме положительных зарядов. Полная картина распределения силовых линей электрического поля в пространстве для диполя и квадратуоля получится, если рисунки 5 выражать векруг соответствующих осей симметрии.

Кроме электрических можно рассмотреть также и магнитные мультимолы — системы, состоящие из магнитов или замкнутых токов. Единственное отличие состоит в том, что отдельные магнитные заряды до сих пор не обнаружены, поэтому рассмотрение надо начинать сразу с магнитного диполя. На рисунке 5, в показаны линей индукции магнитного диполя, образованного круговым током $I$, плоскость которого перепendlулярна плоскости рисунка. На больших расстояниях от диполе рисунки 5, а и 5, в имеют одинаковый вид.

Сходство магнитного диполя с электрическим можно проиллюстрировать еще одним примером. Магнитная стрелка компас — магнитный диполь — ориентируется вдоль линей магнитной индикции. Аналогично в электрическом поле ведет себя и электрический диполь: он также устанавливается вдоль силовых линей, то есть является своеобразным «электрическим компасом» (рис. 6).

Примерами электрических мультимолей могут служить atoms и molecules. Если при образованнии molecules в результате перераспределения электронов между atomами центры распределения положительных и отрицательных зарядов в ней не совпадает, то molecules обладают собственным дипольным моментом и называется полярной. Молекули соляной кислоты и воды — полярные (рис. 7). Если в молекULE положительные и отрицательные заряды развинуты на расстояние порядка радиуса atoma водорода ($l = 0,5 \times 10^{-8} \text{ cm}$), то дипольный момент молекули должны быть порядка $d = el^*$), то есть $d \approx 2,4 \cdot 10^{-18} \text{ cm} \times \text{ед. заряд} \text{ СГСЭ.}$ По порядку величины этого согласно с опытными данными, приведенными на рисунке 7. Если же молекula состоит из одинаковых atoms ($O_2, H_2, Cl_2$), то электроны, образно говора, «не знают», какой atom выбрать и расположится в молекULE более равномерно, что приводит к нулевому значению

*) Заряд электрона $e = 4,8 \cdot 10^{-10} \text{ ed. заряд} \text{ СГСЭ.}$

7

Рис. 6.

нию дипольного момента молекулы. Такие молекулы называют неполярными. На рисунке 7 показана линейная молекula углекислого газа CO₂, являющаяся неполярной. Далее «внешний вид» этой молекулы называет на предмете и перераспределение электронов между atomами должно образовать из нее аксциальный квадруполь (сравните с рисунком 3, 6), а электрическое поле, создаваемое молекулой углекислого газа, должно иметь вид, представленный на рисунке 5, 6.

Более сложное распределение атомов и электронов в молекулах приводит к образованию мультиполей вычисленных порядков.

Приложение. Вычисление потенциала электрического поля, созданного точным зарядом

В учебном пособии «Физика-9» формулы для потенциала поля, созданного точным зарядом, приведены без вывода (смотри формулы (8.28) и (8.29) на стр. 144). Приведем простой вывод этих формул для выкума.

Если точный заряд q находится в точке O (рис. 8), то потенциаль φ созданного им поля в точке N на расстоянии r от заряда q равен работе A, которое совершило бы электрическое поле при перемещении единного положительного заряд из точки N в бесконечную точку, в которой φ=0. Так как работа перемещения не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, будем считать, что единный заряд перемещается вдоль силовой линии.

Подсчитаем, чем уже равна эта работа? Для этого разобем весь путь,ройденный единничным положительным зарядом, на очень малые части NN₁, N₁N₂, N₂N₃ и т. д. (см. рис. 8). На каждом из этих участков вычислим работу перемещения единчного заряд. Сумма этих работ и равна потенциалу поля в точке N по отношению к бесконечности.

Вычислим работу A₁ перемещения единного заряд из точки N в точку N₁, отсстояшую от N на очень малое расстояние (r₁−r). Как показано в учебном пособии «Физика-9» (см. формулу (8.20)), в однородном электрическом поле направленное E работа по перемещению единчного заряд численно равна

$$A = E(r₁−r).$$

Поле точного заряд, конечно, не является однородным. Его направность в точке N равна E_N = q/r², а в точке N₁E_N = q/r²!.

Какое же значение E мы должны подставить в формулу (1)? Очевидно, надо принять такое значение направности поля, которое было бы средним между этим двумя значениями. Так как r и r₁ мало отличия друг от друга, то вместе r² и r₁² в выражениях для направления E_N и E_N₁ можно взять произведение rr₁, которое немного больше, чем r²=rr, и немного меньше, чем r₁²=r₁r₁. Тогда можно считать, что на всем протяжении участка NN₁ направленное поля определяется формулой

$$E_{NN_1} = \frac{q}{rr_1}.$$

При этом работа A₁ будет численно равна

$$A_1 = \frac{q}{rr_1}(r_1−r),$$

или

$$A_1 = \frac{q}{r} - \frac{q}{r_1}.$$

Точно так же можно вычислить работу перемещения единного заряд из точки N₁ в