Bài toán độc giả của chúng tôi

Hình 10.

góc của tôi). Vì vậy, $|AD|=|AE|=m$. Tương tự, ta có thể chứng minh rằng $|BD|=|BF|=n$. Hiện nay
$$|AC|=\sqrt{|AD|\cdot|AB|}=\sqrt{m^2+mn},$$
$$|BC|=\sqrt{|BD|\cdot|AB|}=\sqrt{n^2+mn}.$$

Bài tập

1 (MIPT, 1963). Từ đỉnh của góc vuông $B$ của tam giác vuông $ABC$ chiều cao $BD$ bị bỏ qua. Chứng minh rằng độ dài của nó bằng tổng bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$, $ABD$ và $BCD$.

2 (MIPT, 1963). Tổng hai chân của một tam giác vuông là $l$ và độ dài đường cao hạ xuống tính từ đỉnh của một góc vuông là $h$. Tìm diện tích của hình tam giác.

3 (MIPT, 1971). Chu vi của một tam giác vuông $ABC$ ($\widehat C=90^\circ$) là $72\ см$ và hiệu giữa độ dài của đường trung tuyến $CK$ và chiều cao $CM$ là $7\ см$. Tìm diện tích tam giác $ABC$.

4 (MSU, Khoa Hóa học, 1973). Hình vuông $CEKM$ nội tiếp tam giác vuông $ABC$

sao cho điểm $K$ nằm trên cạnh huyền $AB$, và $E$ và $M$ - trên hai chân. Cạnh của hình vuông này liên hệ với bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $(2+\sqrt2):2$. Tìm các góc của tam giác.

5 (MSU, VMK, 1973). Trong tam giác vuông $ABC$ vẽ đường phân giác $CL$ của góc vuông. Từ đỉnh $A$ ($\widehat A>45^\circ$) đến $[CL]$ đường vuông góc $AD$ bị bỏ đi. Tìm diện tích tam giác $ABC$ nếu $|AD|=a$, $|CL|=b$.

6 (MSU, Khoa Hóa học, 1974). Trong tam giác vuông $ABC$ có góc nhọn $30^\circ$, chiều cao $CD$ được vẽ từ đỉnh của góc vuông $C$. Tìm khoảng cách giữa tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$ và $BCD$, nếu cạnh ngắn hơn của tam giác $ABC$ bằng $1$.

7 (MSU, Khoa Khoa học Đất, 1974). Trong một tam giác vuông, $ABC$ ($\widehat C=90^\circ$) $|CA|=4$. Ở bên $CB$ lấy điểm $D$ sao cho $|CD|=1$. Một đường tròn bán kính $\frac{\sqrt5}{2}$ đi qua các điểm $C$ và $D$ và chạm vào điểm $C$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm diện tích tam giác $ABC$.

8 (MSU, Khoa Kinh tế, 1974). Một hình chữ nhật $MNKB$ được nội tiếp trong một tam giác vuông cân $ABC$ ($\widehat B=90^\circ$) sao cho hai cạnh $MB$ và $KB$ của nó nằm trên hai chân và đỉnh $N$ nằm trên cạnh huyền $AC$. Điểm $N$ phải chia cạnh huyền theo tỉ lệ nào để diện tích hình chữ nhật bằng $18\%$ diện tích tam giác?

9 (NSU, 1971). Một hình tròn có bán kính $r$ nội tiếp một tam giác vuông. Bán kính của đường tròn tiếp tuyến với cạnh huyền và phần kéo dài của hai chân là $R$. Tìm độ dài của cạnh huyền.

10. Trong tam giác vuông $ABC$, chiều cao $CD$ được vẽ từ đỉnh của góc vuông $C$. Chu vi của tam giác $ADC$ là $a$ và chu vi của tam giác $BDC$ là $b$. Tìm chu vi của tam giác $ABC$.

Bài toán
của chúng tôi
độc giả

1. Chứng minh rằng
   $$1^{100}+2^{100}+3^{100}+\ldots+\ldots+999\,999^{100}$$
   chia hết cho $100\,000$.

2. Chứng minh rằng nếu $a$ là chữ số lẻ thì
   $$a^{36}-1$$
   chia hết cho $1976$.

M. Shterenberg
(Saratov)

3. Tính tổng
   $$\sum_{x=1}^{n}\frac{1}{x^3+6x^2+11x+6}.$$

S. Sefibekov
(Làng Kashkent
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Dagestan)

4. Đặt $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh của tam giác, $p$ bán chu vi của nó, $p_a=p-a$, $p_b=p-b$, $p_c=p-c$; $r_a$, $r_b$, $r_c$ là bán kính của các hình tròn. Chứng minh mối quan hệ sau đây giữa các phần tử của tam giác này:

$$\text{а) }\frac{p_a^2}{r_b r_c}+\frac{p_b^2}{r_c r_a}+\frac{p_c^2}{r_a r_b}=1;$$

$$\text{б) }\frac{p_a p_b}{r_c^2}+\frac{p_b p_c}{r_a^2}+\frac{p_c p_a}{r_b^2}=1.$$

U. Alla
(Võru, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết Estonia)

5. Giải phương trình

a) $\overline{xyz}=\overline{yz}^{\,2}$;

b) $\overline{x^y}=\overline{yx}$;

c) $x^{y+2}=\overline{yx}$.

I. Mikhalkovich
(Vùng Minsk)

54