Yếu tố tĩnh

Kvant 1976, số 12 tr. 40-49 Thẻ NN0U

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Yếu tố tĩnh

Tĩnh học nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực. Trạng thái cân bằng của một vật nên được hiểu là trạng thái mà vật không nhận gia tốc, tức là nó chuyển động đều và thẳng hoặc cụ thể là đứng yên trong hệ quy chiếu quán tính. (Trong các bài toán thực tế, hệ liên quan đến Emley được coi là quán tính.)

Những lực nào tác dụng lên vật ở trạng thái cân bằng? Trước hết, bạn cần biết lực hấp dẫn. Lực hấp dẫn tác dụng lên một vật rắn nhất định bằng một lực hấp dẫn tác dụng lên các hạt của nó. Đường tác dụng của trọng lực đi qua khối tâm của cơ thể - trọng tâm.

Hơn nữa, cơ thể còn bị ảnh hưởng bởi phản ứng của các kết nối - những lực làm cơ thể chuyển động theo một hướng nào đó. Hướng tác động của phản ứng của các liên kết ngược với hướng mà liên kết chuyển thành chuyển động của một vật thể nhất định. Phản lực của liên kết là lực đàn hồi và lực ma sát. Điều đặc biệt ở chúng là giá trị tuyệt đối của chúng, và đôi khi cả hướng của chúng, không thực sự được biết đến và phụ thuộc vào hình dạng của vật, trạng thái bề mặt, cũng như các lực khác tác dụng lên vật.

Việc xác định chính xác hướng của phản lực đóng vai trò rất quan trọng trong thống kê lời giải bài toán.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hướng phản ứng của một số loại kết nối nhất định.

Cơ thể nằm trên một bề mặt nhẵn hoặc một giá đỡ. Không có đào tạo. Khi sự tiếp xúc của vật thể với giá đỡ xảy ra tại một điểm, lực phản ứng bề mặt được tác dụng tại điểm tiếp xúc của các vật thể và hướng dọc theo pháp tuyến chung đến bề mặt của các vật thể tiếp xúc tại điểm tiếp xúc của chúng (Hình 1, a), hoặc dọc theo pháp tuyến đến bề mặt của vật thể hoặc tới bề mặt của vật đỡ (Hình 1, b). Phản ứng này được gọi là bình thường.
Giao tiếp được thực hiện bởi một sợi linh hoạt. Phản lực của ren luôn hướng dọc theo ren kể từ điểm mà sợi ren được gắn vào thân (Hình 1, θ).
Liên kết bản lề là một bản lề hình trụ trong đó trục bản lề vuông góc với mặt phẳng tác dụng của lực (Hình 1, e). Phản lực của bản lề như vậy có thể có bất kỳ hướng nào trong mặt phẳng vuông góc với trục của nó (trong mặt phẳng của hình).

Các loại kết nối được coi là lý tưởng hoặc kết nối không có ma sát.

Khi có ma sát giữa vật và bề mặt tiếp xúc, ngoài phản ứng bình thường còn sinh ra một phản lực bổ sung - lực ma sát $F_{\text{тр}}$ . Lực ma sát luôn có hướng ngược chiều với khả năng chuyển động dọc theo bề mặt của vật. Nếu vật chịu lực tác dụng kết thúc thì lực ma sát tĩnh mỗi lần có giá trị cần thiết để chống trượt. Giá trị lớn nhất của lực ma sát tĩnh được xác định từ điều kiện

$F_{\text{тр. max}} = \mu N,$

trong đó $\mu$ là hệ số ma sát và $N$ là phản lực bình thường của bề mặt. Như vậy, tùy thuộc vào các lực khác tác dụng lên vật, lực ma sát tĩnh có thể lấy mọi giá trị từ 0 đến $F_{\text{тр. max}}$ . Trong trường hợp này, tổng lực $R = F_{\text{тр.}} + N$ của phản ứng bề mặt (Hình 1, $\partial$ ) sẽ thay đổi từ giá trị $N$ đến một giá trị cực đại nhất định $R_{\text{max}}$ , được xác định bởi các điều kiện $R_{\text{max}} = N + F_{\text{тр. max}}$ . Góc $\varphi$ mà lực $R$ tạo với pháp tuyến của bề mặt, sẽ thay đổi từ 0 đến một giá trị giới hạn nhất định $\varphi_0$ , được xác định bởi các điều kiện

$\text{tg} \varphi_0 = \frac{F_{\text{тр. max}}}{N} = \mu$

(góc này gọi là góc ma sát).

Trong trạng thái tĩnh của cơ thể cứng nhắc, hai bài toán chính được xem xét:

Xác định các điều kiện để một vật dưới tác dụng của lực có thể ở trạng thái cân bằng.
Tìm các lực tác dụng lên cơ thể (trong hầu hết các trường hợp là phản ứng ghép đôi) khi cơ thể phụ thuộc vào trạng thái cân bằng.

Chúng ta sẽ hạn chế xem xét chỉ những hệ như vậy trong đó tất cả các lực tác dụng lên vật đều nằm trong một mặt phẳng - cái gọi là hệ mặt phẳng lực.

Bất kỳ chuyển động nào của vật rắn đều có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất của hai loại chuyển động - tịnh tiến và chuyển động quay (xung quanh một trục nhất định). Cơ thể sẽ đứng yên nếu không có nguyên nhân dẫn đến chuyển động tịnh tiến hoặc quay.

Khi một vật chuyển động về phía trước, chúng ta có thể xem xét chuyển động của một điểm trên vật đó—khối tâm của nó.

Nếu tổng các lực tác dụng lên vật bằng 0 thì khối tâm sẽ duy trì tốc độ không đổi, cụ thể là nó sẽ đứng yên nếu nó đứng yên. Nhưng

điều này không có nghĩa là cơ thể sẽ ở trạng thái cân bằng.

Hãy xem xét bài toán sau đây.

Bài toán 1

Đối với một khối nằm trên một mặt phẳng ngang nhẵn, hai lực tác dụng lên hai điểm của nó, có độ lớn bằng nhau và hướng ngược nhau (Hình 2). (Một hệ lực như vậy được gọi là một cặp lực.) Khối sẽ quay tới điểm nào?

Lời giải và e. Olt gợi ý rằng khối sẽ quay. Nhưng vì tổng các lực tác dụng lên vật bằng 0 nên khối tâm của nó sẽ đứng yên và một cặp lực sẽ làm cho thanh quay quanh một trục đi qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa lực.

Trong trường hợp tổng quát, khi tổng các lực tác dụng lên vật bằng 0 ( $\sum F_i = 0$ ), và các đường mà các lực tác dụng không cắt nhau tại một điểm thì khối tâm duy trì trạng thái chuyển động không đổi, cụ thể là nó sẽ kết thúc nhưng bản thân vật sẽ quay dưới tác dụng của lực đi qua khối tâm.

Để mô tả hành động quay của lực trong tĩnh học, một khái niệm mới được đưa ra - mô men lực.

Chúng ta hãy xem xét một vật rắn có khả năng quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang đi qua điểm $O$ (Hình 3). Giả sử rằng các lực $F_1, F_2, F_3, F_4$ tác dụng lên vật có đường tác dụng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Olt chứng tỏ rằng tác dụng quay của mỗi lực này không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của lực mà còn phụ thuộc vào khoảng cách từ trục đến đường tác dụng của lực. Khoảng cách này được gọi là đòn bẩy.

Momen của lực đối với trục gọi là đại lượng đại số

Hình 3.

trên, bằng tích của độ lớn absciliton của các lực và khoảng cách từ trục quay đến đường tác dụng của lực.

Trong trường hợp hệ mặt phẳng lực, thay vì mô men của lực đối với một trục vuông góc với mặt phẳng tác dụng của các lực, chúng ta có thể nói về mô men của lực đối với một điểm, nghĩa là giao điểm của trục này với mặt phẳng.

Các ngoại lực, ví dụ $F_1$ và $F_4$ trong Hình 3, có thể làm vật quay quanh một trục theo các hướng ngược nhau nên mômen lực được gán dấu “+” hoặc “-”. Người ta thường chấp nhận rằng mômen của các lực có xu hướng làm quay vật thể ngược chiều kim đồng hồ có dấu “+”, và mômen theo chiều kim đồng hồ có dấu “-” (phù hợp với các quy tắc báo cáo góc).

Mômen của một cặp lực bằng tích mô hình của một trong các lực lấy dấu tương ứng và khoảng cách giữa các đường tác dụng của các lực (cánh tay).

Chứng minh rằng mô men của một cặp lực bằng tổng mômen của các cặp lực đó đối với đường thẳng của mặt phẳng.

Một cặp lực, không làm thay đổi hành động quay của nó lên một vật rắn nhất định, có thể được truyền và quay tùy ý trong mặt phẳng tác dụng của lực.

Bằng cách đưa mô men lực vào, người ta có thể thiết lập các điều kiện cân bằng tổng quát cho một hệ lực phẳng.

Để vật ở trạng thái cân bằng, điều cần và đủ là tổng vectơ của các lực tác dụng lên vật và tổng đại số mô men của các lực này đối với bất kỳ điểm $O$ nào của mặt phẳng phải đồng thời bằng 0:

$\sum_i F_i = 0,$
$\sum_i M_O(F_i) = 0.$

Khi điều kiện đầu tiên được đáp ứng, gia tốc của khối tâm của vật bằng không; khi điều kiện thứ hai được đáp ứng, tốc độ góc quay của tất cả các điểm của vật không đổi và đặc biệt, nếu vật bị chôn vùi thì tốc độ góc của các điểm của vật đó vẫn bằng 0 *).

Vector đẳng thức (*) có thể được biểu diễn dưới dạng hai vectơ gấp:

$\sum_i F_{ix} = 0,$
$\sum_i F_{iy} = 0,$

trong đó $F_{ix}$ và $F_{iy}$ lần lượt là hình chiếu của các lực $F_i$ lên trục tọa độ $X$ và $Y$ , nằm trong mặt phẳng tác dụng của các lực.

Tại lời giải bài toán, để thu được phương trình ở dạng đơn giản nhất, nên vẽ một trong các trục tọa độ vuông góc với số lượng lực chưa biết lớn nhất có thể và xác định mômen của các lực so với điểm mà tại đó có số lượng lực chưa biết lớn nhất có thể giao nhau.

Nếu các lực tác dụng lên vật nằm trong mặt phẳng song song với nhau thì số phương trình cân bằng sẽ giảm xuống còn hai. Thật vậy, nếu chúng ta hướng một trong các trục tọa độ, ví dụ trục $X$ , theo hướng vuông góc với tác dụng của các lực, thì hình chiếu của mỗi lực lên trục này sẽ bằng 0, và vật sẽ

*) Mômen của lực trong trường hợp chuyển động quay tương tự như lực trong trường hợp chuyển động tịnh tiến. Trong quá trình chuyển động tịnh tiến, gia tốc của khối tâm tỉ lệ với lực tác dụng; trong quá trình chuyển động quay, sự thay đổi vận tốc góc trên một đơn vị thời gian - gia tốc góc - tỷ lệ thuận với mô men của lực.

Hình 4.

cân bằng nếu

$\sum_i F_{iy} = 0,$
$\sum_i M_O(F_i) = 0$

(trục $Y$ song song với trục mỏng). Bạn cũng có thể viết phương trình cân bằng của một vật mà trên đó các lực song song tác dụng theo cách khác:

$\sum_i M_A(F_i) = 0,$
$\sum_i M_B(F_i) = 0,$

trong trường hợp này, các điểm $A$ và $B$ không được nằm trên một đường thẳng song song với đường mảnh.

Đối với một vật có khả năng quay quanh một trục cố định, phương trình cân bằng duy nhất sẽ bằng 0 tổng đại số mô men của các lực tác dụng lên nó so với trục này. Quy tắc này được gọi là quy tắc của khoảnh khắc.

Vấn đề 2

Mười quả bóng được xâu thành một thanh không trọng lượng, chia thành 10 phần bằng nhau, khối lượng của chúng lần lượt bằng 1, 2, 3, …, 9, 10 $z$ sao cho tâm của chúng trùng với các điểm chia (Hình 4). Xác định vị trí thanh nằm trên giá đỡ để được cân bằng.

Lời giải. Để thỏa mãn phương trình (*) về trạng thái cân bằng của thanh, tại điểm tựa của thanh cần phải chịu tác dụng của một lực đỡ hướng lên trên và có giá trị bằng giá trị trục hoành.

$R = \sum F_i = \sum m_i g = 55 \ g \ (\delta u n).$

Để phương trình (**) cân bằng được thỏa mãn thì điểm tựa phải ở khoảng cách như vậy $x$ từ điểm $O$ que để $\sum(m_i g \cdot x_i) = -Rx = 0$ , Ở đâu $x_i$ - khoảng cách từ điểm $O$ đến một quả bóng có khối lượng $m_i$ :

$a \cdot m_1 g + 2 a \cdot m_2 g + \dots + 10 a \cdot m_{10} g = Rx.$

Từ những đẳng thức này ta tìm được
$x = \frac{385ag}{55g} = 7a,$
tức là điểm tựa trùng với tâm của quả cầu có khối lượng $m_7$ .

bài toán được xem xét về cơ bản là bài toán để xác định trọng tâm trong trường hợp sắp xếp tuyến tính các khối lượng chính xác.

Chứng minh rằng vị trí trọng tâm của một hệ gồm $n$ điểm vật chất có khối lượng $m_1, m_2, \dots, m_n$ , nằm trên cùng một đường thẳng và có tọa độ $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ tương ứng, được xác định bởi tọa độ

$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M},$

trong đó $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ là khối lượng của toàn bộ hệ.

Đối với các vật thể có kích thước rất nhỏ so với bán kính Trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên từng bộ phận riêng lẻ của vật thể có thể coi là song song với nhau và giữ nguyên giá trị không đổi đối với mỗi hạt trong bất kỳ chuyển động quay nào của vật thể. Hợp lực của mọi thành phần của lực hấp dẫn là lực hấp dẫn tác dụng lên toàn bộ vật thể. Giá trị tuyệt đối của nó bằng

$Mg = \Sigma m_i g,$
và lực này tác dụng lên khối tâm, vì mọi vật rơi tự do (chỉ dưới tác dụng của trọng lực) đều chuyển động tịnh tiến. Vì vậy, khối tâm được gọi là trọng tâm của vật.

Vì vậy, trọng tâm của vật thể thứ ba là điểm tại đó tác dụng hợp lực của lực hấp dẫn tác dụng lên các bộ phận của vật thể này.

Cần lưu ý rằng trọng tâm cũng có thể nằm ngoài ranh giới của một vật thể nhất định (ví dụ đối với một cái bình, theo một thanh mỏng, v.v.).

Tin nhắn thường giúp tìm ra trọng tâm của một cơ thể đồng nhất

Từ đây

$x = \frac{r^2 R}{2(R^2 - r^2)}$

— trọng tâm của mặt phẳng phẳng nằm ở bên trái điểm $O$ và cách nó một khoảng $\frac{r^2 R}{2(R^2 - r^2)}$ .

Bắt đầu phân tích bài toán tiếp theo, chúng tôi chỉ ra một số điều khoản bổ sung dễ chứng minh mà chúng tôi sẽ sử dụng.

Một lực tác dụng lên một vật rắn có thể được truyền dọc theo đường tác dụng của nó, trong khi mômen của nó đối với một điểm hoặc trục không thay đổi.

Nếu có một hệ lực trên vật tác dụng, các đường tác dụng của nó cắt nhau tại một điểm, thì chúng ta có thể truyền các lực dọc theo đường tác dụng của chúng đến điểm giao nhau và cộng chúng lại, sử dụng quy tắc hình bình hành. Nếu hợp lực bằng 0 và vận tốc ban đầu của vật cũng bằng 0 thì vật sẽ đứng yên.

Nếu một vật chịu tác dụng của ba lực không đều nằm trong cùng một mặt phẳng và dưới tác dụng của các lực này thì vật ở trạng thái cân bằng thì các đường tác dụng của các lực này cắt nhau tại một điểm (vị trí này được gọi là định lý ba lực).

Vấn đề 4

Khối lượng $m$ được treo bằng hai sợi dây sao cho một sợi tạo thành một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng và sợi kia chạy theo chiều ngang (Hình 6). Tìm lực căng của sợi dây.

Lời giải. Cơ thể chịu tác dụng của trọng lực $mg$ và các lực $T_1$ và $T_2$ của lực căng chỉ. Hãy chiếu các lực này lên trục tọa độ $X$ và $Y$ và viết ra các điều kiện cân bằng (xem Hình 6):

dọc theo trục $X$ —
$T_2 - T_1 \sin \alpha = 0$
dọc theo trục $Y$ —
$T_1 \cos \alpha - mg = 0$

Vấn đề 5

Khối lượng $m$ được di chuyển với tốc độ không đổi dọc theo mặt phẳng nằm ngang bằng dây cáp. Hệ số ma sát trên mặt phẳng là $\mu$ .

a) Tìm lực căng $T$ của sợi cáp nếu nó hướng một góc $\alpha$ so với đường chân trời (Hình 7).

b) Ở góc $\alpha$ lực căng trong dây cáp sẽ nhỏ nhất? Nó sẽ bằng bao nhiêu?

Hãy coi tải trọng là một điểm vật chất.

Lời giải. a) Trên tải trọng tác dụng, lực hấp dẫn là $mg$ , lực $N$ của phản lực pháp tuyến của mặt phẳng, lực căng của cáp $T$ , lực lớn nhất của cáp $F_{tp,max}$ (kể từ khi xảy ra hiện tượng trượt). Chúng ta hãy viết ra các điều kiện để tải cân bằng (xem Hình 7):

Hình 6.

Hình 7.

dọc theo trục $X$ —
$T \cos \alpha - F_{\text{тр.max}} = 0,$
(1)

dọc theo trục $Y$ —
$T \sin \alpha + N - mg = 0.$ (2)

TỪ (2) ta tìm được $N = mg - T \sin \alpha$ . Sau đó $F_{\text{тр.max}} = \mu N = \mu (mg - T \sin \alpha)$ . Thay giá trị này vào (1), chúng tôi tìm thấy
$T = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.$ (3)

Ghi chú. Với lời giải, người nộp đơn bài toán này mắc lỗi khi đếm $F_{\text{тр}} = \mu mg$ .

Từ (3) suy ra lực $T$ sẽ nhỏ nhất khi giá trị của mẫu số ( $\cos \alpha + \mu \sin \alpha$ ) là lớn nhất. Ký hiệu $\mu$ bằng $tg \varphi$ , chúng ta có thể biến đổi mẫu số như sau:
$\cos \alpha + tg \varphi \sin \alpha =$
$= \frac{1}{\cos \varphi} (\cos \alpha \cos \varphi + \sin \alpha \sin \varphi) =$
$= \frac{1}{\cos \alpha} \cos (\alpha - \varphi).$

Biểu thức này đạt cực đại ở $\alpha - \varphi = 0$ , do đó $\alpha = \varphi = \arctg \mu$ .

Xét rằng $\sin \alpha = \frac{tg \alpha}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}}$ và $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}}$ , thay giá trị tìm được $tg \alpha$ vào (3), chúng ta thu được
$T_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$

Bài toán 6

Cầu thang tựa vào tường thẳng đứng và sàn ngang (Hình 8). Trọng tâm của cầu thang nằm ở giữa chiều dài của nó. Hệ số ma sát tại các điểm $A$ và $B$ lần lượt bằng $\mu_1 = 0,5$ , $\mu_2 = 0,4$ . Xác định góc nghiêng nhỏ nhất của thang so với đường chân trời để nó có thể giữ cân bằng.

Giải phương trình (1)–(5) cùng nhau, ta thu được $\alpha_{\text{min}}$ :
$\alpha_{\text{min}} = \arctg \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2 \mu_1} = 38,6^\circ.$

bài toán tương tự có thể được giải theo cách khác - bằng đồ họa. Đầu tiên-

Hình 9.
Chúng ta hãy xây dựng đường tác dụng của các phản lực tổng hợp $R_A$ và $R_B$ tại các điểm $A$ và $B$ (Hình 9). Để làm điều này, chúng ta hãy dành góc $\varphi_1 = \arctg \frac{F_A}{N_A} = \arctg \mu_1$ (góc ma sát) từ pháp tuyến đến sàn tại điểm $A$
theo hướng ngược chiều kim đồng hồ (hướng có thể quay dưới tác dụng của lực $R_A$ ).
Góc này vuông góc với sàn tại điểm $A$ dọc theo đường tác dụng của lực $R_A$ . Theo cách tương tự, chúng ta thu được đường tác dụng của lực $R_B$ .
Vì thang ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ba lực:
$mg, R_A, R_B$ thì đường tác dụng của các lực này cắt nhau tại một điểm (điểm $C$ ). Giao điểm của các đường tác dụng của các lực $mg$ và $N_B$ được ký hiệu là $D$ . Xét tam giác BDC. Từ tam giác này ta có
$\frac{CD}{BD} = \tg \varphi_2 = \mu_2.$ (6)
Nhưng $BD = l \cos \alpha, CD = CE - DE = CE - BO$ . Từ tam giác CEA có
$CE = EA \text{ сtg} \varphi_1 = l \cos \alpha \text{ сtg} \varphi_1 = \frac{1}{\mu_1} l \cos \alpha.$
Từ tam giác BOA
$BO = 2l \sin \alpha.$

Vì vậy, $CD = \frac{1}{\mu_1} l \cos \alpha - 2l \sin \alpha$ . Thay các giá trị $CD$ và $BD$ vào (6), ta thu được
$\frac{1}{\mu_1} l \cos \alpha - 2l \sin \alpha = \mu_2,$
hoặc
$\frac{1}{\mu_1} - 2 \tg \alpha = \mu_2.$
Từ đây
$\alpha = \arctg \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2 \mu_1}.$

Tóm lại, chúng tôi khuyên bạn nên tự mình giải quyết một số bài toán.

Ở bên phải

Chứng minh rằng trọng tâm của một tam giác đồng nhất nằm tại giao điểm các đường trung tuyến của nó. (Lưu ý: Bằng chứng của định lý hình học rằng các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm có thể là phát biểu rằng đối với bất kỳ vật nào, trọng tâm là một điểm được xác định duy nhất.)
Một ống hình trụ có khối lượng $m$ và bán kính $r$ nằm trên bề mặt nhẵn của hình trụ $B$ bán kính $R$ và giữ hình trụ $B$ thăng bằng nhờ sự trợ giúp của một sợi chỉ $CD$ có chiều dài $l$ , được cố định ở điểm trên cùng (Hình 10). Độ dài của dây $AB$ nối các điểm cực trị của cung mà dây cáp tiếp xúc với đường ống bằng $b$ . Xác định lực $T$ của lực căng cáp.
Một hình trụ đơn $A$ có khối lượng $m$ và bán kính $r$ nằm trên bề mặt nhẵn của hình trụ $B$ bán kính $R$ và giữ hình trụ $B$ cân bằng với sự trợ giúp của một sợi chỉ $CD$ có chiều dài $l$ , được cố định ở điểm trên cùng (Hình 11). Xác định lực căng của ren và phản lực của mặt trụ.
Xác định độ lớn nhỏ nhất của các lực phải tác dụng theo phương nằm ngang lên mặt trên của khối hộp khối có khối lượng $m$ để làm nghiêng nó dọc theo mặt phẳng nằm ngang. Lực ép lên điểm dừng $A$ (Hình 12) khi bắt đầu rẽ là bao nhiêu?
Trên một mặt phẳng nghiêng tạo thành một góc $\alpha$ với đường chân trời, đặt một vật có khối lượng $m$ . Xác định lực nhỏ nhất $F_{\min}$ tác dụng lên vật để đưa nó lên trên và góc $\beta$ mà lực này phải tạo với mặt phẳng nếu hệ số ma sát là $\mu$ . Lực ép $F_{\text{давл}}$ của vật trên mặt phẳng sẽ là bao nhiêu?

Một quả cầu nhẵn có bán kính $r$ và khối lượng $m$ nằm trên sàn nằm ngang, chạm vào bức tường thẳng đứng. Khối có độ cao $h$ (Hình 13) phải được ép vào nó với lực bao nhiêu $F$ để quả bóng bay lên trên sàn?
Một khung dây vuông, đã cắt một mặt, được treo như trong Hình 14. Xác định góc $\varphi$ .
Một mảnh hình vuông được cắt từ một tấm vuông đồng nhất có cạnh $a$ như trên Hình 15. Chiều dài $a_1$ của cạnh của hình vuông đã cắt phải là bao nhiêu để trọng tâm của tấm còn lại ở điểm $C$ ?
Thanh đồng nhất $OA$ bản lề tại một điểm $O$ . Tại điểm $B$ ở một khoảng cách $b$ từ điểm $O$ một tải trọng được treo vào một thanh $G$ quần chúng $m$ . Thanh được giữ thăng bằng ở vị trí nằm ngang nhờ một vật nặng $P$ , gắn vào nó bằng một sợi dây ném qua một khối (Hình 16). Khối lượng của vật nặng ở độ dài bao nhiêu $P$ có thể tối thiểu? Mật độ tuyến tính của thanh bằng $\gamma$ . Khối được coi là lý tưởng.
Một chùm đồng nhất có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ nằm trên một bức tường thẳng đứng nhẵn và một sàn ngang gồ ghề. Hệ số ma sát trên sàn là $\mu$ . Xác định góc $\alpha$ so với phương thẳng đứng thì chùm tia cân bằng. Tìm áp suất tại các điểm $A$ và $B$ ở góc lớn nhất $\alpha$ (Hình 17).
Một thanh $AB$ có chiều dài $l=2$ m và khối lượng $m=40$ kg được treo vào hai lò xo. Các lò xo ở trạng thái tự do có độ dài bằng nhau; hệ số đàn hồi của lò xo bên trái lớn gấp đôi lò xo bên phải. Xác định khối lượng của tải trọng phải đặt lên dầm tại điểm $K$ (Hình 18) để dầm nằm ngang nếu $AD=BC=30$ cm và $DK=20$ cm.
Một thanh đồng nhất có chiều dài $2l$ nằm trên mặt phẳng nằm ngang và một nửa hình trụ cố định có bán kính $r$ (Hình 2).

Trò đùa của nhà vật lý