[Gần đúng bài toán kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Đại học quốc gia Moscow. MV Lomonosov năm 1977]

52

matsini và phản hồi, áp dụng chủ yếu cho các hệ thống kỹ thuật. Đối với các hệ thống hành vi (hệ thống có hành vi), vấn đề chính là vấn đề lựa chọn lời giải. Hiện nay người ta thường chấp nhận rằng nếu không có mô tả toán học của các hệ thống như vậy thì không thể thực hiện được một chương trình, cả về mặt sinh học lẫn kinh tế. Quản lý hiện nay thiên về một môn khoa học “vật lý” hơn là vật lý. Galileo đã định nghĩa bài toán vật lý học theo cách này: “Đo lường những gì có thể đo lường được, làm cho những gì không thể đo lường được thành có thể đo lường được.” Vật lý hiện đại đã xác định và giải quyết nửa đầu của bài toán này. Trong khoa học mới - lý thuyết quản lý - cả hai mặt của chương trình đều quan trọng như nhau.

Đồng thời, các khái niệm cơ bản của ngành khoa học này nhanh chóng được toán học hóa, và trong hơn mười năm qua, những vấn đề điều khiển được toán học hóa như vậy đã xuất hiện đến mức chúng thường được xếp vào lĩnh vực toán học thuần túy: điều khiển học lý thuyết, lý thuyết thuật toán, ngôn ngữ thuật toán, lý thuyết ingr, toán học rời rạc, lý thuyết hệ thống, v.v.

Khi chọn một chuyên ngành, bạn thường tập trung vào những ngành khoa học mà cho đến nay đã có được những ngành khoa học dễ tiếp cận nhất. Vật lý là một trong những môn khoa học như vậy. Tuy nhiên, chúng ta hãy nhớ rằng bài toán giải phóng năng lượng nguyên tử đã được hình thành từ những năm 20. Những người vào khoa vật lý thời đó đã giải được bài toán này vào những năm 40, 50. Và chỉ sau đó báo chí mới bắt đầu bàn tán về nó, và các ứng viên đổ xô vào khoa vật lý.

Và Max Planck mơ ước cống hiến hết mình cho toán kinh tế, nhưng nhận ra rằng kinh tế học là một môn khoa học quá phức tạp đối với thời đại của ông, và chỉ khi đó ông mới quyết định theo học vật lý lý thuyết.

Hiện nay, quản lý như một môn khoa học chính xác mới chỉ mới nổi lên. Cô ấy cần Galileo, Newton, Einstein và Plancks. Họ sẽ là những người hiện đang giảng dạy môn khoa học này. Rất có thể trong tương lai họ sẽ có thể nói theo lời của Dirac: “Tôi biết ơn số phận đã sinh ra đúng lúc: nếu tôi lớn hơn hoặc trẻ hơn vài tuổi, tôi đã không có được những cơ hội rực rỡ như vậy”.

Không còn nghi ngờ gì nữa, theo nghĩa này, Khoa Quản lý và Toán ứng dụng là khoa có triển vọng nhất trong số các khoa hiện có tại MIPT. Tuy nhiên, đây cũng là ngành khó học nhất. Dưới đây là chương trình giảng dạy và tải học sinh nổi tiếng nhất.

Mặt khác, trong khoa của chúng tôi, việc phát triển khả năng của học sinh là điều hữu ích nhất. Nếu bạn có tư duy kỹ thuật, bạn có thể đảm nhận các vấn đề quản lý ứng dụng; nếu là vật lý thì bằng các công thức mới, các vấn đề được hình thức hóa; nếu là toán học thì chúng ta xây dựng bằng cách chứng minh các điều khoản và giả thuyết được xây dựng ở cấp độ vật lý.

Nếu bạn nghĩ mình có thể làm được, hãy gia nhập đội ngũ giảng viên của chúng tôi!

Yu. Ivanov

Gần đúng bài toán kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học toán năm 1977

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. MV Lomonosov, giống như các trường đại học khác trong nước, sẽ tổ chức kỳ thi tuyển sinh môn toán theo hai chương trình vào năm 1977 (xem «Kvant», số 2).

bài toán được đề xuất dưới đây được coi là nhằm giúp học sinh tốt nghiệp năm 1977 theo chương trình mới, chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh môn toán tại các khoa khác nhau của Đại học quốc gia Moscow.

1. Đại số và bắt đầu phân tích

2. Tìm các khoảng xuất hiện và giảm dần, xét các cực trị và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = x^4 - 4x^2$;

b) $y = x^3 - 3x^2 + 2x$.

2. Ứng dụng của phép tính vi phân.

a) Tìm hoành độ của các điểm trên đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{2} \sin 2x - \sin x$ xác định trên đoạn [0; 2π], các tiếp tuyến của đồ thị hàm số này song song với đường thẳng $y + x - 1 = 0$.

b) Tìm góc giữa hai tiếp tuyến kẻ từ điểm (0;-1) lên đồ thị của hàm số $y = x^2$.

3. Phân công tối đa và tối thiểu.

a) Tìm điểm tới hạn và giá trị cực đại của các hàm số sau:

$y_1(x) = |x^2 - 3x + 2|$, $x \in [-5; 4]$;

$y_2(x) = |(x+1)(2x - 5)|$, $x \in [-2; 3]$.

b) Viết đường thẳng có diện tích lớn nhất trong hình bán nguyệt có bán kính đều, một cạnh nằm trên đường kính.

4. Giải phương trình

a) $\cos x - \sin x = \sqrt{1 + \sin x \cos x}$;

b) $\log_{2x^2 - 2}(3x^2 + x - 4) = \log_8 16 - \log_{27} 3$.

5. Giải bất đẳng thức

53

a) $|x^2 - 5x + 6| > \left| \frac{x}{2} - 1 \right|$;

b) $\log_8 \cos x \leq \log_{1/27} 3$;

c) $\frac{1}{\lg x} + \frac{1}{(1 - \lg x)} > 1$;

d) $\sqrt{2x + \sqrt{x^2 + 5}} \geq x + 1$.

6. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường sau:
   a) $y = x^2, x + y = 2$;
   b) $y = x, y = x + \sin^2 x, x = \pi/2 (x > 0)$.

7. Bài toán với các thông số.
   a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hàm $f(x) = x^3 - ax - 1$ có điểm cực đại $x_0$ tại đó $f(x_0) > 0$.
   b) Tại giá trị nào của tham số $a$ các tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - a^2 x$, được vẽ tại các điểm có hoành độ $x = 0$ và $x = a$, được phân phối lại?
   b) Với giá trị nào của tham số $a$, hãy giải phương trình $|x^2 - 5x + 6| = ax$.
   g) Với giá trị nào của tham số $a$ giải bất đẳng thức
   $$\frac{ax - 1}{x - a} > 1.$$

8. Hệ phương trình và bất đẳng thức.
   a) Tìm tập lời giải của hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4, \\ x + y \leq 1, \\ x - 2y \leq 2. \end{cases}$$
   b) Tìm tập lời giải của hệ phương trình
   $$\begin{cases} |xy - 4| = 8 - y^2, \\ xy = 2 + x^2. \end{cases}$$
   b) Tìm tập lời giải của hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} 6 \cdot 2^{4y} + 2^{2y} - 12 > 0, \\ 2^{2y} + 2^{y+1} - 8 < 0. \end{cases}$$

9. Hình học

10. Tại vị trí tương đối nào của các đường $p$ và $q$ thì đẳng thức $S_p S_q = S_q S_p$ được thỏa mãn, trong đó $S_p$ và $S_q$ là các phép biến đổi đối xứng đối với các đường được chỉ định.

11. Chứng minh rằng nếu $\alpha_1 + \alpha_2 = 0$ thì $R_{O_2}^{\alpha_1} R_{O_1}^{\alpha_2}$ là phép dịch song song $a$ và đối với $\alpha_1 + \alpha_2 \neq 0$ là phép quay $R_0^\alpha$. Xác định độ dài và hướng của $a$ trong trường hợp đầu tiên, $O$ và $\alpha$ trong trường hợp thứ hai.

12. Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng $OX$ và $OY$ và hai điểm $A$ và $B$ sao cho $A \in [OX), B \in [OY)$ và $|OA| = |OB|$. Đặt $l_1 = R_0^\alpha((OY))$ và $l_2 = R^{-\alpha}A((AB))$, trong đó $\alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$.

Tại các giá trị nào của $\alpha$ các đường thẳng $l_1$ và $l_2$
a) song song;
b) vuông góc?

4. Tìm diện tích tam giác $ABC$ nếu $|AC| = 3, |BC| = 4$ và các đường trung tuyến $AK$ và $BL$ vuông góc.

5. Các đường $a_1, a_2$ và $a_3$ song song và khoảng cách từ đường $a_2$ chứa $a_1$ và $a_3$ trong dải có các cạnh, đến hai đường còn lại là $b$ và $c$. Tìm độ dài cạnh của một tam giác đều có các đỉnh lần lượt nằm trên các đường thẳng $a_1, a_2$ và $a_3$.

6. Về phía $AB$ và phần kéo dài của đáy $AC$ của tam giác cân $ABC$ ta lấy các điểm $D$ và $E$ tương ứng sao cho $|AE| = |BE| = b, |BD| : |AD| = 1:3$. Tìm bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ADE$, nếu biết $|AB| = a$ và $b > a$.

7. Một tam giác đều có độ dài cạnh $a$ được quay một góc $\alpha$ ($0 \leq \alpha < 360^\circ$) quanh tâm của nó. Tìm diện tích giao điểm của hình gốc và xoay hình tam giác.

8. Bên trong tam giác đều $ABC$ lấy điểm $O$ sao cho $|OA| = \sqrt{19}, |OB| = \sqrt{13}, |OC| = \sqrt{17}$. Tính $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC}$.

9. Trong tứ diện $ABCD$ độ dài các cạnh thỏa mãn điều kiện tương ứng
   $$|AB|^2 + |DC|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 + |BC|^2.$$
   Chứng minh rằng ba cặp cạnh cắt nhau của một tứ diện vuông góc với nhau.

10. Mặt phẳng đi qua đỉnh $A$ của đường thẳng tam giác $SABC$, chia đôi đường trung tuyến $SK$ của tam giác $SAB$ và cắt đường trung bình $SL$ của tam giác $SAC$ tại một điểm $D$ sao cho $|SD| : |DL| = 1:2$. Mặt phẳng này chia thể tích của đường thẳng theo tỉ số nào?

11. Có một dòng chữ trong khối lập phương với một giàn chạm vào tất cả các mặt của khối lập phương. Tìm độ dài dây cung cắt trên giàn thẳng đi qua hai cạnh cắt nhau của hình lập phương.

12. Các điểm $P_1 \in [A_1A_4], P_2 \in [A_3A_4']$, $P_3 \in [A_1'A_2'']$ được chọn trên ba cạnh của khối lập phương $K_1 = A_1A_2A_3A_4A_1'A_2'A_3'A_4'$ sao cho
    $$|P_1A_4| : |P_1A_1| = 1:2,$$
    $$|P_2A_3| : |P_2A_3'| = 1:3,$$
    $$|P_3A_2'| : |P_3A_1'| = 1:2.$$

Khối $K_1$ được gắn bên ngoài vào khối $K_2 = B_1B_2B_3B_4B_1'B_2'B_3'B_4'$ sao cho $A_1 = B_1, A_1' \in [B_1B_1']$, $A_2 \in [B_1B_2]$ và $|A_1A_2| : |B_1B_2| = 1:3$. Mặt phẳng đi qua các điểm $P_1, P_2$ và $P_3$ chia khối lập phương $K_2$ thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của chúng.

B. Vavilov, V. Tikhomirov