Tàu giao tiếp và... phương trình

19

Bây giờ, hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình ban đầu của chúng ta. Lần đầu tiên, trạng thái cân bằng được khôi phục ở độ sâu ngâm 4 cm, lần thứ hai - ở độ sâu 5 cm và lần thứ ba - 7 cm. Xin lưu ý rằng mỗi khi qua vị trí cân bằng, độ dốc của đuôi tàu sẽ thay đổi theo hướng ngược lại. Đến độ sâu 4 cm, ách nghiêng sang trái, từ 4 đến 5 cm - sang phải, v.v.

Về nguyên tắc, nghiệm âm cũng có thể được tìm bằng phương pháp này. Để làm điều này, chỉ cần đặt $y = x - \frac{a}{3}$.

Chúng ta hãy xem xét trường hợp đặc biệt của phương trình cuối cùng, khi $p \geq 0$ và $q < 0$. Hãy thực hiện thêm một thay đổi nữa: hãy $x = y\sqrt{p}$. Chúng ta thu được một phương trình có dạng

$$y^3 + y = a,$$

ở đâu $a = \frac{-q}{p\sqrt{p}}$ ($a > 0$). Hãy tìm nghiệm dương của phương trình này.

Lấy hai bình có cùng chiều cao $h$ (xem hình): một bình có hình trụ với mặt phẳng đáy là 1 cm$^2$, bình kia hữu hạn với thể tích $h^3\left(\frac{h}{r} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)$. Hãy kết nối chúng bằng một ống mỏng với một vòi. Hãy đổ $a$ cm$^3$ nước vào một trong các bình và mở vòi. Nước sẽ chảy vào bình thứ hai cho đến khi mực nước ở cả hai bình bằng nhau. Hãy để chúng tôi biểu thị bằng $y_0$ chiều cao của mực nước. Trong trường hợp này, thể tích nước trong bình hình trụ sẽ bằng $y_0$, trong bình Konch - $y_0^3$, và tổng thể tích nước bằng $a$. Kể từ đây,

$$y_0^3 + y_0 = a$$

(bỏ qua thể tích nước trong ống nối).

Điều này có nghĩa là $y_0$ là một trong những nghiệm của phương trình (*).