Lỗi trong "Lỗi..."

55

Lỗi trong “Lỗi…”

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang tham gia kỳ thi tuyển sinh môn toán. Người nộp đơn ngồi trước mặt bạn, đặt câu hỏi cho bạn và bạn phải đánh giá kiến ​​​​thức của anh ta một cách khách quan và công bằng.

Trước tiên, bạn yêu cầu anh ta giải câu bài toán tiếp theo: tìm nghiệm của phương trình $\log_{3x^2}(9x^4)-\log_{x^2/3}x^2=0$. (1)

Người theo dõi đưa ra điều này lời giải.

“Phạm vi các giá trị được chấp nhận của một phương trình đã cho chưa biết là tập hợp các số thực không phải $x=0$. Sau đó, anh ta chuyển sang cơ số logarit mới $|x|$ và trước đó đã kiểm tra rằng $|x|=1$ không phải là nghiệm của phương trình (1), người nộp đơn nhận được phương trình

$$\frac{\log_{|x|}(9x^4)}{\log_{|x|}(3x^2)} = \frac{\log_{|x|}x^2}{\log_{|x|}\frac{x^2}{3}} = 0,$$

từ nó

$$(\log_{|x|}3+2)(1-\log_{|x|}3)=0,$$

từ đó cuối cùng nó nhận được “Đáp số:

$$x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_3 = 3, x_4 = -3.$$ (2)

Bạn có thể sẽ giải thích cho người nộp đơn rằng anh ta đã mắc một sai lầm nghiêm trọng. Trong thực tế, ODZ của phương trình (1) là:

$$x \neq 0, x \neq \frac{1}{\sqrt{3}},$$

và do đó các giá trị $x_1=1/\sqrt{3}$ và $x_2=-1/\sqrt{3}$ được chỉ ra trong đáp số (2) không phải là nghiệm của phương trình (1). Ngoài ra, bạn sẽ lưu ý rằng việc chuyển sang cơ số logarit mới $|x|$ là một phương pháp cực kỳ phi lý lời giải của phương trình (1); nó được giải quyết bằng miệng, kể từ $\log_{3x^2}(9x^4)=2$.

Sau khi chuyển tiếp người nộp đơn khác bài toán: vẽ đồ thị hàm số

$$y = \left| \frac{x-1}{x-2} \right|,$$

Thoạt nhìn, bạn sẽ nhận thấy biểu đồ mà người nộp đơn nhận được (xem hình) rằng bài toán này cũng đã được giải không chính xác. Trên thực tế, hàm (3) tại $x=1$ có giá trị bằng 0, trong khi đường cong hiển thị trong hình không giao nhau với trục hoành.

Có thể nói chắc chắn rằng một học sinh mang ý nghĩa như vậy sẽ không trở thành học sinh được. Tuy nhiên, ít nhất sai sót đã cho lời giải không được lấy từ tác phẩm của người nộp đơn không đáng tin cậy, mà từ việc tìm kiếm hậu tố $x^*$, trong đó, thật kỳ lạ, chúng được trình bày là đúng (xem trang 48-49, 99-100).

*) Tupikov V. A., Sai sót trong lời giải cạnh tranh bài toán trong kỳ thi đầu vào môn toán, ed. Lần thứ 4, sửa đổi và mở rộng (Minsk “Trường trung học”, 1974, 144 trang, phát hành 150.000 bản, giá 16 kopecks).

$$20\log_4x\sqrt{x}+7\log_{16x}x^3-3\log_x2^2=0$$

Có một bộ tự nhiên $x>0$, chỉ tình cờ mới không dẫn đến lỗi trong tương lai. Sự mâu thuẫn của tác giả có thể được minh họa bằng việc ông coi $x=-6$ là nghiệm của phương trình

$$(x+5)x^2+x-2=1$$

(trang 39-40), tuy nhiên, $x=-3$, $y=2$ bằng giải pháp của hệ thống

$$\begin{cases} x^2=9, \\ y=\sqrt{324}=2x^2 \end{cases}$$

không nhận ra (trang 50-51). Không thể hiểu được từ văn bản khi việc kiểm tra là phần bắt buộc lời giải của phương trình và khi không cần thiết phải kiểm tra nó (xem trang 26; 37, 45, v.v.). Về phương trình

$$\sqrt{2x^2-8x+12}=6$$