Định luật Archimedes và... phương trình lời giải

17

Định luật Archimedes và… phương trình lời giải

Năm ngoái, trong số thứ chín của tạp chí, chúng tôi đã thảo luận về cách giải phương trình bậc ba bằng công thức Cardan và phương pháp đồ thị. Bây giờ chúng tôi muốn giới thiệu với bạn một cách khác để giải phương trình lời giải bậc ba - sử dụng… một số vật lý.

Viết lại những trang của một tạp chí cũ nhưng rất thú vị “Bản tin Vật lý Thực nghiệm và Toán Sơ cấp” (1903, số 348), chúng tôi phát hiện ra mô tả về chiếc máy khéo léo, được sử dụng từ lâu của Meslin cho các phương trình đại số lời giải. Meslin đề xuất tìm nghiệm nguyên của phương trình
$$a_n y^n + a_{n-1} y^{n-1} + \dots + a_1 y + a_0 = 0,$$
(1) xác định độ sâu ngâm trong nước của các vật nặng được chế tạo đặc biệt treo trên ách của cân (xem hình).

Những hàng hóa này là gì? Hóa ra các vật nặng phải có hình dạng sao cho thể tích nước mà chúng chiếm chỗ bằng số với độ sâu ngâm được nâng lên theo lũy thừa (1, 2, 3, …, n). Nói cách khác, mỗi số hạng trong phương trình (1) phải tương ứng với một tải nhất định.

Thuận tiện nhất là sử dụng vật quay làm tải*). Đối với số hạng $a_1 y$ vật quay tương ứng là hình trụ có diện tích

*) Ví dụ, xem chương IV “Hình học 10”.

cơ sở bằng một. Thể tích nước bị chiếm chỗ bởi một hình trụ như vậy sẽ bằng số với độ sâu ngâm (y). Đối với thuật ngữ $a_2 y^2$ cần phải tạo ra một vật thể gọi là parabolun quay. Nó được hình thành bằng cách quay một parabol (chính xác hơn là các cung của parabol) quanh trục của nó. Nếu một parabol được mô tả bằng phương trình $y = \frac{\pi}{2} x^2$ thì thể tích của parabol quay là $V = \frac{1}{2} S y = \frac{1}{2} (\pi x^2) y = y^2$.

Khi vật này được nhúng tới độ sâu $y$, thể tích nước chiếm chỗ sẽ bằng $y^2$—bình phương của độ sâu ngâm. Thuật ngữ $a_3 y^3$ tương ứng với một hình nón, ma trận sinh của nó được mô tả bằng phương trình $y = \sqrt{\frac{\pi}{3}} x$. Một hình nón như vậy chiếm chỗ một thể tích nước bằng $y^3$—khối lập phương của độ sâu ngâm (hãy kiểm tra xem!).

Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp tổng quát, nếu đối với số hạng $a_h y^h$ chúng ta tạo một vật thể tương ứng bằng cách xoay đường cong (chính xác hơn là các cung của đường cong) $y = \sqrt[k-1]{\frac{\pi x^2}{k}}$ quanh trục hoành, thì thể tích nước bị vật thể này chiếm chỗ sẽ bằng $y^k$.

Máy của Meslin thực sự hoạt động như thế nào? Hãy xem xét một ví dụ cụ thể - hãy thử nghiệm tìm nghiệm của phương trình bậc ba
$$y^3 - 16 y^2 + 83 y - 140 = 0.$$ (2)
Để làm việc, bạn sẽ cần cân đòn bẩy, ba bình chứa nước thông nhau (hoặc một bình lớn trong suốt) và ba quả nặng - một hình trụ, một hình paraboloid xoay và một hình nón. Tốt hơn là không gắn ách của cân vào giá đỡ (như trong hình), mà, giống như cân dược phẩm, hãy treo nó lên

18

chủ đề Trên vai phải và vai trái, chúng ta sẽ đánh dấu bằng milimét trong 20 cm. Ví dụ, trọng lượng có thể được làm từ nhôm. Chiều cao của tất cả các quả cân rỗng sẽ bằng nhau và bằng 10 cm. Hãy lấy diện tích đáy của hình trụ bằng 1 cm2, khi đó thể tích của nó sẽ bằng 10 cm³ và khối lượng của nó sẽ là 27 g. Tuy nhiên, sẽ hợp lý nếu giảm khối lượng của hình trụ xuống 10 g (tức là làm cho nó bằng thể tích): các phép tính cần thiết sẽ được đơn giản hóa đáng kể. Để làm điều này, bạn có thể khoan một lỗ tương ứng từ bên trong, dọc theo trục của hình trụ (nhưng không khoan đến đáy!). Hãy tạo ra các cơ quan cách mạng khác theo cách tương tự. Parabolon quay sẽ có thể tích 100 cm³ và khối lượng 100 g (và trong trường hợp này, một phần kim loại ở bên trong sẽ phải được loại bỏ). Nhưng tốt hơn là làm cho hình nón có thể tích và khối lượng nhỏ hơn 100 lần so với đề xuất của Meslin. Nếu không, với chiều cao hình nón là 10 cm, đường kính ở đỉnh của nó sẽ vào khoảng 20 cm! Do đó, ma trận hình nón của chúng ta được mô tả bằng phương trình $y = 10 \sqrt{\frac{\pi}{3}} x$, thể tích của hình nón (có chiều cao 10 cm) là 10 cm³ và khối lượng (bao gồm cả lỗ bên trong) là 10 g. Hơn nữa, đường kính phần trên của hình nón là ≈ 2 cm nên sẽ không có khó khăn về “kỹ thuật” nào phát sinh.

Bây giờ chúng ta hãy có mặt một cách không thể đoán trước được trong thí nghiệm. Để thuận tiện, chúng ta viết lại phương trình (2) theo cách khác, chéo các số hạng có hệ số âm sang phải:

$$y^3 + 83y = 16y^2 + 140.$$

(3) Chúng ta treo các quả nặng lên cân và đưa cân về trạng thái cân bằng. Chúng ta treo hình nón tương ứng với thành viên $y^3$ từ vai trái của bộ nạp. Vì hệ số $y^3$ trong phương trình (3) bằng 1 nên sẽ hợp lý nếu gắn hình nón ở khoảng cách 1 mm (chúng ta sẽ đo khoảng cách tính bằng mm) tính từ trục quay của bước tiến. Nhưng khối lượng hình nón của chúng ta nhỏ hơn 100 lần so với mức cần thiết. Để sao chép điều này, hãy treo hình nón ở điểm 100 mm. Chúng ta cũng treo hình trụ tương ứng với bộ phận 83y từ vai trái ở khoảng cách 83 mm tính từ giữa nó. Chúng tôi treo parabol xoay trên vai phải ở mốc 16 mm. Rõ ràng là cân sẽ không ở trạng thái cân bằng: tổng mômen của các lực làm quay vật dẫn ngược chiều kim đồng hồ không bằng tổng mô men của các lực gây ra chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ. Tuy nhiên, sự cân bằng có thể dễ dàng đạt được bằng nhiều cách khác nhau. Ví dụ: hãy gắn trọng lượng bổ sung cần thiết vào vạch chia 100 mm ở vai phải. Từ điều kiện mômen lực bằng nhau, dễ dàng tìm được khối lượng của vật nặng này - nó bằng 2,3 g.

Sau đó, chúng ta sẽ bắt đầu đổ dần nước vào bình giao tiếp. Ngay khi nước chạm tới các vật nặng lơ lửng (lưu ý rằng các đỉnh dưới của chúng phải bằng nhau), trạng thái cân bằng sẽ bị phá vỡ. Điều này có thể hiểu được: khi lặn ở cùng một độ sâu, các vật thể khác nhau sẽ chiếm những thể tích nước khác nhau, tức là phát sinh lực đẩy khác nhau. Và trọng lượng tăng thêm hoàn toàn không chìm vào nước.

Có thể khôi phục lại sự cân bằng bị xáo trộn? Có, nếu tổng mô men của lực đẩy tác dụng lên các cân cấp liệu ở bên trái và bên phải bằng nhau. Đặt độ sâu ngâm của các vật thể bằng $y$. thì mômen của lực đẩy tác dụng lên hình nón tỉ lệ với $y^3$, trên hình trụ - 83 $y$, và trên parabolon quay - 16 $y^2$ (hệ số tỉ lệ là gia tốc rơi tự do). Nhưng tất cả những đại lượng này đều được đưa vào phương trình (3)! Hóa ra chỉ có thành viên tự do là “không có mặt trên lối đi”. Chúng ta hãy bắt nó đi làm. Để biểu thị mômen đẩy ra tương ứng với số hạng tự do trong phương trình bậc ba của chúng ta, hãy tạo một mômen ở nhánh bên trái của bước tiến tỷ lệ với giá trị của số hạng tự do này (140). Ví dụ, để làm điều này, bạn có thể treo một vật nặng khác nặng 1,4 g ở mốc 100 mm trên vai trái.

Do đó, phương trình mômen của lực đẩy sẽ như sau:

$$y^3 + 83y = 16y^2 + 140.$$

Bằng cách đo độ sâu ngâm $y$ của vị trí cân bằng tương ứng