Закон Архимеда и... решение уравнений

Квант 1977, №5 с. 17-18 Тег D4M0

Закон Архимеда и… решения уравнений

В прошлом году в девятом номере нашего журнала было расссказано, как решать кубичесные уравнения с помощью формулы Карданов и графических способом. Теперь мы хотим познакомить вас еще с одним способом решения уравнений третьей степени — с помощью… некоторые физики.

Переписывая страницы старого, но очень интересного журнала «Вестник опитной физики и элементарной математики» (1903 г., № 348), мы обнаружили описание давно забитой весма остроумной машины Меслина для решения алгебраических уравнений. Меслиnn предложил нахождение корни уравнения
$a_n y^n + a_{n-1} y^{n-1} + \dots + a_1 y + a_0 = 0,$
(1) определяя глубину погружения в воду специально изготовленных грузов, подвешенных к кормыслу весов (см. рисунок).

Что же собой представляют эти грузы? Оказывается, грузы должны быть такой формы, чтобы объем вытесняемой ими воды был численно равен глубине погружения, возведенной в соответствии со степенью (1, 2, 3, …, n). Другими словами, каждому члену в уравнения (1) должен соответствовать определенный груз.

Удобнее всего в качестве грузов использовать тела вращения*). Для члена $a_1 y$ соответствующим телом вращения будет цилиндр с площадью

*) См., например, главу IV «Геометрии 10».

основания, равной единице. Объем воды, вытесняемой таким цилиндром, будет численно равен глубине погружения (y). Для члена $a_2 y^2$ надо изготовить тело, называемое параболюном вращению. Она образуется при вращении параболы (точнее, дуг параболы) вокруг своей оси. Если парабола описывается уравнением $y = \frac{\pi}{2} x^2$ , то объем параболюда вращения $V = \frac{1}{2} S y = \frac{1}{2} (\pi x^2) y = y^2$ .

При погружении этого тела на глубину $y$ объем вытесняемой воды будет равен $y^2$ —квадрату глубины погружения. Члену $a_3 y^3$ соответствует конус, образующая которого описывается уравнением $y = \sqrt{\frac{\pi}{3}} x$ . Такой конус вытесняет объем воды, равный $y^3$ —кубу глубины погружения (проверьте это!).

Можно показать, что и в общем случае, если для члена $a_h y^h$ изготовить соответствующее тело, вращая кривую (точнее, дуг кривой) $y = \sqrt[k-1]{\frac{\pi x^2}{k}}$ вокруг оси ординат, то объем вытеснения этого телом воды будет численно равен $y^k$ .

Как же все-tаки работает машина Меслина? Расмотрим конкретный пример — экспериментально найдем корни кубического уравнения
$y^3 - 16 y^2 + 83 y - 140 = 0.$ (2)
Для работы понадобится рычажные весы, три сообщающихся сосуда с водой (или один большой произрачный сосуд) и три груза—цилиндр, параболюд вращения и конус. Коромысло весов лучше не прикреплять к стойке (как показано на рисунке), а, подобно аптекарским весам, подвешить на

нити. На правом и левом плечах кормься дляной 20 cm сделаем отметки в миллиметрах. Грузы можно изготовить, например, из алюминия. Высота всех грузов пусты будет одинаковая и равна 10 cm. Площадь основания цилиндра возьмем равной 1 cm², тогда его объем будет равен 10 cm³, а масса — 27 г. Однако разумно массу цилиндра уменьшить до 10 г (т. е. сделать ее численно равной объему): необходимые расчеты существенно упростятся. Для этого можно изнутри, вдоль оси цилиндра, выверлить соответствующее отверстие (но не до дня!). Аналогично изготовим и другие тела вращения. Параболонд вращения будет иметь объем 100 cm³ и массу 100 г (и в этом случае часть металла изнутри придет удалить). А вот конус лучше сделать в 100 раз меньше по объему и массе, чем предлагалось Меслиным. Иначе при высоте конуса 10 cm диаметр его в верхней части будет порядка 20 cm! Таким образом, образующая нашго конуса описывается уравнением $y = 10 \sqrt{\frac{\pi}{3}} x$ , объем конуса (при высоте 10 cm) равен 10 cm³, а масса (с учетом внутреннего отверстия) — 10 г. При этом диаметр верхней части конуса ≈ 2 cm, так что никаких «технических» затруднений не возникнет.

Теперь присутствим непредределенно к эксперименту. Для удобства перешем уравнение (2) иначе, пересечены члены с отрицательными коэффициентами вправо:

$y^3 + 83y = 16y^2 + 140.$

(3) Развесим грузы на кормься весов и приведем весы в равновесие. Конус, соответствующий члену $y^3$ , подвесим к левому плечу кормься. Поскольку коэффициент при $y^3$ в уравнении (3) равен 1, было бы разумно прикрепить конус на расстоянии 1 mm (будем измерять расстояния в мм) от оси вращения кормься. Но масса конуса у нас в 100 раз меньше, чем она должна быть. Чтобы скопперровать это, подвесим конус на отметке 100 мм. Цилиндр, соответствующий члену 83y, подвесим тоже к левому плечу кормься на расстоянии 83 мм от его середины. На правое плечу кормься подвесим параболонд вращения на отметке 16 мм. Ясно, что весы не будут в равновесии: сумма моментов сил, врашащих кормься против часовой стрелки, не равна сумме моментов сил, вызывающих врашение по часовой стрелке. Однако равновесия можно легко добиться, причем самых разными способами. Например, прикрепим к делению 100 мм на правом плечу кормься необходимый добавочный грузик. Из условия равенства моментов силяжестии легко найти массу этого грузика — она равна 2,3 г.

Затем начнем постепенно заполнять водой сообщающееся сосуда. Как только вода doit до подвешенных грузов (заметим, что их нижние вершины должны находиться на одном уровне), равновесие нарушится. Это и понятно: при погружении на одну и ту же глубину разные тела вытесяют разные объемы воды, т. е. возникают разные вытalkивающие силы. А дополнительный грузик и вовсе не погружается в воду.

Можно ли восстановить нарушенное равновесие? Да, если суммарные моменты вытalkивающих сил, действующих на кормься весов слева и справа, станут одинаковыми. Пусть глубина погружения тел равна $y$ . тогда момент вытalkивающей силы, действующей на конус, пропорционален $y^3$ , на цилиндр — 83 $y$ , а на параболонд вращения — 16 $y^2$ (козффициент пропорционального является ускорение свободного падения). Но все эти величины входят в уравнение (3)! Только свободный член оказывается «не приделе». Включим и его в работу. Чтобы представить вытalkивающий момент, соответствующий свободному члену нашего кубического уравнения, создадим на левом плечу кормься момент, пропорциональный величины этого свободного члена (140). Для этого можно, например, еще один дополнительный грузик массой 1,4 г подвесить на отметке 100 мм левого плечу кормься.

Таким образом, уравнение моментов вытalkивающих сил будет выглядеть так:

$y^3 + 83y = 16y^2 + 140.$

Измеряя глубину погружения $y$ соответствующего положения равновеси