Улитка Паскаля

36

Улитка Паскала

Свое название улитка Паскала получила*) не в честь великого Блеза Паскала, а в честь его отца Этъена Паскала (1588—1651) — провинциального французского судьи и большего любителя математики. Э. Паскаль строил улитку так.

Нарисуем на плоскости окружность (О, r), заданным некоторую длину d, выберем на этой окружности произвольную точку P и зафиксируем ее — это будет полосу улитки Паскала. Для каждой точки K окружности, отличной от P, проведем прямую KB и отложим на ней в противоположные стороны от точки K отрезки M1K и KM2 также, что |M1K|=|KM2|=d (рис. 1). Множество таких точки M1 и M2 образует непрерывную замкнутую кривую, которая и называется улиткой Паскала. Полос P может не принадлежать, а может и принадлежать улитке, обеспечивая непрерывность кривой.

Улитка Паскала имеет принципальное отличие от кривых, которые приводились на первой или второй страницах обложки «Кваита» за этот год,— форма у нее переменная.

Ее форма зависит от значения d (рис. 2): при d=0 улитка совпадает с (О, r), при 0<d<2r имеет точку

*) По предложению видного французского математика — одного из основателей Парижской академии наук Ж. П. Роберваля (1602—1675)

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

самопересечения P, при d=2r превращается в кардионду, при d>2r не содержит своего полоса P.

Приведем идею, на котором основан второй способное построения улитки (рис. 3). Вновь рассмотрим окружность (O, r), на ней полос P и фиксированную точку Q, а также окружность (Q, R) неоторого радиуса R. Пусть

PQ=2α. Для каждой точки V∈(O, r) проведем прямую PV и найдем на ней точки M1 и M2 также, что если проведится из них касательные к (Q, R) и затем повернуть их на угол α по часовой стрелке, то они попадут на PV. Множество таких точки M1 и M2 — улитка Паскала, причем d=R/sin α.

На рисунке 4 обосновывается еще одно построение улитки Паскала. Подвижная окружность (O′, ρ) касается снаружи неподвижной («опорной») (O, ρ). Покажем, что при качении (O′, ρ), жестко с ней связанная точка M описывается улитку Паскала.

Пусть длина отрезка MO минимальная (M=M1). Выберем на прямой OO′1 точку P, для которой |OP|=|O′1M1|, и построим окружность (O, |OP|). Если подвижная окружность прокавляется на угол φ из начального положения, то точки O′ и M попадают соответственно в положения O′2 и M2. Проведем прямую M2P и найдем точку ее пересечения N с окружностью (O, |OP|). Получаем |ON|=|OP|=|M1O′1|=|M2O′2|. Четырехугольник ONM2O′2 (при таком расположении точки N, как на рисунке 4) представляет собой объединение равноведренной трапеции OPM2O′2 (PОО′2=OO′2M2=φ) и равноведренного треугольника PON. Ясно, что этот четырехугольник — параллелограмм, причем длины его стороны не зависят от угла φ. Раз отрезок NM сохраняет постоянную длину при любом положении точки M, то в траектории точки M мы узнали улитку Паскала, в точке P — ее полос, а в (O, |OP|) — окружность (O, r).

В. Березин

39

— Неважный ход, приятель, …
Вы, сударь, получите лошадей с полной сборей.

Торжествующий английник даже не потребился смещать кости; его уверенность в победе была так велика, что он бросил их на стол не глазяя. Д’Артаньян отвернулся, чтобы скрыть досаду.

— Вот так штука, — как всегда, способно проговорил Аtoc. — Какой необыкновенный ход! Я видел его всего четые раза за всю мою жизнь: два очка!

Английник обернулся и онемел от изучения; Д’Артаньян обернулся и онемел от радости».

Давайте, и мы с вами бросим несколько раз пару костей — кубиков

Таблица 2

Появление отдельных очков при 36 бросаниях двух кубиков.

Очки кубики
красный
синний

1 2 3 4 5 6

5 6 6 6 7 6

6 6 5 4 8 7

из детских игра с цифрами или точками (очками) от 1 до 6 на гранах — и посмотрим, часто ли выпадают две единицы. Чтобы различать эти кубики, один из них закрасим красной красной, а другой — синей. В таблице 1 приведены результаты 36 бросаний красного и синего кубиков, выполненных нами.

У вас, конечно, получается другие результаты, но если вы сведете свои результаты в таблицы (2 и 3), то скорее всего выводы будут же, что и у нас.

Выводы

1. Дубль 1—1 выпадает не часть (у нас — один раз из 36):
2. Разные очки выпадают приmerно одинаково часть, в среднем — в 1/6 части случав каждаое.
3. Сумма очков на двух костях обычно заклочена в пределах от 5 до 9.

Если увеличит число бросаний, то отмещенные закономерности простят еще более четко. чем больше число бросаний, тем меньше будет

Появление отдельных сумм очков при 36 бросаниях двух кубиков.

Σ
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

крамносmb
1 2 2 6 3 5 4 7 1 3 2

40

отличаться от 1/6 (среднего значения) частицы выпадения различных очков от 1 до 6. Можно сказать, что выпадение любого из шести очков при бросании симметричной кости равноверятно. А вот появления разных значений сумм очков при бросании двух костей оказываются не равноверятными.

Может ли высказать, почему?

Давайте составим таблицу всех возможных исходов при бросании красной и синей костей. Так как выпадение любого числа очков от 1 до 6 на красной кости может сочетаться с любым числом очков на синей кости, то у нас получится таблица 4.

Любое из 36 сочетаний очков на красной и синей костях равноверятно любому другому сочетанию, но разные суммы очков могут быть получены различным числом способов. Так, сумма очков 3 (у Д’Артаньна) получается двумя способами: 1 + 2 и 2 + 1, а сумма 2 (у англичанна) — лишь один (из 36!): 1 + 1. Аtocу было чему удивляться!

Вероятность
Вы видите, что выпадения 2 и 6 очков на одной кости равноверятны, а выпадение суммы 2 и 7 на двух костях не равноверятны. В подобных случаях говорят, что сумме 7 благоприятиствуот шесть исходов из общего числа равноверятных исходов, равного 36, тогда как сумме 2 благоприятиствует лишь один исход.

И в общем случае подсчет числа благоприятиных исходов из их общего числа — важнейшее действие для определения вероятности события. При этом используется также обозначения. Само событие (например, появление суммы 7) обозначается буквой A, а вероятность этого события — P(A). Итак,

$$P(A) = \frac{m}{n},$$

41

где $n$ — общее число исходов данного опыта, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событие $A$.

Попробуем подсчитать вероятность некоторых событий.

В таблице 4 всего 36 клеток. Это — 36 возможных исходов при бросании двух кубиков. Сумме очков 7 (событие $A$) благоприятствуют 6 исходов. По формуле (*) получаем: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Сумме очков 2 (событие $B$) благоприятствует 1 исход. По формуле (*) $P(B) = \frac{1}{36}$.

Событие $C$ «выпадение суммы очков, не больше 5» благоприятствуют 10 исходов (указите их самоетельно), поэтому $P(C) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

Событие $D$ «выпадение суммы очков, больше 5» благоприятствуют 26 исходов (все не вошедшие в $C$), поэтому $P(D) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.

Событие $E$ «выпадение четного числа очков на красной кости и кратного trem — на синей» благоприятствуют 6 исходов, поэтому $P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Таким образом, при определении вероятности неокоторого события $A$ надо проверить три действия:

(a) определить общее число (равноверяемых) исходов опыта;
(b) определить число исходов, благоприятствующих событие $A$;
(c) разделить второе число на первое.

Подчерким, что мы с самого начала считаем («по определению»), что исходы опыта равноверятны. Это соответствует практическим результатам, если опыт обладает неокоторой симметрией (кость имеет форму гексадра — куба, а не, скажем, косого параллелепида и не налита свинном у одной грани, монета — новая, не истерная, то есть имеет форму цилиндра и т. п.). Из-за этого нельзя, скажем, считать, что в опите «определение суммы на двух костях» всего 11 исходов (суммы от 2 до 12) — они неравноправны, вероятность каждого из них не 1/11. Определение таких «хороших» исходов опыта — существенная часть пункта (a) задачи определения вероятности, и руководство выражает теорему сложения вероятностей, состоящую в том, что если одно событие $C$ разбиается на ряд других событий $(C_1, C_2, C_3, C_4)$, то его вероятность $P(C)$ равна сумме вероятностей составляющих событий.

Теперь рассмотрим событие $C$ и событие $D$ «выпадение суммы очков, больше 5». Их вероятности $P(C) =$