Число «пи» и теория вероятностей

43

Д) $O$ — «из 28 костей домино, лежащих на столе (очками вниз) и хорошо перемещаны, выбирается одна», $H = \{выбран дубль, выбран не дубль\}$;
e) $O$ — «из урны, в которой лежат 3 белых и 3 черных шара (одинаковых на ощупь), в темноте извлекается один», $H = \{извлечен белый шар, извлечен черный шар\}$.
2. В урне лежат 6 белых и 8 черных шаров. Из урны наугад извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар — белый?
3. Монета бросается три раза. Какова вероятность, что все три раза сверху окажется цифра?
4. Наугад выбирается одна кость домино. Какова вероятность, что сумма очков на ней делится на четыре?
5. Картонику с написанным на ней словом «математика» разрезали на одинаковые квадратки с одной буквой на каждом, перемещали и вытащили один квадратик. Какова вероятность, что на нем буква «т»? Какая буква вероятнее всего на нем будет?
6. Из 27 билетов ученик Петя мог ответить лишь на те, номера которых были кратны 5. Когда десять по счету он вошел в класс, оказалось, что билет № 1 и все билеты с 20-го по 27-й уже взяты.

Какова вероятность, что Петя вытащит билет, на котором он может ответить? Какова была бы эта вероятность, если бы Петя вошел в класс первым? Какая из этих вероятностей больше?

Число «пи»
и теория вероятности

Хотите экспериментально найти число $n$? Попробуйте для этого нужно лишь коробка спичек и лист бумаги.

На листе бумаги проведите сетку параллельных прямы на расстоянии друг от друга, равном длине спички. Теперь случайным образом бросайте на лист бумаги спички (как на первой странице обложки этого номера журнала) и считайте число спичек, пересекающих линни сетки (можно и много раз бросать одну спичку). Разделив удвоенное общее число спичек на полученное число, вы и найдете число $n$ (чем больше спичек вы бросите, тем точнее найдете число $n$).

Доказать это можно с помощью теории вероятности. Если спичка длины 1 упала под углом $\phi$ к линям сетки, то ее «эффективная длина» равна $\sin \phi$. Пусть неокоторая спичка пересекала линню сетки, тогда ее нижний конец находится на расстоянии не больше $\sin \phi$ от прохождения над ним линей сетки (см. рисунок). Возьмите это расстояние заключено в пределах от 0 до 1. По правилам теории вероятности эта спичка пересекает линню сетки с вероятностью $\sin \phi$.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайным образом упавшая спичка пересечет линню сетки, надо уредить полученную вероятность $\sin \phi$ по всем $\phi$ ($0 \leq \phi \leq \pi/2$), поскольку все значения углов $\phi$ равноверятны, то есть найти значение выражения

$$\frac{\pi}{2} \sin \phi d\phi$$

и разделить его на $\pi/2$.

Десятиклассники быстро найдет, что интегral равен 1, то есть как раз $\frac{2}{\pi}$ часть спичек должна пересечь линни сетки.

Впервые такой эксперимент произвел с игрой (бросая ее много раз) французский естественныйатель Ж. Л. Л. Бюффон (1707—1788), в его числе этот опыт называет «иглой Бюффона». В конце XIX века многое математики бросали иглу по 3—5 тысяч раз и получали для $\pi$ значение порядка 3,15. Интересно, какое значение $\pi$ дает вам один коробок спичек?

А. Виленкин