Задачи М441—М445; Ф453—Ф457

20

Задачи
M441 — M445; Ф453 — Ф457

M441. Внутри выпуклого $2n$-угольника взята произвольная точка $P$. Через каждую вершину и точку $P$ проведена прямая. Докажите, что найдется сторона многоугольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).

Г. Гуревич

M442. Дано простое число $p>2$. Для каждого $k$ от 1 до $p-1$ обозначим через $a_k$ остаток от деления числа $k^p$ на $p^2$. Докажите, что
$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{p-1} = (p^3 - p^2)/2.$$
C. Охитин

M443. Имеется таблица $n \times n$ клеток, в каждой клетке которой вначале стоит число 0. Разрешается произвольное выбрать $n$ чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и увеличить каждое из них на 1.
a) Можно ли за несколько шагов получить таблицы, изобразенные на рисунках 1 и 2?
b) Можно ли получить таблицу с попарно различными числами?
b) * Какие вообще таблицы можно получить через $T$ шагов?

Ф. Шлейфер

M444. a) На рисунке 3 четыре прямые разбивают плоскость на одинаковать область: четырех

Рис. 1.
Рис. 2.

21

угольник (1), два треугольника (2 и 3), три угла (4, 5 и 6), четыре «бесконечных треугольника» — области, ограниченные каждая отрезком и двумя лучами (7, 8, 9 и 10), и «бесконечный четырехугольник» — область, ограниченную двумя отрезками и двумя лучами (11).

Будет ли сказано верно для любых четырех прямы на плоскости, среди которых нет параллельных и нет треек прямы, проходящих через одну точку?

6. Три больших кругга, не проходящих через одну точку, разбивают сферу на восемь треугольников. На какие области разбивают сферу четыре больших кругга, никакие три из которых не проходят через одну точку? (Большим кругом на сфере называют окружность, являющийся пересечением сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы; рис. 4.)

в) На какие области могут разбить сферу пять больших кругов, никакие три из которых не проходят через одну точку?

А. Колмодоров

M445. Центры одинаковых непересекающихся окружностей находятся в центрах правильных шестиугольников, покрывающих плоскость так, как указано на рисунке 5. Пусть $M$ — многоугольник с вершинами в центрах окружностей. Окрасим в красный цвет те окружности или их части (други), которые лежат внутри $M$. Покажите что сумма градуных величины красных дуг равна $C \cdot 180^\circ$, где $C = C(M)$ — целое число, и дайте этому числу геометрическую интерпретацию.

А. Сосинский

Ф453. Система грузов, показанная на рисунке 6, стоит на гладком горизонтальном столе. Массы кубиков $m_1, m_2$ и $M$. Кубик массы $m_2$ удерживает на высоте $l$ над столом. Если система предоставить самой себе, то она придет в движение, причем верхний кубик будет скольнить по нижнему. Козффициент трения между кубиками равен $k$. На какое расстояние переместится нижний кубик к тому моменту, когда кубик массы $m_2$ коснется столе?

Ф454. Если на первичную обмотку неагруженного трансформатора подать напряжение $u_0 = 220 \text{ В}$, то напряжение на вторичной обмотке будет $u_1 = 127 \text{ В}$. Какое напряжение будет при $u_0 = 220 \text{ В}$ на нагрузке $R = 10 \text{ Ом}$, подключенной ко вторичной обмотке этого трансформатора?

Активное сопротивление первого обмотки трансформатора $r_1 = 2 \text{ Ом}$, а вторичной — $r_2 = 1 \text{ Ом}$. Внутреннее сопротивление генератора пока пряньт равным нулю.

В. Скороваров