Советуем купить!

9

Как и в случае площадей, имеет место теорема существования и единственности.

Не останавливаясь на других методах, рассмотрим вычисление объемов при помощи интегрирования и принцип Кавальери для объемов.

Пусть в пространстве задана система координат и взята некоторая фигура $F$, проекция которой на ось абсцисс представляется собой некоторий отрезок $[a, b]$. Через $S(x)$ обозначим площадь фигуры, высекаемой из $F$ плоскостью, которая перепendlкулярна оси абсцисс и проходит через точку $x$ отрезка $[a, b]$. Далее, через $V(x)$ обозначим объем той части фигуры $F$, которая расположена левее проведенной плоскости (рис. 15). Тогда справедливо равенство $V'(x) = S(x)$, т. е. $V$ является первообразной для функции $S$. Доказательство этого равенства — такое же, как и в случае площадей.

Конечно, чтобы доказательство прошло, следует сделать некоторы предположения. Фигура $F$ должна быть кубируемой, ее сечения — квадратными.

Рис. 15.

Рис. 16.

приуемыми. Кроме того, следует сделать некоторы предположения о характеристике границы тела $F$ (что выполня рассудение, аналогичное показанному на рис. 10). В учебнике X класса, например, справедливо равенства $V'(x) = S(x)$ обосновывается для случая, когда $F$ — фигура врашшения специального вида. Мы на этом не останавливаемся. Из равенства $V'(x) = S(x)$ следует, что для объема фигуры $F$ справедлива формула

$$V(F) = \int_a^b S(x) dx.$$

Наконец, из этой формулы вытекает прицили Кавальери для обтемов: если любая плоскость, параллельной фиксированной плоскости, пересекает пространственные фигуры $F$ и $H$ по фигурам, имеющим одинаковую площадь (рис. 16), то фигуры $F$ и $H$ равенники: $V(F) = V(H)$. Изящный пример применения прицили Кавальери к вычислению объемов имеет в публикуемой в этом номере заметке М. Мамикона.

Советуем купить!

Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. Ц. 35 к.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Ц. 35 к.
Кошкин Н. И. Справочник по элементарной физике. Ц. 97 к.
Пойа Д. Математиское открытие. Ц. 1 р. 62 к.

Заказы направляйте по адресу: 103031, Москва, Петровка, 15. Магазин № 8 «Техническая книга».