[Примерные задачи вступительных экзаменов по математике в технические вузы в 1977 году]

54

Технические узы

Вариант 1

1. К двумя начному числу приписали справа такое же число. Разность между полученным четырехзначным числом и квадратом исходного двухначного числа разделили на 4% от квадрата исходного числа; в частином получили половину исходного числа, а в остатке — исходное число. Найти исходное двухначное число.

2. Сумма первых пятей членов геометрической прогрессии равна 93, а сумма первых десяти членов той же прогрессии равна 3069. Найти сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.

3. Решить уравнение
   $$\frac{\lg^2 x - 2\lg x - 15}{\sqrt{1000-x}} = 0.$$

4. Решить уравнение
   $$\frac{\cos x}{1 + \sin x} + \mathrm{tg} x = 2.$$

5. Найти длину отрезка, параллельного основаниям трапеции, концы которого лежат на ее боковых сторонах, зная, что этот отрезок делит трапецию на две равновеликие фигуры, и что основания трапеции имеют длину a и b (a>b).

6. Найти длину высоты конуса набольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

Вариант 2

1. Две авиамодели начали одновременно движаться в одном направлении при встречном ветре, скорость которого v м/сек. Первая модель продержалась в полете на t сек меньше, чем вторая, но проделела на a м больше. Какая из этих моделей проделит дальше в безветренную погоду? (Время полета модели не зависит от ветра.)

2. Решить уравнение
   $$\frac{2\lg^2 x - 5\lg x + 2}{\sqrt{x - 200}} \ge 0.$$

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{1 + \sin x} + \cos x = 0.$$

4. Найти три числа, образующие геометрическую прогрессию, если их сумма равна 21, а произведение равно 216.

5. Длина стороны квадрата ABCD равна 10 см. На его сторонах отложены отрезки $[AA_1], [BB_1], [CC_1], [DD_1]$ длины x каждой, причем $A_1 \in [AB], B_1 \in [BC], C_1 \in [CD], D_1 \in [DA]$. Доказать, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, и найти значение x, при котором площадь этого квадрата будет наименьшей.

6. Найти объем примиды DABC, если $[DB] \perp (ABC)$, величая двумя нулю при ребре AC равна φ, $|DC|=l$, $A\overset{\frown}{CB} = \pi/2$, $C\overset{\frown}{AB} = \alpha$.
   Вариант 3

7. Города A и B расположены на берегу реки, причем A ниже по течение. Из этих городов одновременно поплыли навстречу друг друг две лодки. Доступную одновременно городов B и A, лодки повернули обратно и встретлись на расстоянии 20 км от пункта первого встречи. Если бы же лодки, выйди одновременно из A и B, поплыли против течение, то лодка, вышедшая из A, догнала бы лодку, вышедшую из B, в 150 км от B. Найти расстояние между A и B.

8. Решить неравенство
   $$\sqrt{1 - \log_5(x^2 - 2x + 2)} < \log_5(5x^2 - 10x + 10).$$

9. Решить уравнение
   $$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 1 + \cos x + \cos 2x.$$

10. Найти знаменатель бесконечного убывшей геометрической прогрессии, сумма которой в 4 раза больше суммы первых пятей членов.

11. В треугольник ABC вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на стороне AC, а две другие — на сторонах AB и BC. Найти наиболее значение площади такого прямоугольника, если $|AC| = 12$ см, $|BD| = 10$ см, где $[BD]$ — высота треугольника ABC.

12. Найти объем шара, вписанного в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α, а боковая поверхность равна Q.

Вариант 4

1. Два величины выхалли одновременно из пункта A в одном направлении, первая — со скоростью 8 км/час, а второй — 10 км/час. Через 30 минут из пункта A в том же направлении выхалл третий величины, которой догнал первого, а еще через 1 $\frac{1}{2}$ часа — второго величины. Найти скорость третьго величины.
2. Решить уравнение
   $$\log \sqrt{x - 1} (2x - 14) = 2.$$
3. Решить неравенство
   $$\cos 2x \cdot \cos \frac{\pi}{8} - \sin 2x \cdot \sin \frac{\pi}{8} \ge 0, 5\sqrt{2}.$$
4. Тангенцы положин углов неокторого треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказите, что тогда и косинус углов этого треугольника образуют арифметическую прогрессию.
5. Около кругга радиуса R описан четырехугольник, две стороны которого параллельны друг друг, а две другие — конгруэнтны. Найти наименьшее значение площади такого четырехугольника.
6. Найти объем правильной четырехугольной параллельны друг друга, а две другие — конгруэнтны. Найти наименьшее значение площади（四угольника, высота которого равна H, а плоский угол при вершине α).

Л. Садовский, Н. Деетярев