Сообщающиеся сосуды и... уравнения

19

сия, найдем корни нашего исходного уравнения. В первый раз равновесие восстановления при глубине погружения 4 см, во второй раз — при глубине 5 см и в третьий раз — 7 см. Обратите внимание, что каждый раз при переходе положения равновесия наклон кормыса изменяется на противоположный. До глубины 4 см кормысло наклонено влево, от 4 до 5 см — вправо и т. д.

В принципие таким методом можно находить и отрицательные корни. Для этого достаточно положить $y = x - \frac{a}{3}$.

Рассмотрим частный случай последнего уравнения, когда $p \geq 0$, а $q < 0$. Сделаем еще одну замену: пусть $x = y\sqrt{p}$. Получим уравнение вида

$$y^3 + y = a,$$

где $a = \frac{-q}{p\sqrt{p}}$ ($a > 0$). Найдем положительный корень этого уравнения.

Возьем два сосуда одной и той же высоты $h$ (см. рисок): один — цилиндрический с плоскостью основания 1 см$^2$, другой — кончческий с объемом $h^3\left(\frac{h}{r} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)$. Соединним их тонкой трубкой с краном. Нальем в один из сосудов $a$ см$^3$ воды и откроем краан. Вода будет перетекать во второй сосуд до тех пор, пока уровни воды в обихх сосудах не станут одинаковыми. Обозначим через $y_0$ высоту уровня воды. При этом объем воды в цилиндрическом сосуде будет численно равен $y_0$, в кончском сосуде — $y_0^3$, а суммарный объем воды равен $a$. Следовательно,

$$y_0^3 + y_0 = a$$

(объем воды в соединнительной трубке мы пренебрегаем).

Значит, $y_0$ — один из корней уравнения (*).