Bài toán khoảng ba bình

29

Bài toán khoảng ba bình

Bài viết được đề xuất là nguồn mở từ sách của các nhà toán học Mỹ G. S. M. Coxeter và S. L. Greitzer “Những cuộc gặp gỡ mới với hình học”, bản dịch tiếng Nga sẽ sớm được xuất bản trong bộ “Thư viện của vòng tròn toán học” của nhà xuất bản “Nauka”. Tài liệu đã được L. Savina chuẩn bị xuất bản.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của hình học cho lời giải bài toán, trong đó cần phải chia chất lỏng thành các phần nhất định bằng cách sử dụng các công cụ dường như không thể tưởng tượng được cho mục đích này. Đối với lời giải, chúng ta cần cái gọi là tọa độ tam tuyến mà bây giờ chúng ta sẽ mô tả.

Thông thường, giấy vẽ đồ thị được sử dụng để vẽ các điểm có tọa độ Descartes cho trước. Đối với mục đích của chúng tôi, tốt hơn là sử dụng giấy tam giác, tức là giấy có vẽ ba hệ đường thẳng song song, chia nó thành các hình tam giác đều nhỏ. Chúng ta hãy vẽ lên tờ giấy đó một tam giác đều lớn ABC với các cạnh chạy dọc theo các đường lưới. Đối với một điểm P tùy ý trong mặt phẳng này, chúng ta xác định các số x, y, z lần lượt là khoảng cách từ điểm này đến các đường thẳng BC, CA và AB, và với mỗi đường thẳng này khoảng cách sẽ dương nếu điểm đó nằm cùng phía của đường thẳng này với tam giác ABC và in dấu ngược lại. Ta sẽ gọi điểm kết quả là các số (x, y, z) tọa độ tam giác của nước tiểu P so với tam giác ABC. Lưu ý rằng đối với các điểm nằm trong tọa độ mô tả tình huống trong đó có ba biến có tổng không đổi. Nếu một trong các đại lượng x, y hoặc z không đổi và hai đại lượng còn lại thay đổi thì điểm (x, y, z) di chuyển theo đường thẳng song song với một trong các cạnh của tam giác ABC. Đặc biệt, các đường thẳng chứa tọa độ BC, CA, AB được mô tả bằng phương trình

$$x = 0, y = 0, z = 0,$$

và các đỉnh A, B, C có tọa độ (h, 0, 0), (0, h, 0), (0, 0, h).

Đây chính xác là tình huống sẽ xảy ra trong trường hợp đổ h lít chất lỏng vào các bình sau: bình thứ nhất có x lít, bình thứ hai có y lít và bình thứ ba có z lít. Dần dần, việc truyền chất lỏng từ bình thứ hai sang bình thứ ba tương ứng với chuyển động của một điểm có tọa độ tam giác (x, y, z) so với tam giác ABC có chiều cao bằng h, dọc theo đường thẳng x=const theo hướng tương ứng với sự giảm y và tăng z. Nếu mỗi bình có thể chứa chung h lít (chúng ta sẽ biểu thị tình huống này bằng ký hiệu [h; h, h, h]), thì mỗi tọa độ x, y, z có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 0 đến h và tập hợp các điểm có thể đạt được bằng cách nào đó đổ chất lỏng từ bình này sang bình khác - chúng ta sẽ gọi tập hợp này là diện tích hoạt động - được cho bởi các bất đẳng thức.

$$0 \leq x \leq h, 0 \leq y \leq h, 0 \leq z \leq h,$$

30

và trùng với toàn bộ tam giác ABC.

Vụ án [h; a,b,c]. Ở đây ba bình đã cho có dung tích a, b, c và h ≥a>b>c. Hãy đặt ra nhiệm vụ: bạn cần đo một lượng d lít chất lỏng nhất định, đổ thật nhiều từ bình này sang bình khác; Đồng thời, chúng tôi cắt một lượng nhỏ để làm trống hoàn toàn một bình hoặc đổ đầy một bình khác đến miệng (và có lẽ những bình khác của tôi sẽ diễn ra cùng lúc). Miền hoạt động hiện được xác định bởi các bất đẳng thức

$$0 \leq x \leq a, \ 0 \leq y \leq b, \ 0 \leq z \leq c,$$

thường xác định một hình lục giác đều hoặc không đều được giới hạn bởi sáu đường thẳng

$$x = 0, \ x = a, \ y = 0, \ y = b, \ z = 0, \ z = c.$$

Nhưng trong một số trường hợp, diện tích này có thể biến thành hình ngũ giác, hình thang, hình bình hành hoặc (như chúng ta đã thấy) bao phủ toàn bộ tam giác đều.

Giả sử các số a, b, c, h và d là số nguyên.

Hình 1 và 2 minh họa tình huống [8; 7, 6, 3]: Bằng cách nào đó người ta đổ 8 lít chất lỏng vào các thùng 7, 6 và 3 lít. Ở đây miền hoạt động là hình lục giác $0 \leq x \leq 7, \ 0 \leq y \leq 6, \ 0 \leq z \leq 3$, được giới hạn bởi các đường $x = 7, \ z = 0, \ y = 6, \ x = 0, \ z = 3, \ y = 0$. Tọa độ tuyến tính của các đỉnh lục giác (so với

đối với tam giác đều có chiều cao 8) - (7, 1, 0), (2, 6, 0), (0, 6, 2), (0, 5, 3), (5, 0, 3), (7, 0, 1). Giả sử bình thứ nhất chứa 3 lít chất lỏng, bình thứ hai cũng chứa 3 lít; thì bình thứ ba chứa 2 lít chất lỏng. Sự phân bố chất lỏng này tương ứng với một điểm có tọa độ (3, 3, 2). Sáu hướng phát ra từ điểm này biểu thị sáu hoạt động truyền máu có thể xảy ra. hướng từ điểm (3, 3, 2) đến điểm (5, 3, 0) tương ứng với quá trình đổ tam giác của bình: chất lỏng chứa trong đó được đổ vào bình thứ nhất; theo hướng ngược lại - từ điểm (3, 3, 2) đến điểm (2, 3, 3) - quá trình đổ đầy hình tam giác của bình: nó phải nhận chất lỏng ngay từ đầu. hướng từ điểm (3, 3, 2) đến điểm (0, 6, 2) tương ứng với quá trình đổ bình thứ nhất, nội dung trong đó được đổ vào bình thứ hai; đồng thời bình thứ hai được đổ đầy, v.v.

Giả sử chúng ta cần đo 4 lít chất lỏng (nghĩa là lấy 4 lít vào ít nhất một trong các bình). Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng ở lần truyền chất lỏng đầu tiên, chúng tôi di chuyển từ điểm bên trong của khu vực hoạt động (trong trường hợp của chúng tôi, từ điểm (3, 3, 2)) đến điểm biên của nó - đây là các điều kiện. Ví dụ, đường đứt nét màu đỏ trong Hình 2 chỉ ra một trong những cách có thể để di chuyển từ điểm

31

ki (3, 3, 2) đến điểm (4, 4, 0) (và do đó chia 8 lít thành hai phần bằng nhau). Dễ dàng nhận thấy các liên kết của đường đứt nét luôn song song với các cạnh của tam giác ABC và đường đứt nét chỉ “quay” khi chạm vào ranh giới của miền. Nếu bây giờ, không tự đặt bài toán về việc đo bốn lít, chúng ta vẽ đủ loại đường đứt nét từ điểm (3, 3, 2) (với các liên kết song song với các cạnh của tam giác ABC và có các đầu nằm trên ranh giới của vùng lục giác của chúng ta), thì sớm hay muộn chúng ta sẽ thấy mình ở tất cả các điểm biên của hình lục giác của chúng ta. Điều này cũng đúng với bất kỳ điểm nguyên nào của một khu vực hoạt động nhất định (cả bên trong và ranh giới). Điều này có nghĩa là, bất kể việc phân bổ tám lít chất lỏng giữa các bình trong thùng như thế nào [8; 7, 6, 3], bằng cách “đổ đầy” và “dốc cạn” các bình, bạn có thể đo bất kỳ số lít chất lỏng nào (ít hơn tám).

Hình 3 minh họa trường hợp [10; 8, 7, 6]: Đổ 10 lít chất lỏng vào các bình chứa 8, 7 và 6 lít cộng lại. Khu vực hoạt động ở đây lại là một hình lục giác. Trong trường hợp này, đối với bất kỳ sự phân phối mười lít nào giữa các bình, có thể dễ dàng đo được $d=1, 2, 3, 4, 6, 7, 8$ và 9 lít chất lỏng. Nhưng nếu ngay từ đầu không có bình nào chứa 5 lít chất lỏng, thì 5 lít này hoàn toàn không phải là một đường đi qua các điểm (0, 5, 5), (5, 0, 5) và (5, 5, 0), bị đóng và không thể đi tới nó từ bất kỳ đường nào khác. Nói chung, nếu $h=2d \geq a > b > c > d$, thì trong tình huống [h; a, b, c] bằng cách đổ hết và thêm bình, không thể đo được $d$ lít chất lỏng, bất kể $h$ lít này được phân bổ giữa các bình như thế nào, trừ khi có $d$ lít ở một trong các bình ban đầu.

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp khác [10; 8, 6, 4] - đổ một lượng chẵn lít chất lỏng vào bình có bốn thùng chứa (Hình 4). Ở đây khu vực hoạt động là một hình ngũ giác. Từ Hình 4, rõ ràng là nếu ban đầu mỗi bình chứa số lít chẵn, tức là điểm bắt đầu có bốn tọa độ (ví dụ: (6, 2, 2)), thì chúng ta sẽ không bao giờ có thể đo được số lít chất lỏng lẻ.

Các nhiệm vụ tương ứng với trường hợp [h; a, b, c], trong đó $h=a=2d=b+c$. Trong trường hợp này, vùng thao tác là hình bình hành có các đỉnh (a, 0, 0), (c, b, 0), (0, b, c), (b, 0, c). Hình 5 và 6 thể hiện hai nhiệm vụ lời giải tương ứng với trường hợp [8; 8, 5, 3] với sự phân bố chất lỏng ban đầu (8, 0, 0); bạn cần đo 4 lít chất lỏng. Nói cách khác, hai người có một bình chứa đầy 8 lít chất lỏng và hai bình rỗng có dung tích 5 lít và 3 lít, mặc dù 8 lít chất lỏng này được chia đều.

Việc đầu tiên cần làm là đổ đầy thùng 5 lít như trong Hình 5 hoặc thùng 3 lít như trong Hình 6.

Hình 3.

Hình 4.