Hình học bánh răng

50

Hình học bánh răng

Và loại cơ chế nào không có bánh răng? Và chúng ở trong đồng hồ, trong phòng máy của quân đoàn, và trong máy ép…

Làm thế nào để bánh răng dẫn động A truyền chuyển động đến bánh răng dẫn động B? Chúng ta hãy chuyển sang Hình 1: “đòn bẩy A₁” được gắn chặt vào A chỉ “đòn bẩy B₁” được gắn chặt vào B và do đó quay B.

Răng thẳng có tốt không? Rõ ràng là nó không tốt lắm. Thứ nhất, ngay cả khi bánh răng dẫn động A quay đều thì không thể nói điều tương tự đối với bánh răng dẫn động B (tại sao?), và nếu bánh răng B lần lượt truyền chuyển động đến các bánh răng C, D, v.v., thì có thể nghe thấy sự không đồng đều của chuyển động được truyền. Thứ hai, góc φ giữa xi lanh F dẫn động bánh răng A và hướng quay của bánh răng B có thể thay đổi. Do đó, chỉ có bánh răng dẫn động là mạnh hơn F₁ và răng của cả hai bánh răng đều mòn không đều.

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh ở trang thứ tư của trang bìa. Nó hiển thị sơ đồ hoạt động của một máy bơm dầu hoạt động với sự trợ giúp của hai bánh răng hơi khác thường (mỗi bánh răng chỉ có hai răng). Mặt cắt của đầu mỗi răng rất ngoại chu kỳ, mặt cắt của thân răng là hypocycliodic (ví dụ, hai đường cong này đã được mô tả trong «Kvant», 1978, số 4, trang 13.). Hình 2 cho thấy cách vẽ một hồ sơ như vậy. Vòng tròn $\omega$ bán kính $R/4$ lăn dọc theo một vòng tròn cố định (O, R) từ bên ngoài. Sau đó điểm $M \in \omega$ mô tả hình dáng của đầu răng bánh răng (một phần của epicyclode). Vòng tròn $\omega'$, đồng dạng với $\omega$, lăn dọc (O, R) vào trong. Điểm $M' \in \omega'$ mô tả phần đầu của hai răng liền kề (thường là hypocycliodes).

Hình 3 thể hiện vị trí của hai bánh răng, trong đó đầu răng của bánh răng dưới chạm vào mặt cắt của bánh răng trên ở giữa khoảng trống giữa hai răng của nó. Nếu bánh răng trên quay θ theo chiều kim đồng hồ và bánh răng dưới quay ngược chiều kim đồng hồ một góc như nhau thì chúng vẫn có điểm chung K và hơn nữa là tiếp tuyến chung tại đó. Hãy thử chứng minh điều này và thiết lập tính chất quan trọng sau đây của một cặp bánh răng như vậy: pháp tuyến của biên dạng răng tại điểm tiếp xúc của chúng không thay đổi khi đi qua một điểm cố định P (không phụ thuộc vào vị trí của điểm tiếp xúc).

Sau khi tạo ra mô hình của một cặp bánh răng như vậy, bạn sẽ nhận thấy đặc tính thú vị của nó. Để cặp bánh răng hoạt động liên tục thì các bánh răng phải chuyển động luân phiên nhau. Điều này có nghĩa là cặp bánh răng này không thể hoạt động như một cơ cấu truyền chuyển động. Không phải vô cớ mà chúng được dùng để bơm dầu, và hai bánh răng phụ thuộc loại khác được dùng để truyền chuyển động từ trục này sang trục khác (xem hình trên trang bìa). Tất nhiên, nếu bạn chế tạo các bánh răng có số lượng răng lớn theo biên dạng xoáy thuận, bạn có thể đạt được sự truyền chuyển động từ bánh răng dẫn động sang bánh răng bị dẫn động. Nhưng những thiếu sót khác vẫn còn. Đặc biệt, những bánh răng như vậy đòi hỏi phải lắp đặt rất chính xác sao cho mặt cắt cận bão luôn tiếp xúc với mặt cắt cận bão. Ngoài ra, răng lốc rất khó cắt.

Do đó, trong thực tế, các bánh răng thường được sử dụng có biên dạng răng được cắt dọc theo đường cong của vòng tròn. Để giải thích đây là gì, chúng tôi đưa ra hai khái niệm: tâm cong của đường cong γ

51

và bán kính cong của đường cong γ tại một điểm cho trước.

Cho γ là một đường cong trơn, nghĩa là một đường cong quay liên tục, không có điểm gấp khúc và nhọn. Một tiếp tuyến và bình thường có thể được vẽ trên một đường cong như vậy tại mỗi điểm theo cách tương tự. Cho $M_0 \in \gamma$ là điểm cố định, điểm $M \in \gamma$ là biến, α góc giữa các tiếp tuyến với γ ​​tại các điểm $M_0$ và $M$ (Hình 4). Góc giữa các tiếp tuyến đồng thời với góc giữa các tiếp tuyến với γ tại cùng một điểm. Hãy hướng điểm $M$ đến $M_0$. Khi đó điểm giao nhau của $N$ bình thường sẽ đi đến vị trí giới hạn $N_0$. Điểm $N_0$ này được gọi là tâm cong của đường cong γ tại điểm $M_0$, độ dài của đoạn $M_0N_0$ được gọi là bán kính cong $ρ_0$ của đường cong γ tại điểm $M_0$. Đối với mỗi điểm $M_0$ của đường cong trơn γ, tâm cong $N_0$ và bán kính cong $ρ_0$ được xác định duy nhất.

Tập hợp γ₁ tâm độ cong của đường cong γ được gọi là đường cong tiến hóa của nó (dịch từ tiếng Latin là “đường cong đang phát triển”). Đường cong γ liên quan đến đường cong tiến hóa γ₁ của nó được gọi là đường cong tiến hóa của nó (dịch từ tiếng Latin là “quét”). Ví dụ: sự tiến hóa của đường tròn (O, |OT₀|) là một điểm - tâm của đường tròn O (Hình 5). Ở đây là một đường cong có đường cong tiến hóa là đường tròn γ, nghĩa là đường cong tiến hóa của nó; nó được xây dựng bằng cách lăn không trượt dọc theo đường tròn γ của đường thẳng không xoắn l ​​với điểm dịch chuyển Q; điểm này mô tả sự thu hồi của đường tròn γ; trên Hình 5, các vị trí Q₁, Q₂, Q₃,… ứng với các vị trí tiếp điểm T₁, T₂, T₃,… của đường thẳng l với đường tròn, trùng nhau. Chúng ta hãy đảm bảo rằng sự tiến triển của đường cong γ thực sự là một đường tròn tại một trong những điểm này, chẳng hạn như T₄, đường thẳng tại thời điểm này quay quanh T₄; từ đây chúng ta có thể thấy rằng góc T₄Q₄R₄ là góc vuông. Xét các pháp tuyến của γ ​​tại các điểm Q₃ và Q₄ và hướng điểm Q₃ đến điểm Q₄. Rõ ràng là trong giới hạn giao nhau của các pháp tuyến này sẽ nằm trên đường tròn (O, |OT₀|) tại điểm T₄, điều này là bắt buộc.

Chính theo sự xoắn của các vòng tròn như vậy mà các biên dạng của bánh răng sao được cắt.

Đường cong của đường tròn cắt tiếp tuyến của đường tròn này theo một góc vuông; một phần, do đó nó cũng cắt tiếp tuyến chung của hai đường tròn như trong Hình 6. Hãy tưởng tượng rằng các bánh răng có biên dạng răng cắt dọc theo các vòng xoắn A₁ và A₂ được lắp trên các vòng tròn này. Khi đó bánh răng dẫn động A₁ chỉ đẩy bánh răng bị dẫn động A₂ dọc theo T₁T₂ theo hướng pháp tuyến chung đến γ ​​và γ’ tại điểm tiếp xúc của chúng. Lấy T₁T₂ vượt qua ranh giới. Tâm của các bánh răng là O₁O₂ tại một điểm cố định P - gọi là cực lưới bánh răng. Chuyển động xảy ra như thể bánh dẫn động A₁, không phải bằng răng mà với sự hỗ trợ của hộp số, truyền chuyển động đến bánh A₂. Chúng ta vẽ PU vuông góc qua điểm P với đường tâm O₁O₂ và xét góc φ=UPT₁. Nó được gọi là điểm tương tác. Không giống như cặp bánh răng được thảo luận ở Hình 1 và cặp bánh răng lốc xoáy, ở đây góc này không đổi. Do đó, lợi ích của biên dạng răng ở dạng xoắn theo chu vi, cho phép tốc độ quay không đổi của bánh răng được dẫn động và vận hành êm ái.

Hình 7 cho thấy một liên kết không liên quan trông như thế nào. Chân của răng không có hình dạng liên tục cho đến tận cuối rãnh mà chỉ ở nơi vẽ đường màu xanh. Đây được gọi là “công nhân bánh răng”.

V. Berezin