Геометрия зубчатой передачи

50

Геометрия зубчатой передачи

И в каких только механизмах нет шестерен? И в часах они есть, и в машинном отделении корпала, и в прессах…

Каким образом ведущая шестерня A передает движение ведомой шестерне B? Обратимся к рисунку 1: жестко скрепленный с A «рычаг A₁» только жестко скрепленный с B «рычаг B₁» и тем самым поворачивает B.

Хорош ли прямогольные профили зубьев? Сразу видно, что не очень. Во-первых, даже если ведущая шестерня A врашается равномерно, то этого нельзя сказать о ведомой шестерне B (почему?), а если шестерня B, в свою очередь, передает движение шестерным C, D, и т. д., то неравномерность передаваемого движения может услышаться. Вовторых, угол ф между цилиндем F, которое ведет шестерню A, и направлением врашения шестерни B переменный. Стало быть, переменно услше F₁, только ведомую шестерню, и зубья обих шестерен снашиваются неравномерно.

Обратимся к рисунку на четвертой странице обложки. На нем показана схема действия масляного насоса, работающего с помощью двух несколько необъичных шестерен (в каждой всего лишь по два зуба). Профиль головки каждого зуба очень по эпициклиоде, профиль ножки — по гипоциклиодам (об этих двух кривых рассказывалось, например, в «Кванте», 1978, № 4, с. 13.). На рисунке 2 показано, как можно вычертить такой профиль. Окружность $\omega$ радиуса $R/4$ катится по неподвижной окружности (O, R) снаружи. Тогда точка $M \in \omega$ описывает профиль головки зуба шестерни (часть эпициклиоды). Окружность $\omega'$, конгруэнтная $\omega$, катится по (O, R) внутри. Точка $M' \in \omega'$ описывает раз丧у гоLOBками двух соседних зубьев (часту гипоциклиоды).

На рисунке 3 показано положение двух шестерен, при котором головка зуба нижней шестерни касается профиля верхней в середине плаза между двумя ее зубьями. Если верхняя шестерня повернет на θ по часовой стрелке, а нижняя — против часовой стрелки на тот же угол, то они по-прежнему будут иметь общую точку K и, более того, общую касательную в ней. Попробуйте это показать, и установить следующую важное свойство такой пары шестерен: нормаль к профилям зубьев в точке их касания неизменено проходит через фиксированную точку P (не зависитщую от положения точки касания).

Изготовив макет такой пары шестерен, вы заметите любопытное ее свойство. Для того чтобы пара работала непрерывно, шестерни должны становиться ведущими попеременно. Это означает, что данная пара шестерен не может работать в качестве механизма, передающего движение. Недаром они используются для перекачки масла, а для передачи движения от одной оси к другой служат две вспомогательные шестерни другого типа (см. рисунок на обложке). Конечно, если изготовить шестерни с большим числом зубьев циклондального профиля, можно добиться передачи движения от ведущей шестерни к ведомой. Но осталось другие недостатки. Такие шестерни требуют, в частности, очень точной установки, чтобы эпициклондальный профиль всегда контактировал с гипоциклондальным. Кроме того, циклондальные зубья трудно вырезать.

Поэтому на практике обычно используют шестерни, профиля зубьев которых вырезаются по эволюventам окружности. Чтобы обьясить, что это такое, введем два понятия: центр кривизны кривой γ

51

и радиус кривизны кривой γ в данной ее точке.

Пусть γ — гладкая кривая, то есть непрерывно поворачивающая кривая, не имеющая изломов и заостренный. К такой кривой в каждой ее точке можно проводить касательную и нормаль, притомеднственный образом. Пусть $M_0 \in \gamma$ — фиксированная точка, точка $M \in \gamma$ — переменная, α — угол между касательными к γ в точках $M_0$ и $M$ (рис. 4). Угол между касательными конгрузтен углу между нормальными к γ в тех же точках. Устремим точку $M$ к $M_0$. Тогда точка пересечения нормальной $N$ перейдет в предельное положение $N_0$. Эту точку $N_0$ и называют центром кривизны кривой γ в точке $M_0$, длину отрезка $M_0N_0$ называют радиусом кривизны $ρ_0$ кривой γ в точке $M_0$. Для каждой точки $M_0$ гладкой кривой γ центр кривизны $N_0$ и радиус кривизны $ρ_0$ определяются однозначно.

Множество γ₁ центров кривизны кривой γ называется ее эволюютой (в переводе с латыни «развертывающая кривая»). Кривая γ по отношению к своей эволююте γ₁ называется ее эволюютой (в переводе с латыни «развертка»). Например, эволююта окружности (O, |OT₀|) есть точка — центр окружности O (рис. 5). Здесь же показана кривая, эволюютой которой является окружность γ, то есть ее эволюента; она построена в результате качения без скольжения по окружности γ неоторной прямой l с отмещенной точкой Q; эта точка и описывает эволюенту окружности γ; на рисунке 5 отмещены положения Q₁, Q₂, Q₃, …, соответствующие положениям точки касания T₁, T₂, T₃, … прямой l с окружностью. Убедимся, что эволююта кривой γ действительно является окружностью в одной из этих точек, скажем, T₄, пря-mая в этот момент вращается вокруг T₄; отсюда видно, что угол T₄Q₄R₄ — прямои. Рассмотрим нормали к γ в точках Q₃ и Q₄ и устремим точку Q₃ к точке Q₄. Ясно, что в пределе пересечения этих нормали будет лежать на окружности (O, |OT₀|) в точке T₄, что и требуется.

Вот по таким эволюентам окружностей и нарезаются профилизу звездистных шестен.

Эволюента окружности пересекает касательную к этой окружности под прямым углом; в частиности, так она пересекает и общую касательную двух окружностей, показанных на рисунке 6. Представим, что на эти окружности насажены шестен с профилями зубьев, вырезанных по эволюентам A₁ и A₂. Тогда ведущая шестerna A₁ толькоет ведому шестerna A₂ по T₁T₂ по направлению общей нормали к γ и γ’ в их точке контакта. Примяя T₁T₂ пересекает линию. Центров шестен O₁O₂ в фиксированной точке P — так называемом полюсе зацепления шестен. Движение проискот так, как если бы ведущее колесо A₁ не зубьями, а с помощью лиштения передавало движение колесу A₂. Проведем через точку P перпендикуляр PU к линии центров O₁O₂ и рассмотрим угол φ=UPT₁. Он называется уелом зацепления. В отличие от пары шестен, рассмотренных на рисунке 1, и пары циклондых шестен, здесь этот угол сохраняет постоянное значение. Отсюда и выгоды профиля зубьев в виде эволюенток окружности, позволяющих достаться постоянной скорости вращения ведомой шестери и безшумной работы.

На рисунке 7 показано, как выглядит эволюентное зацепление. Ножки зубьев имеют эволюентный профиль не до самого конца паза, а только там, где проведена синяя линия. Это так называемый «работчик зацепления».

В. Березин