Сибирский автомобильно-дорожный институт им. В. В. Куйбышева

58

4. Упростить
   $$\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} : \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}.$$

5. Дан конус с объемом $V$ и углом наклона образующей к основанию $\alpha$. Определить боковой поверхности конуса.

6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{4-x^2}{4+x^2}$ на отрезке $[-1; 3]$.

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
   $$y = 4x - x^2, \quad y = 0, \quad x = 1, \quad x = 4.$$
   Вариант 2

8. Решить уравнение
   $$x^{\log_2(1-x)^2} = 9.$$

9. Решить уравнение
   $$1 + \cos x = 2\sin^2x.$$

10. При каких значениях $k$ неравенство $x^2 - (k-3)x - k + 6 > 0$ справедливо при всех действительных $x$?

11. Упростить
    $$\left(\frac{\sqrt{2}}{(1-x^2)^{-1}} + \frac{2}{x^{-2}}\right)^{-1}.$$

12. Объем правильной треугольной призмы равен $V$, угол между диагоналями двух боковых граней, проведенных из одной вершины, равен $\alpha$. Определить сторону основания призмы.

13. Найти уравнение касательной, проведенной к кривой $y = 1-x^3$ в точке, абсцисса которого равна 2.

14. Найти косинус угла между векторами $a + b$ и $a - b$, если $|\vec{a}| = 2, \|\vec{b}\| = 1, (a, b) = 60^\circ$.
    Г. Мелемьева

Сибирский автономно-дорожный институт им. В. В. Куйбышева

Сибирский автономно-дорожный институт (г. Омск) основан в 1930 году. На дневном отделении имеется четыре факультета: автономного транспорта, дорогих машин, промышленного и гражданского строительства и дорогно-строительная факультет.

Matematika
Вариант 1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = x$.

2. Упростить
   $$\frac{\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta)}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha \cdot \mathrm{ctg}^2\beta}.$$

3. Покажите трихновкой на координатной плоскости многочество точек, заданное системой неравенств
   $$y \leq \log_2 x, \quad 4x - 3y - 12 \leq 0.$$

4. Диагональ правильной четырьмя равна $d$ и наklонена к боковой грани под углом $\alpha$. Определите площадь боковой поверхности（四имы и ее объем.

Вариант 2

1. На обработку одной детали один рабочий затрачивает время на 7 минут меньше, чем другой. Сколько деталей каждой из них обработает за 4 часа, если первый обработает за это время на 28 деталей больше второго?
2. Найти области определения функции
   $$y = \frac{x^2}{\lg(x - 2)} - \sqrt{9 - x}.$$
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
   $$y = x^2, \quad y = 6 - x, \quad y = 0.$$
4. Площадь освого сечения конуса равна $S$, а угол между образующими равен $2\alpha$. Найти объем конуса.

Физика

1. Электрическую лампу при изготовлении наполняют азотом под давлением $p_1 = 5 \cdot 10^4$ Pa и при температуре $t_1 = 15^\circ C$. Какова температура газа в горячей лампе, если давление в ней повышилось до $p_2 = 1,1 \cdot 10^5$ Pa?
2. На электроплитке мощность $P = 600$ Вт, имеющей к.п. д. $\eta = 45\%$, нагрелись $V = 1,5$ л воды, взятой при $t = 10^\circ C$, до кипения и $\alpha = 5\%$ ее обратилось в пар. Как долго длился этот процесс?
3. Определить, расплавится ли железный meteorит массой $m = 2$ г, улавший на поверхности Луны со скоростью $|\vec{v}| = 220$ km/c, если его температура до стольновения с Луной $t = 100^\circ C$.
4. Какое количество бензина израсходовали двигатели самолета, пролетшего расстояние $l = 500$ km со средней скоростью $v = 250$ km/ч, если средняя мощность его двигателей $P = 2000$ кВт? К.п. д. $\eta = 25\%$.

Г. Данилова,
В. Фёдоров

59

67; А. Антоян (Ереван) 71, 72, 73a), 74, 75a); Б. Аронов (Саратов) 66—68, 71, 72, 73a), 74, 75; А. Арумюян (Ленинакан) 71—73a); К. Архангельский (Киев) 66, 67, 71; Р. Арыkbæв (п. Лиман Астраханской обл.) 62; П. Афанасенко (Саратов) 66, 67; Н. Бабина (п. Научный Крым) 66; В. Байсаколов (Алма-Ата) 75a); К. Бакланов (Тула) 67, 69a); А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 62, 64, 65a), 6), r), 66, 67, 71, 74, 75a), 6); В. Батышев (Москва) 62, 65a), r), 66—69, 71, 72, 73a), 74, 75a), 6); С. Бахудиев (МНР) 62, 66, 71; В. Беняш-Кривец (Новогрудок) 67, 68; М. Бествина (СФРЮ) 61, 62, 65a), 6), 66, 67, 69, 71, 74; Н. Бовсуновский (с. Путилович Житомирской обл.) 67; В. Болотников (Харьков) 66, 67, 69a), 71, 73a), 75a), 6); О. Вайнбере (Казань) 61, 62, 64, 71, 72, 74, 75a), 6); М. Варманян (с. Ходжаек ГССР) 67; Н. Великоросов (Конаково) 66, 67, 68, 69a), 71, 72; А. Векуа (Кутанси) 67, 71; В. Верзаков (Рудный) 656), 6), 67, 72, 75a), 6); Д. Виноградов (Дзержинск) 66; Г. Виродов (Ворошиловград) 67; С. Галстян (с. Чахрлу АрССР) 61—64, 65a), r), 66—68; И. Гашимов (Баку) 62, 67; А. Гельфаем (Рига) 71; А. Гильман (Москва) 66—68, 706), 72, 75a); Е. Горбатый (Одеса) 71, 72, 74; Г. Грицорян (с. Ашар АрССР) 71, 72; С. Гришечкин (Москва) 61—75; В. Губа (Вологда) 62, 66, 67, 69, 71—74, 75a), 6); А. Дедков (Омск) 65a), 67, 69a), 73a), 75a); А. Дорозовцев (Киев) 66, 67, 73, 74; О. Евдокимов (Ленинград) 61—63, 65a), 66—69, 706); А. Ееоян (Тбилиси) 66, 67, 71, 72, 73a), 74, 75a); С. Железовский (Саратов) 67—74, 75a), 6); В. Живаев (Ташкент) 66, 67, 71—73a), 74; Т. Жураев (Ташкент) 67; В. Забелин (Саратов) 66, 67, 71, 75a); И. Зайцев (Николаев) 66, 67; И. Зверович (Минск) 67, 73a), 75a); Е. Зиманов (Алма-Ата) 62, 66, 67, 69a), 71, 73a), 75a); К. Зиновев (Москва) 66, 67, 70; Я. Золомаров (Ташкент) 62, 66—68, 71, 73a), 74, 75a), 6); Р. Измайлов (Баку) 62, 64, 66, 68, 72, 73, 74, 756); Ф. Кабдыкаиров (Алма-Ата) 66, 67, 71; Л. Кабабадзе (Тбилиси) 62, 67—69, 71, 75a); В. Кальмков (Воронеж) 66, 71, 75a); Я. Канес (Лилеварде) 65a), r), 66, 67; А. Каплан (Сумгант) 67, 71, 73a), 74; В. Каранетян (Ленинакан) 66, 67, 71, 72, 73a); П. Камальмов (Алма-Ата) 73a); А. Кач (Ташкент) 66, 71, 72, 74; А. Качубский (Новосибирск) 66, 67, 69a); И. Кевхышили (Тбилиси) 62, 66, 69a), 73a); А. Керимов (Баку) 67; А. Керимов (Москва) 71, 72, 75a); Р. Кирзнев (Талды-Курган) 67; В. Климович (Москва) 62; С. Колпаков (Москва) 66, 71, 73a), 75a); В. Корнеев (Ангарск) 66—69; А. Коротков (Ижевск) 67; И. Коротков (Волгоград) 66, 67; С. Корчанов (Алма-Ата) 61, 62, 66—68, 71, 72, 73a), 75a); Д. Корчемный (Москва) 66—69, 70, 71—75a); Г. Корчемский (Кшинев) 66—68; М. Косой (Одеса) 67; В. Костмусак (Запорожье) 62—64, 66, 68, 71—74, 75a), 6); Л. Костмок (Киев) 66—68; Ф. Крис (Ташкент) 67; Е. Кузьмин (Черповец) 62, 67, 71, 74, 75a); С. Кузнецов (Ангарск) 67; С. Сидоренко (Брянск) 66, 706); К. Скудларский (ПНР) 66; В. Смелянский (Москва) 66, 71, 73a); Ю. Смирнов (Ленинград) 62, 63, 71, 73a), 75a); В. Смова (Москва) 62—64, 66—75; М. Стурининский (Северодонец) 67, 68; Ф. Сукачев (Ташкент) 67, 71, 73a), 74, 75a); А. Сузьмин (Брянск) 66—69, 70, 71—75a); Г. Корчемский (Кшинев) 66—68; М. Косой (Одеса) 67; В. Костмусак (Запорожье) 62—64, 66, 68, 71—74, 75a), 6); Л. Костмок (Киев) 66—68; Ф. Крис (Ташкент) 67; Е. Кузьмин (Черповец) 62, 67, 71, 74, 75a); А. Удавихин (Йошкар-Ола) 66, 67, 69, 71;

60

Физика

Почти все читатели, приславшие решения задач Ф463 — Ф477, справились с задачами Ф463 и Ф468. Остальные задачи правильно решили: А. Автюшков (Минск) 67; К. Акопян (Ереван) 70, 73—77; Е. Алексадрова (Глазов) 69; М. Алексеев (Обнинск) 70; А. Антоян (Ереван) 70, 74, 77; С. Бавкун (Черкеск) 70; А. Барзькин (п. Черноголовка Московской обл.) 69, 70, 73, 77; А. Белов (Москва) 74, 75; В. Беркут (Депропетровск) 64; А. Большаков (Саратов) 69, 70; С. Бомкин (Караганд) 70, 74, 77; Л. Брускин (Иркутск) 73; М. Быков (Горький) 70; И. Вайсбурд (Томск) 64, 65, 79—72; Д. Васлевич (Ленинград) 75, 76; Н. Великоросов (Конаково) 65; С. Веселянский (Харьков) 66, 67, 69, 70, 74, 76, 77; В. Гаврилов (Орск) 65, 70, 73—77; М. Гаврилов (п. Черноголовка Московской обл.) 64, 65, 67, 69, 71, 72, 74; Н. Газда (п. Клевань Ровенской обл.) 69—72; В. Гаркавий (Лида) 64, 65, 70—77; В. Голубенko (Черкеск) 70, 72; Ю. Горбунков (Курск) 70, 74, 77; Е. Гордиенко (Кшинев) 66, 67; С. Горшков (Среднеуральск) 67; И. Гусев (Воркута) 64—66, 69—77; С. Дереченик (п/o Межирьег Гродненской обл.) 69, 72; И. Дубовой (Алма-Ата) 69; С. Динник (Тараклия) 64; Л. Евельсон (Брянск) 69, 70; К. Елин (Кокчетав) 70; В. Жабомицкий (Депропетровск) 75, 76; М. Жуков (Москва) 70, 72; А. Забродин (п. Черноголовка Московской обл.) 64—67, 69—77; И. Зайцев (Николаев) 67; Е. Зиманов (Алма-Ата) 73, 76; И. Иванников (Душанбе) 70, 74; Е. Иванов (Долгопрудный) 64—67, 69—76; С. Исаков (Пермь) 66; Е. Казарова (Ереван) 77; Л. Какаабдзе (Тбилис) 64, 65, 67, 69—71, 73—77; Я. Калайзидис (Чимкент) 69, 71, 76, 77; В. Каранетян (Ленинkan) 69—71, 73, 74; А. Карнаухов (п. Кутана ЯАССР) 67; С. Карнаухов (Ростов-наДону) 66, 67, 69, 70, 73—75, 77; В. Кельман (Москва) 70, 71, 73; С. Клейман (Луков) 69, 70; В. Кобелев (Шигры) 64, 65, 75, 76; В. Комов (Алексадров) 64—67, 69—77; М. Константинов (Свердловск) 73, 77; Ю. Кордиков (Серов) 64; Г. Корцемский (Кшинев) 70, 73; В. Костмусян (Запорожье) 75; А. Краджан (Ереван) 70; А. Кудинов (Воронеж) 72; Е. Кузьмин (Череповец) 73; П. Кулинич (Воронеж) 67; А. Куприн (Москва) 64, 69, 70, 72—74, 76, 77; С. Курамов (Кшинев) 64; М. Курбатов (Москва) 64—67, 70—77; Т. Кухтина (Киев) 67; Л. Кушинир (Астрахань) 64, 65, 67, 71, 74—77; В. Лашкин (Киев) 64, 65, 69, 73—77; А. Левенко (Свердловск) 66, 67, 69, 70, 73—75; А. Леонович (Лида) 69; Д. Лепицин (Димитровград) 67; И. Лесок (д. Юхнович Брестской обл.) 73—75, 77; И. Лозицкий (Ганцевич) 67, 70; Д. Людмирский (Киев) 64, 65, 67, 69—71, 75—77; А. Макагонов (Москва) 65, 67; В. Макаров (Челябинск) 64—67; Т. Макенко (Депропетровск) 64, 74; М. Мамьеев (Дубна) 64—67; М. Мекуева (Челябинск) 70; А. Мирлин (Ленинград) 64, 67, 69—71, 73, 75, 76; Н. Миронов (Кашин) 69, 70; М. Митрофанов (Волгоград) 64, 70, 73—75; А. Мкртян (Ленинkan) 70, 71, 73, 74, 76, 77; А. Моцильнер (Свердловск) 69, 70, 73—76; И. Молчанов (Киев) 69, 70, 76, 77; И. Муромцев (Орск) 69, 70; О. Нанов (Рогатин) 67; В. Наткович (Тбилис) 74; В. Невмержикий (с. Левович Житомирской обл.) 64—67, 70, 72, 73, 76; С. Нестер (Депропетровск) 64; А. Никитенков (Великне勒) 64—67, 69—77; В. Никитин (Запорожье) 70, 74; Л. Николаев (Москва) 75; А. Опарин (Горький) 64, 67, 73—76; О. Оразмamedов (р/ц КызылАтрек ТССР) 64, 65; А. Паршаков (Свердловск) 76, 77; С. Пасома (Гатчина) 74; В. Переверзев (Омск) 66; П. Побилица (Ленинград) 64, 65; Е. Понамаров (п. Черноголовка Московской обл.) 64—67; А. Попов (Чусовой) 64—66; С. Пряdkин (Киев) 69, 76; М. Райкин (Оренбург) 64, 67; Ю. Резник (с. Веселянка Запорожской обл.) 64—67, 70, 72, 77; С. Розуван (Киев) 65; И. Романов (Москва) 65; В. Рудяко (Мироновка Киевской обл.) 64; Н. Савченko (Киев) 64, 65; П. Саинов (Ташкент) 69; С. Седов (Дрезна) 69, 70; П. Сильвестров (Новосибирск) 65; А. Сциер (п/o Богородище Смоленской обл.) 65; Н. Смоляков (Тольятти) 65; В. Смыцляев (Ленинград) 64, 65, 67; А. Сторожев (Актюбинск) 64, 65, 71, 74, 77; Р. Султанов (Ташкент) 64—67; В. Терехин (Баку) 64, 67; Ю. Торосан (Тбилис) 74; К. Трумнеев (Казань) 64—67, 69—75, 77; Н. Федин (Новосибирск) 65—67; А. Филамов (Томень) 65; Л. Хант (Могилев-Подольский) 64, 65; А. Ханчечкий (Вилейка) 65; А. Шептовецкий (Москва) 64, 65, 67; И. Шляхова (Лобня) 64.

61

На пути к решению

1. Докажите (например, методом математической индукции) неравенство
   $$\frac{n}{2} < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}.$$

2. Докажите методом математической индукции, что $f_{2k}$ оканчивается на 6, а $f_{2k+1}$ – на 2.

3. После перемножения уравнения системы (8), получим
   $$\sqrt{f_{n-2}^2} \cdot xy + f_{n-2} \cdot (x+y) + 1 = \frac{f_{n-2}x_n + 1}{x_{n-1}} xy,$$
   или
   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{f_{n-2}xy} = -f_{n-2} + \frac{f_{n-2}x_n + 1}{f_{n-2}x_{n-1}}.$$
   Кроме того, $x_n = f_{n-1}+1$ по условию теоремы; $f_{n-1} = f_{n-2}x_{n-1}$. Получясь соответствием
   $$\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} + \frac{1}{f_{n-1}} = A,$$
   докажите справедливо равенства
   $$\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-2}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{f_{n-2}xy} = A.$$
   4 и 5. Покажите, что для базисной последовательности
   $$\frac{f_{n-2}x_n + 1}{x_{n-1}} = f_{n-2}^2 + 1.$$

Вопросы для выпускников

Математика

Правильные ответы: 1. а. 2. г. 3. г. 4. д. 5. b. 6. д. 7. b. 8. б. 9. д. 10. д. 11. б. 12. д. 13. b. 14. b. 15. а. 16. г. 17. b.

Приведем комментируй к некоторым вопросам.

5. $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ$, тg $280^\circ < -1 < \sin 280^\circ < 0 < \cos 280^\circ$.

6. Искать первообразную восе не обязательно, тем более, что вы ее и не найдете, хотя она существует (см. последний абзац п. 100 учебника «Алгебра и начала анализа 10»).

7. $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a \cdot b} < 0.$

8. $\alpha + \beta + \gamma = 270^\circ + \gamma < 360^\circ$, поэтому $\gamma < 90^\circ$; $\gamma > \beta - \alpha = 30^\circ$.

9. Если $\alpha$ – двугранный угол при основании прямиды, то площадь основания равна $2 \cos \alpha$, а полная поверхность $S = 2 + 2 \cos \alpha$.

10. Легко доказать, что объемы готовчих многогранников относятся как третьи стелепени длины сходственных отрезков.

11. Если $S_0$ – площадь основания прямиды, $h$ – ее высота, то
    $$S(x) = S_0 \cdot \left( \frac{h-x}{h} \right)^2 = \frac{S_0}{h^2} (h-x)^2.$$

12. Плоскости боковых граней делят пространство на 7 части. Плоскости оснований признаны какждаю из этих части разбиют на три.

13. К каждой вершине приложит трехгранный угол, к каждой грани – «усеченный» трехгранный угол, к каждому ребру – «дважды усеченный» двухгранный угол; кроме того, есть внутренняя часть; всего 15 части.

Физика

Ответы: 1. b. 2. 6. 3. b. 4. 6. 5. b. 6. 6. 7. r. 8. a. 9. r. 10. r. 11. r. 12. д. 13. 6. 14. r. 15. a. 16. 6. 17. r. 18. r. 19. b. 20. 6. 21. a.

Варианты вступительных экзаменов 1977 года

Московский энергетический институт

Математика

Вариант 1

1. $a^2$. 2. $\left\{\frac{1}{5}, 6\right\}$. 3. 3. 4. $\left\{- \frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right\}$. 5. $\frac{3}{2} a^2 \sin 2\alpha$.

Вариант 2

1. $-2b$. 2. $[0; 125]$. 3. $\min f(x) = \left| -\frac{3}{2}; 1 \right|$
   $$= f(1) = -19, \quad \max f(x) = f\left(\frac{1}{7}\right) = -5 \frac{38}{49}$$. 4. $\left\{- \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$.
2. $\frac{p^3 \sin \alpha \sqrt{\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}}{128 \cos^6 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}\right) \sin \frac{\beta}{2}}$.

Физика

1. Начальную скорость надо уменшить приблизительно в 2, 4 раза.

63

Ленинградский физический институт им. Н. А. Вознесенского

Математика

Заданий из билетов устного экзамена

4. $50\sqrt{2}$. 5. $T_8 = C_{17}^8$. 6. $A_9^5$.

5. $\left(\frac{V\bar{3}}{3}; -\frac{V\bar{3}}{3}; \frac{V\bar{3}}{3}\right)$ и $\left(-\frac{V\bar{3}}{3}; \frac{V\bar{3}}{3}; -\frac{V\bar{3}}{3}\right)$.

Ярославский политехнический институт

Математика
Вариант 1

1. Площадь равна $\frac{V_{11}}{16} a^2$, величины двугранного угла агссos $\left(-\frac{1}{\sqrt{33}}\right)$. 2. 5.

2. $x=4,5; y=0,5$.

Вариант 2

1. Указание. Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, $O$ — точка пересечения медиан треугольника $AB_1D_1$. Разложите по векторам $\overrightarrow{A_1A}$, $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_1D_1}$ векторы $\overrightarrow{A_1O}$ и $\overrightarrow{A_1C}$.

2. $] -\infty; -11 [U] -11; -10 [U] -10; -9 [U] -9; 2 ] U[3; +\infty[$. 3. $S = \int_1 [(x+1) -(x^2-4x+5)] dx = 4,5$.

3. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in Z)$.

Физика

1. $h = |\vec{a}| t_1^2/2 + |\vec{a}| t_1 t_2 - |\vec{g}| t_2^2/2 = 101,6$ м.

2. $E = m(|\vec{v}_0|^2 + |\vec{g}|^2 t_2^2)/2 = 302,6$ Дж.

3. $V_\pi/V = 1 - \rho_B/2\rho_c = 4/5$.

4. $|\vec{F}| = E \Delta l S/l = 21,6$ кН;

$|\vec{F}_{\min}| = \sigma_{\text{np}} S = 78,5$ кН.

5. $\varphi = |\vec{E}| r = 5$ кВ.

6. $h = \frac{eUl^2}{2md|\vec{v}|^2} \approx 2,8$ мм.

7. $U = \frac{C_1U_1 + C_2U_2}{C_1 + C_2} = 260$ В.

8. $R = \frac{m|\vec{v}|}{e|\vec{B}|} \approx 22,8$ см;

$T = \frac{2\pi R}{|\vec{v}|} \approx 36 \cdot 10^{-9}$ с.

9. $v = c \sin \alpha_{\text{np}} \approx 2 \cdot 10^8$ м/c.

10. $t = \frac{s(d-F)}{F|v|} \approx 1$ мс.

Марийский политехнический институт им. А. М. Горького

Математика
Вариант 1

1. $\{3, 3^9\}$. 2. $x = \frac{\pi}{4} k, x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi}{7} l (k, l \in \mathbb{Z})$. 3. $] -\infty; \log_3 2[$. 4. $x-1$.

2. $\sqrt[3]{\frac{9\pi V^2}{\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha}}$. 6. $\min y = y (3) = -\frac{5}{13}, \max y = y (0) = 1$. 7. 9.

Вариант 2

1. 4. 2. $x = \pi + 2\pi k, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$. 3. $] -3; 5[$. 4. $\sqrt{2}$.

2. $\sqrt[3]{\frac{4V \sin \alpha}{2}}$

3. $y = -12x + 17$. 7. $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Сибирский автономно-дорожный институт им. В. В. Куйбышева

Математика
Вариант 1

1. $\frac{1}{6}$. 2. $-\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \beta$. 4. Боковая поверхность равна $4d^2 \sin \alpha \sqrt{\cos 2 \alpha}$, объем $-d^3 \sin^2 \alpha \sqrt{\cos 2 \alpha}$.

Вариант 2

1. Первый – 48 деталей, второй – 20.

2. ] 2; 3[U] 3; 9]. 3. $S = \int_0^2 x^2 dx + \int_0^2 (6-x) dx = 10 \frac{2}{3}$. 4. $\frac{\pi}{3} S \sqrt{S \cdot tg \alpha}$.

Физика

1. $T_2 = \frac{p_2 T_1}{p_1} = 633,6$ K, $t_2 = 360,6^\circ$ C.

2. $\tau = \frac{\rho V (c \Delta t + \alpha L)}{\eta P} \approx 0,75$ ч, где $\rho = 10^3 \text{ кг}/\text{м}^3$ – плотность, $c = 4200 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$ – удельная теплемкость и $L = 2,26 \cdot 10^6 \text{ Дж}/\text{кг}$ – удельная теплота парообразования воды.

3. Расплавится.

64

Рис. 1.

Рис. 2.

4. $m = \frac{Pl}{vq\eta} \approx 1,3 \cdot 10^3$ кг, где $q = 4,5 \times 10^7$ Дж/кг — теплота сторания беззина.

Задание наших читателей

(см. «Квант» № 5)

6. Точки $A$ и $B$ движутся по двум концентрическим окружностям с одинаковыми угловыми скоростями. Если в начальной момент точки находились на одном радиусе, то расстояние $|AB|$ между точки все время будет оставаться постоянным.

7. Э. д. с. одного аккумулятора значительное больше Э. д. с. другого. Ток, генерируемый «сильным» аккумулятором, идет частично через лампу, а частично — через «слабый» аккумулятор, который играет роль шута с небольшим сопротивлением. К «сильному» аккумулятору последовательно подсоединют очень малое сопротивление, а в цель «слабого» аккумулятора — очень большое сопротивление. Вследствие этого уменьшается ток, протекающий через «слабый» аккумулятор, и увеличивается ток, протекающий через лампу.

8. Работа при подьеме бревана за только конец равна $A_1 = mgh_1$, где $h_1$ — расстояние от тонкого конца до центра тяжестей бревана. При подьеме бревана за тонкий конец $A_2 = mgh_2$, где $h_2$ — расстояние от только конца до центра тяжестей. По условияю $A_1 - A_2 = A$. Решая систему
   $$\begin{align*} h_1 + h_2 &= l \\ mg(h_1 - h_2) &= A, \end{align*}$$

находим
$$h_1 = \frac{1}{2}\left(l + \frac{A}{mg}\right).$$

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» № 6)

1. Федор получил 9 баллов, Николай — 8, Виктор — 7, Клим — 6, Иван — 5, Андрей — 4, Захар — 3, Михаил — 2, Ефим — 1, Тимофей — 0. Таким образом, расшифровка цифрового ряда
   67480, 2401240564, 953564

следующая:

КВАНТ, МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА.

2. См. рисунок 1.

3. Вторая девочка должна своим первым ходом сделать ромашку симметричной. В зависимости от четности числа лепестков и количества лепестков, оторванных первой девочек, она отрывает один или два лепестка (рис. 2, а) — е). Затем вторая девочка симметрично повторяет ходы первой девочек. Поскольку сразу с обихем «половинок» ромашки лепестки отрывается, первая девоча проигрывает.

4. Сергюо и Агею по 44 года, Андрею 41 год, Степану 47 лет, а Ивану 50. Так как из чисел 41, 44, 47 и 50 кратно пяты только 50, получаем, что сына Андрея зовут Иван.

Над номером работали:
А. Вилленкин, И. Климова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тхомирова,
Ю. Шиханович

Номер оформили:
М. Дубах, Г. Красников, Э. Назаров,
И. Смирнова,

Завед редакцией Л. Чернова

Художественный редактор Т. Макарова

Корректор Л. Боровина

113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16,
«Квант», тел. 231-83-62.
Сдано в набор 28/IV 1978 г.
Подписано в печать 14/VI 1978 г.
Бумага 70×108’/16. Физ. печ. л. 4
Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 6,88. Т-11680 Цена 30 коп.
Заказ 941 Тираж 300 606 экз.

Чеховский полигraphический комбинат Союзполигraphпрома
при Государственном комитете Совета Минisterров СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли,
г. Чехов Московской области

Руководис не возврачаются