Марийский политехнический институт им. А. М. Горького

57

2. Решить уравнение
   $$A_x^3 + C_x^{x-2} = 14x.$$
3. Исследовать функцию $y = x\sqrt{2-x^2}$ и построить ее график.
4. Решить систему
   $$\begin{cases} 10^1 + \lg(x+y) = 50, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg 5. \end{cases}$$
   Вариант 2
5. Доказать, что точка пересечения медиан треугольника, вершины которого — концы трех ребер параллелепеда, выходящих из одной его вершины, принадлежащит диагонали параллелепеда, выходящей из той же вершины, и делит ее в отношении 1:2.
6. Найти область определения функции
   $$y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{\lg(x+10)^2}.$$
7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
   $$y = x^2 - 4x + 5 \quad \text{и} \quad y = x + 1.$$
8. Решить уравнение
   $$2\cos^2x + 5\sin x - 4 = 0.$$
   Физика
9. Воздуший шар поднимается вертикально с земли сускорением $|\vec{a}| = 2 \text{ m/c}^2$. Через $t_1 = 10$ с от него отделился камень. На какой высоте $h$ от поверхности земли будет находиться камень через $t_2 = 4$ с после его отделения от шара? Ускорение свободного падения $|\vec{g}| = 9,8 \text{ m/c}^2$.
10. Определить кинетическая энергия $E$ тела массой $m = 200 \text{ g}$, брошеного горизонтального скоростю $|\vec{v}_0| = 25 \text{ m/c}$, в конце 5-й секунды его движения. Ускорение свободного падения $|\vec{g}| = 9,8 \text{ m/c}^2$.
11. Стеклянный шар, внутри которого есть полость, плавает на поверхности воды, погрузившись в нее на половину своего объема. Какую часть объема шара ($V_\pi/V$) занимает полость? Плотность стека $\rho_c = 2500 \text{ kg/m}^3$, воды $\rho_B = 1000 \text{ kg/m}^3$.
12. Какая требуется сила $|\vec{F}|$, чтобыstalной стержень длиной $l = 1$ м и сечением $S = 1 \text{ cm}^2$ удлинить на $\Delta l = 1$ мм? При какой наименьшей нагрузке $|\vec{F}_{\text{mln}}|$ стержень разорвется, если предел прочно стали $\sigma_{\pi p} = 7,85 \cdot 10^8 \text{ H/m}^2$? Модуль Юнга стали $E = 21,6 \cdot 10^{10} \text{ H/m}^2$.
13. Найти потенциальное точку электрического поля, расположенной на расстоянии $r = 50$ см от точного заряда, создающего поле, если вектор направлен к заряду, а $|\vec{E}| = 10^4 \text{ B/m}$.
14. Электрон влаета в плоский расположенный горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростю $|\vec{v}| = 2 \cdot 10^4 \text{ km/c}$. На пластины подано постоянное напряжение $U = 50 \text{ B}$. Длина пластин конденсатора $l = 5$ см, расстояние между пластинами $d = 10$ мм. На какое расстояние $h$ сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля за время его движения в конденсаторе? Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ K}$, его масса $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.
15. Конденсатор емкостью $C_1 = 4 \text{ mkФ}$ заряжен до разности потенциальов $U_1 = 300 \text{ B}$, конденсатор емкостью $C_2 = 2 \text{ mkФ}$ — до $U_2 = 180 \text{ B}$. Какая разность потенциальов $U$ установится на обкладках конденсатора после их соединения одноменным полосам?
16. Электрон влаета в одномодное магнитное поле перpendикулярно линяем магнитной индикции. Скорость электрона $|\vec{v}| = 4 \cdot 10^7 \text{ m/c}$. Индикция магнитного поля $|\vec{B}| = 10^{-3} \text{T}$. Найти период $T$ обращения и радиус $R$ кривизиты траектории движения электрона в этом поле. Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ K}$, его масса $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.
17. Луч света выходит из скипидара в воздухх. Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{\pi p}$ для этого луча $42^\circ 23'$. Чему равна скорость распространения света в скипидаре? Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/c}$.
18. С расстояния $d = 100 \text{ m}$ фотографируют автоматically, движущейся со скоростью $|\vec{v}| = 72 \text{ km/ч}$. Определить время $t$ экспозиции, за которой изобравнение на симме сместилось бы не более чем на $s = 0,01 \text{ мм}$. Фокусное расстояние объекта фонапарата $F = 5 \text{ см}$.
    В. Колпаков, Л. Лауененок

Марийский политехнический институт им. А. М. Горького
Марийский политехнический институт (г. Щошкар-Ола) был организован в 1932 году на базе Казанского лесотехнического института. До 1965 года он назывался Поволжским лесотехническим институтом.
На дневном отделении института имеется двать факультетов: машиностроительный, радиотехнический, механический, инженерно-экономический, инженерно-структельный, лесонженерный, лесохозяйственный, медиоартинно-дорожный и факультет деревообработки.
В 1977 году абитриентам было обявлено, что для получения отметки «отличного» им достагоно сделать любые пять задач варната.

Математика
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$2\log_9 x + 9\log_x 3 = 10.$$
2. Решить уравнение
   $$2\sin 5x \cos 6x + \sin x = \sin 7x \cos 4x.$$
3. Решить неравенство
   $$9^x < 3^x + 2.$$