Московский институт химического машиностроения

54

4. Изображать на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $y = 10^{|1-x|}$.
5. Сколько решений имеет уравнение
   $$\log \frac{5\pi}{2} x = \cos x?$$

Физика

1. Найти, под каким углом $\alpha$ к горизонту брошено тело, если известно, что дальней его полета равна максимальной высоте подема.
2. Конькообежец массой $M = 60$ кг, стоя на льду, бросил вперед груз массой $m = 5$ кг и вседствие отдачи показался на задо с скоростью $|\vec{v}| = 1$ м/с. Какую работу совершил конькообежец?
3. Газ занимает объем $V = 2$ л и находится под давлением $p = 5 \cdot 10^5$ Н/м². Вычислить суммарную кинетическую энергию поступательного движения его молекул.
4. Между пластинами плоского конденсатора, расположенными вертикально на расстоянии $d = 1$ см друг от друга, на нитви висит заряженный бузиновый шарик, масса которого $m = 1$ г. После того как на пластины была подана разность потенциальов $U = 1000$ В, нить с шариком отклонилась на угол $\alpha = 20^\circ$. Найти заряд шарика.
5. Найти сопротивление $R$ проволочного тетраэдра, к двум вершинам которого подвеено напряжение. Сопротивление каждого ребра тетраэдра равно $r$.
   Ю. Худак

Московский институт технической институции им. К. Э. Циолковского

Институт готовит инженеров по новейшей технологии и других отраслей промышленности.
Дневное отделение института имеет три факультета: авиационно-механический, авиационно-технологический и радиоэлектронной радиоаппаратуры.

Математика
Вариант письменного экзамена

1. Доказать токдейство
   $$\frac{\sin^2 \alpha - \mathrm{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \mathrm{ctg}^2 \alpha} = \mathrm{tg}^6 \alpha.$$

2. Решить уравнение $(x - \text{натуральное число})$
   $$A_{x+1}^3 + C_{x+1}^{x-1} = 14(x+1).$$

3. Основание равноведенного треугольника равно $4\sqrt{2}$, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5. Найти угол при вершине этого треугольника.

4. Решить неравенство
   $$\log_{|x-1|} x \geq 1.$$

5. Является ли функция $\frac{1}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x - 2\sqrt{2}$ monotonной на $[0; \frac{1}{2}]$, $[1; 6]$?

Билет устного экзамена

1. Доказать теорему Виета (прямую и обратную).
2. Высота равноведенного треугольника, опущенная на его основание, равна половине основания. Определить углы треугольника.
3. Решить неравенство
   $$4x^2 - 2x^2 < 0.$$
4. Построить график функции
   $$y = \frac{\cos(|x| + \frac{\pi}{2})}{\sin x}.$$
5. Доказать, что функция $x + \sin(2x)$ monotonна.
   Б. Кучеров, В. Горбачеви

Московский институт технического машиностроения
На дневном отделении института имеется пять факультетов: химическийого машиностроения, химическийо аппаратостроения, технической библиетики и автоматизация химических производств, криогененой техники и механический факультет.
Механический факультет готовит инженеров-механиков по техническому основному химии и промышленной экологическии, машинам и аппаратам промышленности химических реактивов и особо чистых веществ, нефтехимический технике, машинам и аппаратам организаческих производств, коррозиний химический аппаратуры, машинам и аппаратам микробiolогических производств.
Выпускники факультета технической библиетики и автоматизация химических производств занимаются аналитическими и экспериментальными исследованиями объективов автоматизация химической промышленности; расчетом, проектированием, монтажом, наладкой и экспертуацией систем автоматического управления с широким использованием моделирования и математических управляющих машин; проектированием узлов автоматизации.

Математика
Вариант 1

1. Доказать токдейство
   $$\sin^2 \alpha - \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cdot \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{4}.$$
2. Решить неравенство
   $$\sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{3}{4}} < \frac{1}{x} - \frac{1}{2}.$$