Гипотрохоиды

32

После этого всякий раз, когда ломаная попадает на одну из сторон нашего параллелограмма — прямы $y = 0, y = 5, z = 0, z = 3$, — мы расматриваем эту сторону как зеркало. (Правило зеркальных отражений объясняется тем, что каждый отрезок ломаной, параллельный стороне исходного треугольника, соответствует операции переливания жидкости из одного сосуда в другой, а третий сосуд в это время не трогают.) Таким образом мы получаем решение $(8, 0, 0) \rightarrow (3, 5, 0) \rightarrow (3, 2, 3) \rightarrow (6, 2, 0) \rightarrow (6, 0, 2) \rightarrow (1, 5, 2) \rightarrow (1, 4, 3) \rightarrow (4, 4, 0)$ и решение $(8, 0, 0) \rightarrow (5, 0, 3) \rightarrow (5, 3, 0) \rightarrow (2, 3, 3) \rightarrow (2, 5, 1) \rightarrow (7, 0, 1) \rightarrow (7, 1, 0) \rightarrow (4, 1, 3) \rightarrow (4, 4, 0)$. Ясно, что отмерить лиюбо е целое число литров жидкости в ситуации $h = a = b + c$ можно лишь в том случае, когда числа $a$ и $b$ взаимно просты.

Гипотрохонды

Рисунок на первой странице обложки, выполненый на ЭВМ, изображает семейство замкнутых кривых — гипотрохонд.

Трохоид — линия, который вычерчивает точка, жестко связанная с окружностью $(O_2, r)$, катящая без скольжения по прямой. Когда же окружность $(O_2, r)$ катится не по прямой, а по неподвижной окружности $(O_1, R)$, касаясь ее изнутри, то точка $M$ жестко связан с окружностью $(O_2, r)$, описывает гипотрохонд. Ясно, что цикл лонда («Квант», 1978, № 4, с. 13) — частный случай гипотрохонды, гипопиклонда (см. там же) — частный случай гипотрохонды.

Здесь на рисунке изображены точки $M_1, M_2, M_3$, жестко скрепленные с окружностью $(O_2, r)$, где $r = \frac{R}{3}$. Эти точки расположены так, что $M_1\overset{\frown}{O_2}M_2 = M_2\overset{\frown}{O_1}M_1$ и $|O_2M_2| - |O_2M_1| = |O_2M_3| - |O_2M_2|$. (Таким образом, точки $M_1, M_2$ и $M_3$ лежат на спраил Арихимеда — см. «Квант», 1976, № 6, третья страница обложки).

Семейство гипотрохонд, показанное на обложке, описывается точками $M_1, M_2, M_3, \dots, M_{10}$, расположенными на аналогичным образом. При $|O_2M_i| < 2R/3$ гипотрохонда — замкнутая самопересекающая линия, представляющая из себя вогнутый кривolinейный треугольник с petлями у вершин. Если $|O_2M_i| > 2R/3$, то получаем замкнутую самопересекающую линию несколько иного вида: она состоит из трех выпukых лепестков, пересечение которых — выпukый кривolinейный треугольник.

В. Березин